Quantum states of the Kapitza pendulum.pdf Введение П.Л. Капица в 1951 г. провел систематическое исследование необычных особенностей равновесия жесткого маятника, когда его точка подвеса вибрирует с высокой частотой [1]. Достаточно быстрая вибрация делает верхнее положение устойчивым [2, 3]. Это явление, объясненное с помощью аналитического метода Капицы [4], основанного на асимптотическом разделении быстрых и медленных переменных [5], нашло широкое применение в различных областях классической и квантовой физики. Динамика нелинейных классических механических систем в высокочастотных полях описывается эффективным не зависящим от времени гамильтонианом. Он получается при последовательном разложении решения по обратным степеням частоты и позволяет исследовать движение в присутствии быстро осциллирующих полей в рамках теории, разработанной для автономных систем [6]. Нелинейная система может быть стабилизирована шумом, так что верхняя точка равновесия маятника становится устойчивой, даже когда шум белый, и простой эффект маятника Капицы не реализуется [7]. Устойчивое вертикальное положение перевернутого маятника возникает и в случае точки подвеса, подвергнутой совместному воздействию высокочастотных гармоник и стохастических сил [8]. Эффект стабилизации за счет вибрации был распространен на сложные упругие системы [9-13], а применение этого подхода к движению заряженных частиц в электромагнитных волнах привело к представлению о силе Миллера [14, 15] и созданию оптического пинцета [16-18]. Явления, подобные эффекту Капицы, возникают в немеханических системах, например, при рассмотрении нелинейного уравнения Шредингера с периодически меняющимся коэффициентом дисперсии для стабилизации импульсов в волоконно-оптических системах [19], а в структурах с поперечным распределением показателя преломления, периодически модулируемого по продольной координате, проявляется ограничение света вследствие динамического захвата [20, 21]. Теория стабилизации на основе метода усреднения допускает обобщение на случай мнимого осциллирующего потенциала. При высокой частоте в нем образуется связанное состояние, способное обеспечить устойчивость оптического резонатора с переменной отражательной способностью [22]. С помощью эффекта Капицы за счет амплитудной и фазовой модуляции достигается стабилизация неустойчивой ветви резонаторных солитонов [23]. Квантовая динамика в высокочастотном поле, как и классическая, описывается эффективным не зависящим от времени гамильтонианом [24, 25]. Этот эффективный гамильтониан определяет состояния, а также величину самого низкого резонанса в модели атомной ловушки [26], экспериментальная реализация которой достигается при сочетании статической конфигурации с внешним переменным электрическим полем [27]. Такое осциллирующее поле захватывает частицы, поскольку в одномерной яме эффективного потенциала всегда существует связанное состояние [28, 29]. Построенные на этом принципе экспериментальные установки с ультрахолодными атомами являются удобным инструментом исследования квантовых систем, далеких от равновесия. В них возможна реализация вещества Флоке с эффектом стабилизации Капицы для атомов в максимумах поля оптической решетки [30-32]. Динамическая стабилизация Капицы в многочастичных системах предотвращает нагрев за определенным порогом периодического воздействия [33] и обусловливает ряд других явлений. В частности, периодическая модуляция поперечного магнитного поля позволяет обеспечить устойчивый захват ферромагнитных спиновых систем вокруг неустойчивых парамагнитных конфигураций [34]. Обобщением маятника Капицы на систему многих тел является модель синус-Гордона с периодическим воздействием, динамически устойчивая при воздействии с конечной частотой и амплитудой [35]. В управляемой двухмодовой модели Бозе - Хаббарда в режиме джозефсоновского взаимодействия для слабого нерезонансного воздействия, где хаотический компонент мал, коллективное поведение также воспроизводит динамику маятника Капицы [36]. В микрометровом масштабе классический маятник Капицы экспериментально реализован с использованием коллоидной частицы, взвешенной в воде и захваченной оптическим пинцетом [37]. Квантовая динамика маятника Капицы может быть экспериментально реализована за счет преобразования наноразмерного сверхпроводящего ротатора в обычный или инвертированный квантовый маятник настраиваемым постоянным полем в сочетании с величиной инерции и возбуждения [38]. Квантовый маятник Капицы стабилизируется в виде квантовых состояний вблизи локального минимума эффективной потенциальной энергии. Данная работа посвящена теоретическому описанию квантовых состояний в таком потенциале и определению их энергии. 