Analytical solution of the Schr?dinger equation for the linear combination of the Hulth?n and the class of Yukawa potent.pdf Введение Изучения аналитического решения волновых уравнений в потенциальных полях в релятивистской и нерелятивистской квантовой механике всегда играли и будут играть важную, может быть и основную, роль в области физики ядра и элементарных частиц, а также физики атомов и молекул [1, 2]. В потенциальных моделях физические свойства микрообъектов описываются и соотносятся с помощью различных волновых уравнений, например, уравнения Шредингера, уравнения Дирака, уравнения Клейна - Фока - Гордона, релятивистского конечно-разностного уравнения. В то же время, используются конкретные или терминологически введенные потенциалы взаимодействия. Таких потенциалов немало. Самыми распространенными потенциалами, широко применяемыми как в релятивистской, так и в нерелятивистской областях, являются потенциал гармонического осциллятора и кулоновский потенциал, а также их различные комбинации. К другим разновидностям потенциалов взаимодействия относятся, например, следующие: потенциалы Кратцера, Морса, Эскарта, Maннинга - Розена, Пешля - Теллера, Хюльтена, Вуда - Саксона, Макарова, Хартмана и др. Важнейшее значение потенциальной модели в первую очередь определяется тем, насколько она хорошо описывает те или иные свойства рассматриваемой физической системы. Другая важная сторона модели - ее точность решения. Большой интерес в квантовой механике представляют точные аналитические решения как релятивистских, так и нерелятивистских волновых уравнений для разных потенциалов [1, 3]. Незначительное количество потенциалов может быть решено точно для уравнения Шредингера с любыми радиальными и орбитальными квантовыми числами [1, 3]. Многие квантовые системы могут быть изучены только методами приближений и числового решения. Различают несколько методов, включая суперсимметрию, метод факторизации, подход с использованием лапласовского преобразования, интегралы по траектории, метод Никифорова - Уварова (НУ) [4-14] (и ссылки в них), которые были развиты и направлены на решение квантового волнового уравнения. Метод НУ имеет большую практическую значимость для решения дифференциальных уравнений второго порядка, превращая их в уравнения гипергеометрического типа. Вместе с тем различные экспоненциальные и гиперболические потенциалы решаются аналитически с использованием различных приближений по методу НУ. Вообще говоря, экспоненциальные потенциальные модели всегда привлекают значительное внимание и интенсивно используются в различных физических системах, включая квантовую космологию, ядерную физику, молекулярную физику, физику элементарной частицы и физику конденсированной среды. В большом количестве потенциалов экспоненциального типа, включая потенциал Хюльтена, потенциал Морса, потенциал Маннинга - Розена, потенциал Вуда - Саксона, потенциал Эскарта, потенциал Розена - Морса, были изучены и получены некоторые аналитические решения для связанного состояния, используя при этом приближение для этих моделей в состоянии [4-13]. Уравнения Шредингера также были детально исследованы в работах [15-17]. В настоящей работе основной целью нашего исследования является аналитическое решение модифицированного уравнения Шредингера для линейной комбинации потенциала Хюльтена и класс Юкавы в рамках обычной квантовой механики с использованием метода Никифорова - Уварова. Применяя развитую аппроксимацию для преодоления проблемы, возникающей в случае в центробежной части потенциала, найдены собственные значения энергии и соответствующие радиальные волновые функции для любого значения орбитального углового момента . Статья состоит из нескольких разделов: в разд. 1 представлено краткое описание метода Никифорова - Уварова. В разд. 2 даны решения для связанных состояний уравнения Шредингера для потенциала Хюльтена плюс класс потенциала Юкавы при улучшенной схеме аппроксимации, полученные с помощью метода НУ. В разд. 3 обсуждаются частные случаи. Далее, в разд. 4, представлены численные результаты для уровней энергии в зависимости от потенциальных параметров , квантовых чисел , и заключительные замечания о нашей работе. 