Axial-vector form factor of nucleons in the AdS/QCD models.pdf Введение Соответствие анти-де Ситтер /конформная теория поля (АдС/КТП) [1-3] позволяет решить проблемы, которые теория возмущений не может решить в квантовой хромодинамике при низких энергиях. В последние годы было установлено соответствие между классической теорией гравитационного взаимодействия в многомерном пространстве и конформной теорией поля. Оригинальное соответствие имело место между особой теорией струн в 10-измерениях (10Д) и конформной теорией поля в 4-измерениях (4Д), а именно в пределе больших при суперсимметричной теории Янга - Миллса. Подход «снизу вверх» в cоответствии АдС/КТП был введен в [4, 5]. Модели КХД, основанные на соответствии АдС/КТП, были названы голографическими КХД или АдС/КХД. Они состоят из двух моделей, которые называются моделями с жесткими и мягкими стенками [4-11]. Эти модели были применены для расчета масс-спектров, констант связи, формфакторов и т.д., которые могут быть измерены в эксперименте [11-16]. Кратко опишем модели АдС/КХД с жесткими и мягкими стенками. Фоновая геометрия для теории дуальной гравитации в этих моделях задается 5-мерным (5D) пространством-временем анти-де Ситтера с метрикой, выбранной в координатах Пуанкаре . (1) Здесь - метрический тензор пространства , , . Пятая координата z меняется от 0 до ∞, которые называются ультрафиолетовой (УФ) и инфракрасной (ИК) границами пространства соответственно. - метрический тензор 4-мерного плоского пространства Минковского, . Модель АдС/КХД с жесткими стенками основана на двух срезах координаты z, первый из которых - это срез в нижней части пространства АдС при небольших ( ), чтобы избежать сингулярность метрики (1) в пределе , а другой - это срез в верхней части этого пространства, т.е. при некотором значении этой координаты, которое рассматривается как свободный параметр модели. Параметр принимается как ( соответствует шкале ограничения КХД). Но в модели мягкой стенки в действие вводится поле дилатона , где геометрия плавно обрезается полем дилатона и z меняется от 0 до ∞. Здесь выбирается поле дилатона в виде , постоянная является свободной, обычно она устанавливается путем подгонки масс-спектра к экспериментальным данным для частиц, рассматриваемых в модели. Нуклоны в моделях АдС/КХД Действие для модели мягкой стенки можно записать в следующем виде: , (2) где , , дополнительная размерность z меняется в области . Экспоненциальный множитель был введен, чтобы сделать интеграл действия конечным по переменной z на ИК-границе . В модели жестой стенки выбрано равным нулю, интегрирование происходит по z в области . Модель мягкой стенки Нуклоны были введены в модель мягкой стенки в [8], а их возбужденные состояния в рамках этой модели рассмотрены в работах [12, 15]. Рассмотрим поле Дирака в 5-мерном пространстве АдС со следующим действием: (3) где для пространства АдС - обратный виелбайн, который описывает переход между искривленным и плоским пространствами. Ковариантная производная обеспечивается калибровочной инвариантностью действия. Ненулевыми компонентами спиновой связи являются . 5-Мерные матрицы определены как и подчиняются антикоммутационным соотношениям . Для описания нуклонов внутри пространства АдС необходимо ввести два спинора , , которые необходимы для описания левой и правой компонент нуклонов. Из действия (3) получаем следующее уравнение движения для полей Дирака внутри пространства АдС: . (4) в уравнении (4) определяется как сумма левых и правых компонентов: , (5) которые определены как . (6) Граничные поля связаны друг с другом 4-мерным уравнением Дирака . (7) Фурье-преобразование для будет записываться в следующем виде: . (8) Если мы не рассматриваем векторное поле в ковариантной производной, то уравнение (4) принимает точный вид . (9) Используя преобразование Фурье (8), из уравнения (9) получаем , . (10) В результате мы имеем следующую систему уравнений для профильных функций из выражений (10): (11) Решение уравнений (11) выражается через полиномы Лагерра [12]: (12) Здесь ; и являются константами нормализации: . (13) Модель жесткой стенки Как было упомянуто выше, для действия (3) изменяется следующая форма: . (14) Выражение (14) представляет собой действие для спиноров в объеме пространства АдС в модели с жесткой стенкой. Мы получаем следующее уравнение движения для нуклонов в модели жесткой стенки из вариации этого действия: . (15) Если мы используем (5), (6), (8) в (15), то получим уравнения для функций профиля : ; (16) . (17) Исключив из (16) с помощью уравнения (17), получим ; (18) . (19) По аналогии, для соответствия киральности дуального граничного оператора знак M был выбран положительным (M > 0) для и отрицательным (M < 0) для , когда УФ-граничные условия накладываются на , при . Решения (18), (19), подчиняющиеся УФ-граничным условиям, являются функциями Бесселя первого родa: , (20) где - константы нормализации. Значение можно найти из соотношения , где масштабный размер для составного барионного оператора равен [17] и . Следовательно, для спиноров масса М имеет значения соответственно. Таким образом, профильные функции и определяются как , ; (21) , . (22) Как видно из (21), (22), и связаны друг с другом: , Константы нормализации в (20), (21) равны для n-го возбужденного состояния и были найдены следующим образом [18]: , (23) где - спектр масс Калуцы - Клейна возбужденных состояний, который выражается через нули функции Бесселя : . Аксиально-векторный ток в КХД Изовекторный аксиально-векторный ток