1. Квантовое уравнение движения маятника Капицы Рассмотрим маятник Капицы, т.е. плоский маятник длиной в однородном поле, точка подвеса которого совершает высокочастотные вертикальные колебания по закону [5] с амплитудой . Координаты точки с массой m задаются соотношениями , (1.1) а функция Лагранжа , (1.2) где . Cилу будем считать быстропеременной, т.е. . (1.3) Тогда классическое уравнение движения имеет вид , (1.4) а после выполнения усреднения по быстрым осцилляциям получается эффективная потенциальная энергия , (1.5) где , . Точка соответствует локальному минимуму . При выполнении условия верхнее положение ( ) является устойчивым при . Имеется также равный глобальный минимум потенциальной энергии , который достигается при . Уравнение Шредингера для волновой функции квантового маятника Капицы имеет вид . (1.6) Мы воспользуемся преобразованием Кука [39] для исключения быстрых осцилляций . (1.7) После подстановки выражения (1.7) в уравнение (1.6) и усреднения по периоду быстрых осцилляций внешней силы получим уравнение Шредингера с эффективным потенциалом . (1.8) В не зависящем от времени эффективном потенциале возможны стационарные состояния , уравнение для которых имеет вид . (1.9) Это известное уравнение Уиттекера - Хилла, общие свойства которого хорошо изучены [40, 41]. В пределе уравнение (1.8) описывает плоский жесткий кантовый ротатор. Eго нормированные решения, обладающие 2π-периодичностью по углу, имеют известный вид квантования момента , (1.10) а квантованные значения энергии, отсчитываемые от дна потенциальной ямы, определяются по формуле . (1.11) Динамика плоского квантового маятника в однородном поле без воздействия периодических сил описана также достаточно подробно [42]. Далее мы рассмотрим различные режимы движения квантового маятника Капицы, не исследованные ранее, используя единицы измерения, в которых . 2. Колебательные состояния Эффективная потенциальная энергия маятника Капицы представляет собой совокупность стабилизирующей мелкой и глубокой потенциальных ям конечной глубины, разделенных потенциальным барьером. Вершины симметричных максимумов потенциальной энергии расположены в точках (2.1) и . (2.2) Для аналитической оценки энергий состояний мелкой ямы мы воспользуемся представлением в окрестности эффективного потенциала модельным потенциалом . (2.3) Спектр энергий связанных в нем состояний описывается формулой [28] , (2.4) в которой . Предельное условие существования только одного связанного состояния имеет вид . (2.5) Вблизи дна гладкой ямы потенциал можно считать квадратичной функцией угла отклонения и использовать приближенное выражение , (2.6) где верхний знак соответствует мелкой яме, а нижний знак - глубокой яме. Уравнение (1.9) тогда принимает вид . (2.7) Введем обозначения: , и , где - частота колебаний классического осциллятора. В них уравнение (2.7) записывается как . (2.8) Его решения выражаются через полиномы Эрмита порядка n в виде [28] , (2.9) а . Эти значения энергии систематически завышают истинные величины, поскольку потенциал осциллятора является более узким по сравнению с эффективным потенциалом. Для уточнения осцилляторных значений энергии воспользуемся теорией возмущения в базисе функций (2.9). Состояния квантового осциллятора не вырождены, поэтому ненулевая поправка к энергии в первом порядке по возмущению есть . (2.10) После вычисления матричного элемента получаем , (2.11) где - полиномы Лагерра. Формула (2.11) позволяет рассчитывать энергии низших уровней как в мелкой, так и в глубокой яме. 3. Квазиклассическое описание С ростом число и плотность уровней растут, и поведение системы приближается к классическому движению. Рассмотрим связанные состояния в потенциале двух ям в квазиклассическом приближении [43]. Устойчивое классическое движение перевернутого маятника с моментом импульса (3.1) в потенциале (1.5) допустимо между классическими точками поворота , в мелкой яме, в которых . Между границами потенциального барьера и движение классически недоступно, и проникновение через него носит характер квантового туннельного эффекта. Решение уравнения определяет положение барьерных точек поворота . (3.2) При точки поворота сливаются в одну, потенциальный барьер исчезает и стабилизация отсутствует. Квазиклассическое условие квантования для определения значения энергии в яме может быть записано в виде , (3.3) где фазовый интеграл , а . Для финитного движения максимальное значение фазового интеграла достигается, когда точки поворота расположены на вершинах симметричных максимумов . Квантовые эффекты наиболее заметно проявляются при величине . С ростом этого параметра спектр энергий постепенно переходит в непрерывный. В двух