1. Краткое содержание метода Никифорова - Уварова Метод Никифорова - Уварова благополучно применяется для решения дифференциального уравнения второго порядка, которое имеет вид [14] . (1) Здесь и - полиномы не выше второй степени; - полином не выше первой степени. Если взять следующую факторизацию для функции : , (2) тогда уравнение (1) сводится к уравнению гипергеометрического типа , (3) где и удовлетворяют условию , а функция определяется следующим выражением: . (4) Здесь - параметр. Определение является существенным моментом при расчете функции . Данный параметр определяется из выражения (4) приравниванием дискриминанта квадратного корня к нулю. Отсюда можно получить общее квадратное уравнение для k. Значения k можно использовать для вычисления собственного значения энергии с использованием формулы . (5) Полиномиальные решения задаются соотношением Родрига , (6) где - нормирующая постоянная; - весовая функция, которая определяется из уравнения . (7) С другой стороны, функция удовлетворяет условию . (8) 2. Аналитическое решение уравнения Шредингера для суммы потенциала Хюльтена и класс Юкавы в связанном состоянии Уравнение Шредингера для частицы с массой в сферической системе координат имеет вид [2] . (9) С учетом этого уравнения полная волновая функция в сферической системе координат записывается таким образом: . (10) Подставим функцию (10) в уравнение (9), тогда для радиального уравнения Шредингера получим . (11) Наша главная цель в данном исследовании - с помощью метода Никифорова - Уварова найти аналитическое решение уравнения (9) для суммы потенциала Хюльтена и класс Юкавы в связанном состоянии. В системе взаимодействия потенциал Хюльтена широко используется для описания непрерывных и связанных состояний. Этот потенциал применяется в различных областях исследований, таких как атомная физика и физика молекул, физика конденсированных сред и элементарных частиц, ядерная физика. Потенциал Хюльтена определяется следующим образом [18, 19]: . (12) Здесь - параметр экранирования; - число атомов в таблице Менделеева. В физике потенциал Хюльтена является одним из важных на малых расстояниях потенциалов. Потенциал был использован в ядерной физике, в физике элементарных частиц, в атомной физике, в физике твердого тела. Общие волновые функции этого потенциала применялись в задачах физики твердого тела и атомной физики. Это подтверждает, что потенциал Хюльтена является частным случаем потенциала Эcкарта [20]. Следует отметить, что радиальное уравнение Шредингера для потенциала Хюльтена можно решить аналитически только для состояний с нулевым угловым моментом [3]. При малых значениях радиальной координаты потенциал Хюльтена ведет себя как кулоновский потенциал, тогда как при больших значениях он экспоненциально убывает, так что его влияние на связанное состояние меньше, чем у кулоновского потенциала. Этот потенциал также используется для описания колебаний двухатомной молекулы и создает подходящую модель для других физических явлений. Второй наш потенциал - это потенциал Юкавы, который был предложен Юкавой [21] как эффективный нерелятивистский потенциал, очень хорошо описывающий сильные взаимодействия нуклонов. Потенциал Юкавы благодаря экспоненциальному множителю убывает быстрее, чем 1/r. Потенциал класс Юкавы можно представить в следующем виде: , (13) где определяют глубину потенциала. Для суммирования потенциала Хюльтена и класс Юкавы применяем уникальное приближение потенциала Юкавы в виде [22-24] ; (14) . (15) Следовательно, сумму потенциалов Хюльтена и класса Юкавы можно представить в виде . (16) Здесь . (17) Линейную комбинацию этих двух потенциалов можно использовать для изучения взаимодействий деформированной пары ядра и спин-орбитальной связи для частицы в потенциальном поле. Другое важное свойство этого потенциала - использование его при описании колебаний внутри адронной системы. Из исследования уравнения Шредингера для линейной комбинации потенциала можно получить более глубокую и точную оценку физических свойств волновых функций и энергий в связанных, дискретных, а также непрерывных состояниях взаимодействующих систем. На основании исследований в этом направлении в настоящей работе мы представляем решение радиального уравнения Шредингера для линейной комбинации потенциалов Хюльтена и класс Юкавы. В рамках таких комбинированных потенциалов возможно исследовать рассматриваемую квантовую систему на значительных расстояниях. Подставляя потенциал (16) в уравнение (9), для радиального уравнения Шредингера получаем . (18) Из уравнения (18) видно, что когда , центростремительный потенциал имеет сингулярность. Это уравнение точно решается в случае, если . Для решения проблемы аналитического решения для случая , возникающей в центробежной части потенциала Хюльтена плюс класс Юкавы, подставляем выражение (15) в (18) и получаем . (19) Из уравнения (19) мы можем определить эффективный потенциал для суммы Хюльтена и класс Юкавы в следующем виде: . (20) Для решения уравнения (20) методом Никифорова - Уварова необходимо преобразовать