Hermite functional polynomials as a tool for solving inverse problems.pdf Введение Значительная часть математических моделей физических процессов строится для проверки некоторых предположений о характере среды или параметрах физической модели, описывающей изучаемое явление (процесс). Вычисления наблюдаемых физических величин принято называть прямой задачей. Определение же количественных характеристик модели по экспериментально наблюдаемым величинам на основе теоретических расчетов принято называть обратной задачей. В настоящее время существует множество научных работ, посвященных решению обратных задач. Описание методов решения обратных задач можно найти, например, в монографиях [1-3]. Об актуальности исследований в области алгоритмов и методов решения обратных задач свидетельствует появление все новых работ, например, [4-8]. Обратные задачи, связанные с переносом частиц и излучений, можно разделить на две группы. Первая - «коэффициентные», в которых требуется определить значения (функциональный вид) параметров, характеризующих взаимодействие частиц со средой. Вторая - задача определения свойств источника [3]. Задача определения граничных значений близка по методике решения к задаче об определении источника. В работе [8] продемонстрировано применение метода сопряженного уравнения для определения источника диффузии. Данный метод позволяет свести задачу определения источника к решению интегрального уравнения Фредгольма I рода с известным ядром. В случае коэффициентных задач в настоящее время не существует общих методов, позволяющих записать уравнение для определения функционального вида искомых коэффициентов. В большинстве случаев проводится параметризация физической модели изучаемого процесса с дальнейшим определением количественных значений этих параметров на основе лучшего совпадения результатов теоретических расчетов с экспериментально измеренными значениями. При этом сама процедура параметризации физической модели зачастую неоднозначна, а вводимые параметры требуют дополнительного физического толкования. В настоящей работе демонстрируется общий подход к определению функциональной зависимости коэффициентов, входящих в уравнения, описывающие распространение частиц и излучений в среде. Описание метода Для расчета потоков частиц и излучений используются интегро-дифференциальные уравнения переноса, в большинстве случаев являющиеся линейными. В общем случае такое уравнение для потока частиц (излучения) Ф от источника S в операторной форме можно записать как (1) Экспериментально измеряемые величины в общем случае можно представить как функционал J от Ф, определяемый функцией чувствительности детектора D(y), где y - набор фазовых координат: (2) Предположим, что оператор L зависит от некоторой функции u(x), тогда и функционал J будет зависеть от u. Обратная задача состоит в определении вида u = u(y) по результатам нескольких измерений J(x). Даже в том случае, когда имеется аналитическое решение уравнения (1), нахождение функционального вида u(y), как правило, связано с решением интегрального уравнения Фредгольма или Вольеры первого рода: (3) В отсутствие аналитических решений уравнения (1) сформулировать задачу нахождения u(y) в виде (3) в общем случае не удается. Одним из приближенных способов решения обратных задач является применение метода теории малых возмущений. Проварьируем уравнение (1) по u(y) в точке y0: (4) Для решения уравнения (4) применимы те же методы и алгоритмы, что и для уравнения (1). Если для уравнения (1) известна функция Грина, то нахождение вариационной производной сводится к операции интегрирования. С учетом соотношения (2) вариацию функционала J можно представить в виде (5) Здесь введено обозначение (6) Предположим, что нам известно решение уравнений (1) и (4) для некоторого вида функции u = u0(y). Если экспериментально измеренное значение функционала Jэ мало отличается от вычисленного по формуле (2) J0, то для нахождения u(y) можно воспользоваться интегральным уравнением (5) с ядром, определяемым соотношением (6). Очевидно, что применимость выражений (5) и (6) сильно зависит от того, насколько близка «опорная» функция u0(y) к реальной, соответствующей экспериментально наблюдаемому значению Jэ . В работе [9] для приближенного представления функционалов (2) предложено использовать функциональный аналог интерполяционного полинома Эрмита. Предположим, что нам известны решения уравнений (2) и (4) для нескольких опорных функций uk(y), k = 1,…,n. Пусть