нуклонов в КХД задается определением . (24) Здесь обозначает дублет u- и d-кварков в -матрице Паули, описывающей изоспин. Матричный элемент тока изовектора между однонуклонными состояниями определяется следующим образом: . (25) Здесь - масса нуклона; - передаваемый импульс в вершине взаимодействия; и - аксиально-векторные и псевдоскалярные формфакторы нуклонов соответственно. Аксиально-векторное поле в АдС-пространстве В дополнение к (3) у нас есть кинетический член аксиально-векторного поля: , (26) где ; . Поперечная часть векторного поля может быть записана как . На УФ-границе пропагатор от центра к границе удовлетворяет условию . Уравнение движения в калибровке дается в виде [12] . (27) Решение уравнения (27) дается в следующем виде: , (28) где ; ; - пропагатор от центра к границе. В модели жесткой стенки и в (26) имеем следующее уравнение движения для векторного поля в аксиальной калибровке : . (29) Граничными условиями для УФ- и ИК-границы для решения (29) являются: , , соответственно. Решение уравнения (29) выражается через функции Бесселя первого рода и [14]: . (30) Нарушение киральной симметрии скалярным полем Действие для скалярного поля является обычным действием для скалярного поля в 5-мер¬ной фоновой геометрии (1): . (31) Ковариантная производная DM включает взаимодействие этого поля с калибровочными полями и : . Взаимодействие скалярного поля со спинорными полями будет записано в виде отдельных терминов в лагранжиане взаимодействия. Поле X записывается в виде где поле в двойственной КХД описывает пионы. В пределе свободного поля решение уравнения движения, полученное из действия (10), для имеет вид [13] , (32) где - масса голых легких кварков; - величина кваркового конденсата. Мы будем использовать решение (32) в наших вычислениях . Аксиальный изовектор формфактора нуклонов Чтобы получить формфактор в АдС/КХД, следует использовать интеграл действия между аксиально-векторным и фермионным полями внутри пространства АдС. В используемом здесь подходе формфактор генерируется действием в модели мягкой стенки . (33) Лагранжиан взаимодействия состоит из нескольких видов взаимодействий между полями , , внутри пространства АдС [13, 17, 18]. Перечислим эти взаимодействия между внутренними полями, которые вносят вклад в формфактор . а) Минимальный член связи: . (34) б) Член магнитной связи: (35) в) Член взаимодействия, введенный в [19]: (36) Имея лагранжиан взаимодействия внутри АдС-пространства, мы можем установить голографическую формулу для формфактора. АдС/КТП в нашем случае соответствует аксиально-вектор¬ному току объемных фермионов с аксиально-векторным током нуклонов в граничной КХД и внутренним аксиально-векторным полем с аксиально-векторным мезоном в этой теории границ. Производящий функционал ZAdS определяется как показатель классического внутренного действия: (37) равно порождающей функции граничной КХД, (38) Вышеупомянутое утверждение (38) позволяет нам вычислить значение вакуумного ожидания аксиально-векторного тока нуклонов в граничной КХД, взяв производную из гравитационной функции : . (39) Мы увидим, что формула (39) будет производить аксиально-векторный ток , где обозначает интеграл по координате z и принимается в качестве аксиально-векторного формфактора нуклонов. Вычислим в импульсном пространстве, используя (34), (35), (36). Мы видим, что появляется в : ; (40) ; (41) . (42) В соответствии с голографической формулой (39) полное действие дает аксиально-векторный формфактор нуклонов основного состояния. Взяв производные по от слагаемых действия , мы получим вклады этих слагаемых в формфактор аксиального вектора : ; (43) ; (44) . (45) В модели с жесткой стенкой выражения (43), (44), (45) имеют следующий вид: ; (46) ; (47) . (48) Таким образом, мы можем построить графики формфактора для , используя программу MATHEMATICA в модели как с жесткой, так и с мягкой стенками, которая определяется как сумма : . (49) В терминах зависимости профильная функция A(Q,z) для аксиально-векторного поля в (30) принимает вид . (50) Для проведения численного интегрирования для массы легкого кварка mq и для конденсата σ были взяты значения ГэВ и ГэВ [17-19]. Константа взята из [17]. Значение было взято из [19] и зафиксировано для получения правильной массы нуклона в рамках фиксированных параметров модели с жесткой стенкой ГэВ, ГэВ и . Мы используем из (32) для выражений формфактора (46) - (48). На рис. 1 и 2 представлены численные результаты зависимости формфактора от . Как видно из рис. 1, результат жесткой стенки для зависимости формфактора в имеет вид зависимости . Такая зависимость характерна для формфакторов нуклонов [12, 13, 18]. Существующие экспериментальные данные для формфактора находятся в двух разных интервалах : в интервалах на рис. 3 [20] и на рис. 4 [21, 22]. Зависимость на рис. 1 охватывает оба этих интервала. Из рис. 3 и 4 видно, что формы зависимости формфактора от очень близки. Рис. 1. Численный результат для формфактора в модели жесткой стенки Рис. 2. Численный результат для формфактора в модели мягкой стенки Рис. 3 Рис. 4 Выводы В предлагаемой работе мы рассчитали аксиально-векторный формфактор нуклона в модели как с жесткой, так и мягкой стенкой АдС/КХД [23]. Мы построили график формфактора для , используя программу MATHEMATICA. Полученный результат аксиально-вектор¬ного формфактора хорошо согласуется с существующими экспериментальными данными и результатами различных теоретических подходов для модели с жесткой стенкой.

Скачать электронную версию публикации