Application of the jost function to calculate the discrete spectrum of a helium atom.pdf Введение Невозможность точного аналитического решения уравнения Шредингера, описывающего состояния двухэлектронной атомной системы, привело к появлению достаточно большого количества численных методов построения волновых функций, удовлетворяющих уравнению которые в случае дискретного спектра должны удовлетворять условиям при при Однако все методы, по сути, являются разновидностями только двух подходов: применение теории возмущений и разложения по дискретным наборам базисных функций. Каждый из подходов имеет известные недостатки. Например, в методах теории возмущений разложение уже до второго порядка малости приводит к весьма громоздким выражениям, в которых сложно проследить физический смысл. В методах, использующих разложения по базисам, для улучшения сходимости приходится использовать большое количество масштабирующих параметров, численные значения которых подбираются эмпирически. Поэтому, в частности, получают развитие методы построения модельных волновых функций с максимально упрощенной структурой. В настоящей работе предлагается подход, в котором удалось избежать слабых мест предыдущих методов. Нам требуется введение всего одного параметра - эффективного заряда ядра. Рассмотрим квантово-механическое описание процесса упругого рассеяния частицы с приведенной массой m и импульсом (здесь и далее используются атомные единицы) на сферически симметричном потенциале вида , (1) в котором выделены часть с кулоновским поведением и «короткодействующая» часть со следующими свойствами: ; (2) (3) Применяя метод парциальных волн, запишем радиальное уравнение Шрёдингера (4) где - орбитальный угловой момент; - параметр Зоммерфельда. Для случая, когда кулоновское взаимодействие отсутствует ( ), Р. Йост в работе [1] предложил следующий вид парциальной волновой функции с моментом : (5) Функции , впоследствии названные решениями Йоста, удовлетворяют уравнению (4) с асимптотическим условием (6) Функции Йоста , входящие в формулу (5), обычно определяющиеся как значения решений Йоста в точке : , позволяют ввести матрицу рассеяния как отношение В настоящее время опубликовано большое количество работ, посвященных исследованию свойств решений и функций Йоста, методам их вычисления для различных видов потенциала . Подробный обзор литературы по данной тематике сделан в недавней диссертации [2]. При потенциалом можно пренебречь, поэтому уравнение (4) принимает вид (7) Решением этого уравнения являются - регулярная и - нерегулярная кулоновские функции или их линейные комбинации (8) При больших функции описывают расходящиеся и сходящиеся потоки частиц где - кулоновский фазовый сдвиг Поскольку функции удовлетворяют условию (6), то они фактически являются йостовскими решениями, поэтому регулярное решение уравнения (4) при больших значениях можно представить в виде линейной комбинации (9) где Так как вид выражения для функции совпадает с (5), то функции считают [2] функциями Йоста. Следовательно, S-матрица может быть определена как отношение (10) Функции аналитически продолжаются в область комплексных k-переменных [3]. Точки k-плоскости, в которых функции Йоста обращаются в нуль (спектральные точки), соответствуют: при и связанным состояниям квантовой системы с энергией и значениям импульса (11) при , - виртуальным квазистационарным состояниям; при , - резонансам [4]. Таким образом, связанные состояния рассматриваемой квантовой системы с энергией будут соответствовать полюсу S-матрицы (10). Дифференциальное уравнение для амплитудных функций Методы нахождения функций Йоста, как правило, предполагают переход от уравнения Шредингера к эквивалентным интегральным уравнениям (например, [2]) или дифференциальным уравнениям (например, [2, 5, 6]), решениями которых сразу будут искомые функции. Так, в работе [6] приводится дифференциальное уравнение для случая, когда в квантовой системе присутствует только короткодействующее взаимодействие (т.е. в (1) ): (12) где - сферические функции Рикатти - Ханкеля; - амплитудные функции. В данной работе мы предлагаем обобщение метода [6], позволяющее применять дифференциальное уравнение вида (12) как для короткодействующих потенциалов, так и для потенциалов с кулоновской асимптотикой. Отметим, что несмотря на то, что формально эффективный потенциал должен быть короткодействующим, авторы работы [7] используют уравнение (12) для случая, описываемого в данной статье, поэтому в дальнейшем мы будет сравнивать полученные результаты с результатами работы [7]. Получим дифференциальное уравнение для амплитудных функций в задаче с потенциалом (1) и условиями (2) и (3). Применив метод вариации произвольной постоянной к выражению (9), запишем волновую функцию как линейную комбинацию функций : (13) Тогда функции Йоста можно определить из асимптотических значений амплитудных функций следующим образом: Для того, чтобы гарантировать непрерывность первой производной от функции в точках возможных разрывов потенциала , используем условие Лагранжа, часто применяемое (например, [1]) при использовании метода вариации произвольной постоянной (14) Тогда выражение для второй производной функции не будет содержать производных от функций : (15) Выразим из (7) вторые производные от функций и подставим в (15): (16) Из уравнений (4) и (16) следует (17) Учитывая, что вронскиан от кулоновских функций известен: из (8) находим (18) Подставив в (17) выражения (14) и (18), в результате получим (19) Продифференцировав уравнение (19) по и в промежуточных преобразованиях снова учитывая условие (14) и значение вронскиана (18), получим уравнение (20) где (21) Уравнение (20) совпадает с (12) в случае нейтральных частиц ( ), но является более общим, так