его к определенному типу гипергеометрического уравнения, которое имеет вид [14] . (21) Для того чтобы привести уравнение (19) к гипергеометрическому уравнению, которое имеет вид (21), мы должны ввести новую переменную : , . (22) Учитывая в уравнении (19) новые переменные (22), получаем . (23) Для того чтобы переписать дифференциальное уравнение в более компактном виде, в уравнение (23) мы должны ввести новые обозначения, которые имеют вид . (24) Учитывая выражения (24) в уравнении (23), получаем . (25) Теперь мы можем успешно применить метод Никифорова - Уварова для решения уравнения (25). Сравнивая уравнение (25) с уравнением (21), для и получаем: , , . (26) Используя формулы (4) и выражение (26), для функции получаем (27) Здесь , (28) . Параметр может быть найден из выражения (27) следующим образом. Из условия, что дискриминант выражения уравнения (27) под квадратным корнем равен нулю, находим: ; (29) , , (30) . Подставляя выражения (30) в (27), для функции получаем (31) Как видно из выражения (31), полином имеет четыре возможных значения по методу Никифорова - Уварова, но мы выбираем то значение , для которого функция имеет отрицательную производную. Другие значения не являются физическими. Таким образом, соответствующие функции и имеют вид ; (32) ; (33) ; (34) , . (35) Собственные значения энергии обычно находятся из нижеследующих выражений: ; (36) . (37) Если выражения (33) и (34) подставить в (36), то для получаем . (38) С другой стороны, определяется в виде . (39) В выражениях (38) и (39) левые части равны, и поэтому, приравнивая правые стороны этих выражений, получаем . (40) Решая уравнения (40) по , для нахождения собственных значений энергии находим аналитическое выражение в виде . (41) Здесь , . (42) Учитывая в (41) выражение (42), получаем . (43) Учитывая в (43) выражение (24), для спектра энергии получаем аналитическое выражение . (44) Для нахождения радиальной функции частицы, движущейся в потенциальном поле Хюльтена плюс класс Юкавы, мы факторизуем радиальную функцию в виде . (45) Применяя метод НУ, функция находится из условия . (46) Теперь, решая уравнение (46), для функции находим . (47) Функция находится из формулы Родрига . (48) Здесь - нормирующая постоянная; является весовой функцией и находится из решения уравнения Пеарсона в виде . (49) Решая уравнение (49) по , получаем . (50) Подставляя весовую функцию в (48), для функции находим . (51) Учитывая, что , (52) для функции получаем . (53) Применяя полученные выражения (47) и (53), подставим их в выражение (45) для радиальной волновой функции и получим [25] . (54) Используя свойства полиномов Якоби, с помощью гипергеометрической функции выразим радиальную волновую функцию . Отсюда получаем: , (55) ; . (56) Тогда для функции получаем выражение в компактном виде . (57) В нашем случае , где - нормирующая постоянная, которая находится из условия нормированности: . (58) Используя интегральные формулы, получаем (59) В нашем случае , тогда (60) ; (61) . (62) 3. Частные случаи Если в выражениях (44) и (57) учесть условия и , тогда получаем энергетический спектр и собственные волновые функции для потенциала Хюльтена в случае s-волны. В этом случае , и . (63) Энергетический спектр определяется в виде . (64) Собственные волновые функции определяются так: (65) Как видно из выражений (64) и (65), наши результаты полностью совпадают с результатами, представленными в [26]. Также в выражениях (44) и (57), подставляя , получаем энергетический спектр и собственные волновые функции для потенциала Хюльтена при : (66) ; (67) . (68) Результаты, представленные в формулах (66) и (67), полностью соответствуют результатам, полученным в работе [4]. С другой стороны, подставляя в выражение (24), получаем энергетический спектр и собственные волновые функции для потенциала класс Юкавы в случае [27]. В этом случае , , (69) тогда ; (70) . (71) Здесь . 4. Обсуждение результатов и заключение В настоящей работе с помощью метода Никифорова - Уварова решено модифицированное радиальное уравнение Шредингера для потенциала Хюльтена плюс класс Юкавы, для частицы при произвольных значениях орбитального квантового числа. Аналитические выражения для собственных значений энергии и соответствующие собственные функции получены для произвольного значения орбитального и радиального квантовых чисел. Показано, что собственные значения энергии и функции соответствуют радиальному и орбитальному квантовым числам. В ходе решения уравнения Шредингера, в случае произвольных значений орбитального момента, мы применили особый подход к центростремительному потенциалу для преодоления