у нас также имеется некоторая функция (x,y), такая, что . Введем обозначения: (7) (8) С учетом (7) и (8) приближенное выражение для функционала J можно представить в виде (9) в том случае, когда u(x) = uk(x), Jh = Jk. Проварьируем выражение (9) по u(x) в точке y и положим u(x) = um(x): . (10) Проинтегрируем (10) по y. С учетом обозначения (8) получим систему линейных уравнений для коэффициентов Ci, входящих в выражение (9): (11) Представление экспериментально измеряемых значений функционала в форме (9) позволяет учесть не только его известные значения для опорных функций uk, но и значения вариационных производных. В том случае, когда u(x) = u = const, выражение (9) превращается в полином Эрмита степени 2n-1. Приравнивая выражение (9) экспериментально измеряемым значениям функционала J(x), можно найти зависимость ū(x), что с учетом соотношения (7) сводит задачу нахождения u(y) к решению интегрального уравнения первого рода. Будет это уравнение Фредгольма или Вольтеры зависит от геометрии задачи и вида функции чувствительности детектора D(x,y). Модельный пример. Стационарная одномерная диффузия в бесконечной среде Рассмотрим задачу о стационарной диффузии от точечного источника в бесконечной среде. По результатам измерения концентрации частиц на различных расстояниях от источника необходимо восстановить зависимость коэффициента диффузии (x) от координаты. Соответствующее уравнение для концентрации с учетом поглощения частиц с сечением имеет вид . (12) При постоянных значениях k и k уравнение (12) имеет решение . (13) Для того чтобы воспользоваться формулой (11), необходимо найти также вариацию концентрации числа частиц N по коэффициенту диффузии . По аналогии с (4) можно записать . (14) Решение уравнения (14) для постоянного k имеет вид . (15) Проинтегрировав данное выражение по y, получим . (16) Такое же выражение можно было получить непосредственным дифференцированием выражения (13). К выбору (x, y) в рассматриваемом случае появляются новые требования. Уравнение (7), используемое для нахождения неизвестной функции u(y), будет уравнением Фредгольма, и для существования единственного его решения необходимо, чтобы ядро (x, y) было невырожденным. На наш взгляд является естественным распространить на описываемый метод формулы из первого приближения теории возмущений, т.е. в качестве (x, y) выбрать (x, y), определенную выражением (15), или ее среднее по всем опорным решениям. В случае двух опорных решений усредненное (x, y) для рассматриваемой задачи можно записать в виде (17) Ниже приведены результаты расчетов для На рис. 1 проводится сравнение величины , рассчитанной по формуле (7) для приведенных выше (x) и (x, y), с полученным ее значением путем приравнивания решения уравнения (12), полученного разностным методом, значению функционального полинома, полученного по двум опорным решениям. Приведенные на рис. 1 данные свидетельствуют, что использованная аппроксимация решения уравнения (15) дает возможность, в основном, правильно представить характер зависимости , что позволяет надеяться получить приемлемую точность вычисления искомой функции (x). Рис. 1. Сравнение точности восстановления . Линия - точное значение, ○ - восстановленное значение Рис. 2. Результат восстановления (x). Сплошная линия - точное исходное значение, - - - - восстановленное по приближенному , ∙ ∙ ∙ - восстановленное по точному значению Отметим при этом, что уравнение (7), используемое для нахождения (x), является уравнением Фредгольма I рода, и даже при точных значениях интеграла нахождение подынтегральной функции может быть сопряжено с трудностями регуляризации решения. На рис. 2 приведено сравнение результатов нахождения (x) по данным, представленным на рис. 1, с точным исходным значением. Для решения уравнения Фредгольма применялся метод регуляризации Тихонова [10]. Интегрирование по y в уравнении (7) производилось от -4 до +4 с шагом 0.1. Правая часть вычислялась для x от -4 до +4 с шагом 0.5. Заключение Результаты рассмотренного модельного примера демонстрируют возможности описанного метода приближенного представления функционалов аналогом полинома Эрмита для решения обратных задач. Предложенный метод является универсальным с точки зрения сведения обратной задачи к интегральным уравнениям первого рода. В то же время у исследователя остается некоторая свобода выбора вида ядра интегрального оператора, что может повлиять на точность нахождения искомой функции.

Скачать электронную версию публикации