как корректно учитывает кулоновское взаимодействие в системе. Уравнение (20), будучи полностью эквивалентным уравнению Шредингера, позволяет находить решения Йоста. При решении (20) необходимо учитывать, что функции (21) могут обращаться в нуль в некоторых точках области определения из-за осцилляций , поэтому выделять логарифмические производные, как это сделано в (12), в данном уравнении нежелательно, особенно при численном решении. Обсудим граничные условия, которые необходимо наложить на функцию при решении уравнения (20). Функции содержат нерегулярные кулоновские функции . Волновая функция (13) будет оставаться регулярной в точке при условии, что значения амплитудных функций равны одной и той же постоянной величине, поэтому в работе в качестве первого граничного условия для уравнения (20) принято (22) Выбранное значение будет определять нормировку рассчитанной волновой функции, но не влияет на полюсы S-матрицы. Наши численные расчеты показали, что значение первой производной при не оказывает существенного влияния на значения функции Йоста, к которой амплитудная функция приближается монотонно, поэтому при решении уравнения в качестве второго граничного условия нами принято (23) Отметим также известную особенность, возникающую при численном решении задач, использующих кулоновские функции: гамма-функция имеет полюс, когда ее аргумент равен нулю или целому отрицательному числу. Поэтому данный метод, примененный к водородоподобной системе, приведет к нахождению полюсов функций Йоста при значениях импульса при целых значениях Атом гелия Будем рассматривать такие состояния атома , в которых один из атомных электронов находится в состоянии . Такой выбор обусловлен тем, что дважды возбужденные состояния атома практического интереса не представляют, поскольку в этом случае атом распадается на ион и свободный электрон. Запишем гамильтониан атома ( ) как сумму двух гамильтонианов: (24) При таком выборе первая скобка содержит слагаемые, соответствующие гамильтониану водородоподобного иона (25) поэтому -состояние для (25) имеет энергию (26) с волновой функцией Вторая скобка в (24) содержит слагаемые, соответствующие системе «электрон + ион » (27) и описывает взаимодействие электрона с ионом . Предположим, что гамильтониан соответствует упругому рассеянию электрона на ионе , находящемуся в основном состоянии. Применяя метод самосогласованного поля, определим модельный потенциал взаимодействия налетающего электрона с ионом в виде (28) Слагаемые в полученном представлении, аналогично (1), соответствуют кулоновской части c , отвечающей за взаимодействие налетающего электрона с частично экранированным ядром, и короткодействующей части, в которой эффективный заряд Zeff также учитывает частичную экранировку ядра одним из атомных электронов. Поэтому для нахождения энергий связанных состояний гамильтониана Hsc можно использовать уравнение (20) с эффективным потенциалом (29) Разделяя гамильтониан (24) на два слагаемых, мы считаем, что волновые функции дискретного спектра гамильтонианов (25) и (27) ортогональны друг другу (или их можно ортогонализировать). В этом случае искомые энергии атома гелия можно получить как сумму соответствующих собственных значений энергии гамильтонианов и . Таким образом, мы предлагаем следующий алгоритм расчета энергий связанных состояний атома гелия: находим значения k0, при которых решения уравнения (20) c граничными условиями (22) и (23) асимптотически стремятся к нулю, вычисляем энергию основного состояния иона и применяем формулу (30) Результаты и их обсуждение В рамках данной работы мы выполнили численное решение дифференциального уравнения (20) методом Адамса для мнимых значений импульса в диапазоне а.е. c переменным шагом от а.е. до а.е. в окрестностях спектральных точек. Введенные нами функции (21) и потенциал (29) имеют особенности в начале координат, поэтому для предотвращения расходимости численного алгоритма мы применяем начальные условия (22) и (23) в точке а.е., что достаточно близко к началу координат. При расчете короткодействующего потенциала мы приняли . Методика вычисления Zeff для атома гелия в состоянии 1s2 описана, например, в [8]. Полученная зависимость модуля функции Йоста для представлена на рис. 1. В исследуемом диапазоне обнаружено четыре точки, в которых функция Йоста обращается в нуль. Рис. 1. Модуль функции Йоста для , [1] Значения импульсов и соответствующие им значения энергий связанных состояний атома гелия приведены в таблице. Также приводятся результаты расчетов [7], экспериментальные значения энергий и отличие расчетов от экспериментальных значений ε. Энергии связанных состояний атома гелия Состояние Наш расчет Alcala [7] Эксп. [9] , а.е. E, а.е. E, а.е. E, а.е. Рис. 2. Сходимость амплитудной функции На рис. 2 показано поведение модулей амплитудных функций в диапазоне r = 0-2 а.е. в найденных спектральных точках. Из графика следует, что предлагаемый метод приводит к достаточно быстрой сходимости амплитудной функции к йостовской. Амплитудные функции практически перестают изменяться уже при a.e. Это связано как с тем, что вкладом короткодействующего потенциала (29) можно пренебречь по сравнению с кулоновской частью потенциала, так и с выбором функции (21). В работе [7] сходимость амплитудной функции к функции Йоста начинается только при а.е., что также может характеризовать предлагаемый нами алгоритм с положительной стороны. Заключение Предлагаемый авторами алгоритм приводит к очень хорошему совпадению с экспериментальным значением энергии в основном состоянии (отличие составляет всего , что существенно лучше, чем результат в работе [7]). Отличия энергий возбужденных состояний от экспериментальных сравнимы с [7].

Скачать электронную версию публикации