проблемы, связанной с компонентой, которая пропорциональна . Используя пакетную программу MATHEMATICA, получили численные результаты для собственных значений энергии. В таблице представлены численные результаты для собственных значений энергии для потенциала Хюльтена плюс класс Юкавы в атомных единицах как зависимость параметра экранирования для различных состояний, полученных с помощью метода Никифорова - Уварова в рамках обычной квантовой механики. В таблице использованы следующие значения параметров: , и . Далее наши результаты сравниваем с результатами, вычисленными для потенциала Хюльтена. Как видно из сравнения этих результатов, в нашем случае частица находится в более глубоком устойчивом состоянии. Было также проведено сравнение наших результатов с другими результатами, полученными при использовании традиционного метода для потенциала Хюльтена. Как видно из сравнения этих результатов, в нашем случае частица также находится в более глубоком устойчивом состоянии. В компактном виде найдены аналитические выражения для спектра энергии и соответствующие собственные волновые функции для произвольных значений орбитального квантового числа. Используя свойства полиномов Якоби, собственные волновые функции были выражены через гипергеометрические функции. Были также получены аналитические выражения для спектра энергии и соответствующие собственные волновые функции для потенциала Хюльтена и класс Юкавы. Кроме того, было показано, что собственные значения энергии и волновые функции соответствуют выбранным радиальным и орбитальным квантовым числам. Следовательно, исследование аналитического решения модифицированного уравнения Шредингера для потенциала Хюльтена плюс класс Юкавы в рамках квантовой механики может способствовать получению важной информации о динамике в ядерной, атомной и молекулярной физике и дает возможность для более глубокого изучения данной задачи. Таким образом, мы можем сделать вывод, что полученные нами результаты будут интересны не только физику-теоретику, но и физику-экспериментатору благодаря точным и более общим результатам. Численные результаты для собственных значений энергии в зависимости от параметра экранирования для уровней 2p, 3p, 3d, 4p, 4d, 4f, 5p, 5d, 5f, 5g, 6p, 6d, 6f и 6g при потенциальных параметрах: и Уровни Наш результат [28] [29] [30] [30] 2p 0.025 -0.484552 0.01128125 0.1127605 0.1127605 0.1127605 0.050 -0.435756 0.1012500 0.1010425 0.1010425 0.1010425 0.075 -0.389549 0.0903125 0.0898478 0.0898478 0.0898478 0.10 -0.345931 0.0800000 0.0791794 0.0791794 0.0791794 0.150 -0.266462 0.0612500 0.0594415 0.0594415 0.0594415 0.200 -0.197350 0.450000 0.0418854 0.0418860 0.0418860 0.250 -0.138593 0.0312500 0.0266060 0.0266111 0.0266108 0.300 -0.0901933 0.0200000 0.0137596 0.0137900 0.0137878 0.350 -0.0521496 0.0112500 0.0036146 0.0037931 0.0037734 3p 0.025 -0.184333 0.0437590 0.0437068 0.0437069 0.0437069 0.050 -0.141607 0.0333681 0.0331632 0.0331645 0.0331645 0.075 -0.104506 0.0243837 0.0239331 0.0239397 0.0239397 0.100 -0.0730304 0.0168056 0.0160326 0.0160537 0.0160537 0.150 -0.0269535 0.00586811 0.0043599 0.0044663 0.0044660 3d 0.025 -0.180041 0.0437587 0.0436030 0.0436030 0.0436030 0.050 -0.137491 0.0333681 0.0327532 0.0327532 0.0327532 0.075 -0.100669 0.0243837 0.0230306 0.0230307 0.0230307 0.100 -0.0695738 0.0168055 0.0144832 0.0144842 0.0144842 0.150 -0.0245671 0.0058681 0.0132820 0.0013966 0.0013894 4p 0.025 -0.0836851 0.0200000 0.0199480 0.0199489 0.0199489 0.050 -0.0479083 0.0112500 0.0110430 0.0110582 0.0110582 0.075 -0.0220451 0.0050000 0.0045385 0.0046219 0.0046219 0.100 -0.00609521 0.0012500 0.0004434 0.0007550 0.0007532 4d 0.025 -0.0819467 0.0200000 0.0198460 0.0198462 0.0198462 0.050 -0.0463853 0.0112500 0.0106609 0.0106674 0.0106674 0.075 -0.020875 0.0050000 0.0037916 0.0038345 0.0038344 4f 0.025 -0.0812328 0.0200000 0.0196911 0.0196911 0.0196911 0.050 -0.0457617 0.0112500 0.0100618 0.0100620 0.0100620 0.075 -0.0203993 0.0050000 0.0025468 0.0025563 0.0025557 5p 0.025 -0.0395436 0.0094531 0.0094011 0.0094036 0.050 -0.0123113 0.0028125 0.0026058 0.0026490 5d 0.025 -0.0387122 0.0094531 0.0092977 0.0093037 0.050 -0.0117431 0.0028125 0.0022044 0.0023131 5f 0.025 -0.038370 0.0094531 0.0091507 0.0091521 0.050 -0.0115112 0.0028125 0.0017421 0.0017835 5g 0.025 -0.0381826 0.0094531 0.0089465 0.0089465 0.050 -0.0113847 0.0028125 0.0010664 0.0010159 6p 0.025 -0.0176775 0.0042014 0.0041493 0.0041548 6d 0.025 -0.017253 0.0042014 0.0040452 0.0040606 6f 0.025 -0.0170782 0.0042014 0.0038901 0.0039168 6g 0.025 -0.00057856 0.0042014 0.0036943 0.0037201

Скачать электронную версию публикации