разных ямах маятника Капицы возможна реализация состояний с близкими энергиями. В этом случае туннельное резонансное прохождение маятника из одной ямы в другую обеспечивает формирование двух билокализованных состояний. Для нахождения их энергии воспользуемся матрицей преобразования решений за период [44]. Для периодического решения Флоке уравнения Хилла выполняется условие . (3.4) Для стационарных состояний на окружности мультипликатор . Известна матрица преобразования волновой функции для потенциала рассматриваемого вида, полученная в квазиклассическом приближении [45]. Для нахождения энергий стационарных состояний выберем в интервале два линейно независимых решения [46] . (3.5) Преобразование этих функций за период примет вид , (3.6) . Условие (3.4) приводит к уравнению . (3.7) С учетом этого уравнение для определения спектра принимает форму , (3.8) поскольку из-за свойств вронскиана, а , (3.9) где ; . С учетом условие для определения энергий принимает вид . (3.10) Если энергии состояний в ямах отличаются больше, чем на величину , эти состояния практически независимы. В случае близко расположенных уровней их взаимное влияние можно учесть как возмущение, рассматривая действие как малое отклонение фазы от условия квантования: . (3.11) Здесь для мелкой ямы и для глубокой ямы. Используя представление (3.9), с учетом уравнения (3.10) будем иметь . (3.12) Если квантовые числа и имеют разную четность, то в двух подбарьерных областях знаки взаимодействия состояний противоположны и расщепление энергий отсутствует. При одинаковой четности . (3.13) Поскольку , расщепление энергий состояний выразится в виде , (3.14) где - классическая частота колебаний в мелкой яме; - классическая частота колебаний в глубокой яме. При получим , (3.15) что в 2 раза превышает величину туннельного расщепления энергии уровней, найденного для несимметричной двойной ямы как в рамках квазиклассического приближения [47], так и методом двухуровневой аппроксимации [48], за счет наличия двух областей подбарьерного перекрытия волновых функций. При для надбарьерного вращательного движения маятника Капицы условие применимости процедуры усреднения состояния по быстрым осцилляциям внешнего поля принимает вид , (3.16) где - классическая частота вращения маятника. Квазиклассическое условие квантования Бора - Зоммерфельда для вращательного движения в эффективном потенциале записывается как . (3.17) Оно позволяет найти энергии состояний с учетом влияния потенциала и периодичности движения. 4. Результаты численных расчетов и их обсуждение Рис. 1. Зависимость эффективного потенциала от угла (сплошная линия). Модельный потенциал - точки, уровни энергий связанных состояний - пунктирные линии В качестве примера, иллюстрирующего общее теоретическое описание, мы возьмем маятник Капицы с параметрами и . Такой выбор значений обеспечивает наличие нескольких квантовых уровней в мелкой яме. Эффективная потенциальная энергия и соответствующий ей модельный потенциал (2.3) при с шестью дискретными уровнями показаны на рис. 1. В табл. 1 представлены результаты расчетов энергии состояний в модельном потенциале, а также в эффективном потенциале в квазиклассическом приближении, методом стрельбы [49] с использованием при интегрировании уравнения Шредингера численного алгоритма Нумерова [50, 51] и в приближении гармонического осциллятора с поправкой на эффективный потенциал. Асимптотика для выбора стартовых значений численной процедуры Нумерова взята под барьером на основе квазиклассического приближения, что огранивает точность расчетов этим методом. Волновая функция основного состояния осциллятора есть функция Гаусса. Считая ее ширину параметром, вариационным методом найдено значение энергии низшего состояния в мелкой яме, совпадающее с расчетами как методом стрельбы, так и в первом порядке теории возмущений для гармонического осциллятора. Таблица 1 Энергии уровней в мелкой яме Модельный потенциал Квазиклассика Метод стрельбы Гармонический осциллятор Гармонический осциллятор с поправкой 1.0358 1.0300 1.0296 1.0304 1.0296 1.1015 1.0875 1.0869 1.1520 1.0874 1.1552 1.1409 1.1403 1.0912 1.1421 1.1969 1.1896 1.1892 1.2128 1.1939 1.2266 1.2317 1.2304 1.2736 1.2429 1.2443 Сравнение результатов расчетов спектра разными способами показывает, что модельный потенциал подходит для общей оценки распределения уровней энергии в мелкой яме, обеспечивающей устойчивость перевернутого маятника, но указывает на дополнительное состояние, которое не воспроизводится ни квазиклассическим, ни прямым численным расчетом. Такое различие с квазиклассическим расчетом для данного модельного потенциала хорошо известно и связано с точностью метода ВКБ (Ветцеля - Крамера - Бриллюэна). Однако для более точных выводов, относящихся непосредственно к эффективному потенциалу маятника Капицы, требуется дополнительное исследование, учитывающее особенности поведения волновой функции вблизи вершины потенциального барьера. На рис. 2 для мелкой и глубокой ямы показана зависимость от энергии приведенной фазы , выраженной через величину классического действия на интервале между точками поворота. Полученные таким образом при квазаклассические значения энергий в мелкой яме отвечают пяти уровням и показывают 28 состояний в глубокой яме. Рис. 2. Зависимость приведенной фазы от энергии для мелкой (a) и глубокой (б) ямы В диапазоне энергий от дна до вершины потенциала мелкой ямы в глубокой яме имеется 5 квазиклассических состояний (от 23 до 28), с которыми потенциально возможно резонансное взаимодействие состояний из мелкой ямы. Близки к резонансу верхние состояния с n1 = 4 и n2 = 27, однако они имеют разную четность, их взаимодействие равно нулю, и поэтому расщепление энергии за счет резонансного туннелирования отсутствует. Волновые функции этих состояний, обладающие разной симметрией и рассчитанные по алгоритму Нумерова, показаны на рис. 3. Значения энергий верхних состояний в глубокой яме и энергий вращательных состояний, вычисленные с помощью квазиклассического квантования и прямым численным решением методом стрельбы, представлены в табл. 2. С ростом энергии точность квазиклассического приближения ожидаемо увеличивается. Рис. 3. Волновые функции верхних состояний в мелкой (a) и глубокой (б) ямах Таблица 2 Энергии уровней в глубокой яме и вращательных состояний Квазиклассика для глубокой ямы Метод стрельбы для глубокой ямы Квазиклассика для вращательных состояния Метод стрельбы для вращательных состояний 1.0160 1.0154 1.2619 1.2629 1.0743 1.0736 1.3034 1.2827 1.1287 1.1280 1.3537 1.3004 1.1786 1.1782 1.4106 1.3239 1.2225 1.2215 1.4735 1.3503 1.5418 1.3777 1.6152 1.465 5.182 (n = 50) 5.0699 7.218 (n = 60) 7.1890 На рис. 4 показан результат квазиклассического расчета приведенной фазы как функции энергии и ее сравнение с зависимостью (1.11) для свободного вращения. С ростом энергии происходит сближение двух кривых, отвечающее асимптотическому сближению спектров. Рис. 4. Приведенная фаза в зависимости от энергии для вращательного движения маятника Капицы: сплошная линия - квазиклассическое приближение, пунктирная линия - свободное вращение Заключение Воздействие высокочастотной силы на перевернутый квантовый линейный осциллятор приводит к стабилизации центра волнового пакета, сохраняя его дисперсионное расплывание [52]. В квантовом маятнике Капицы расплывание состояний подавляется за счет нелинейности, а их разрушение, без учета стохастического теплового воздействия, может происходить за счет резонансного туннельного прохождения барьера, отделяющего локальный минимум эффективной потенциальной энергии в верхнем положении маятника от глобального минимума в его нижнем положении. Сравнение результатов применения разных методов показывает, что энергию основного состояния при условии стабилизации можно уверенно рассчитывать в рамках осцилляторной модели с первой поправкой по теории возмущений. Для остальных состояний предпочтительно использовать квазиклассическое приближение или численные расчеты методом Нумерова. Квазиклассическое приближение хорошо воспроизводит состояния, не слишком приближающиеся к вершине потенциала, и его точность повышается при большом количестве уровней. Существенное расхождение численных расчетов с аналитическими модельными оценками возникает вблизи вершины потенциального барьера, где стандартный метод ВКБ нарушается. Детальный расчет состояний вблизи вершины потенциального барьера требует отдельного рассмотрения и предполагает более точный учет поведения волновой функции в этой области энергий. Это можно сделать, например, используя вблизи вершины эффективного потенциала приближение в виде потенциала перевернутого осциллятора [47, 53]. Особенно важен такой учет для мелких ям с одним слабо связанным состоянием, когда обычное квазиклассическое приближение неприменимо. В заключение отметим, что рассмотренная нами задача о локализованном на окружности движении системы близка к задаче о движении частицы в бесконечно протяженном периодическом потенциале Капицы. Однако для инфинитного потенциала спектр решений, который находится методом Флоке, имеет, при наличии резонансных состояний, структуру разрешенных энергетических зон, центры которых в области колебательных состояний совпадают с рассчитанными нами энергиями. Движение над барьером в этом случае характеризуется сплошным непрерывным энергетическим спектром.

Скачать электронную версию публикации