The evanescent waves in metamaterial from the point of view of molecular optics.pdf Введение Реализация концепции суперлинзы, предложенной в [1], привела к необходимости теоретических исследований в области электродинамики эванесцентных волн в метаматериалах с отрицательным преломлением. Необходимо было выяснить, возможно ли усиление эванесцентных волн (и каков его механизм), возможны ли преодоление дифракционного предела и субволновая фокусировка (и в какой мере), реализуемы ли однородные и изотропные среды с и . Обычно взаимодействие эванесцентных волн с метаматериалом описывается, исходя из уравнений Максвелла. Широко используются численные методы. Рассматривается распространение «падающей» эванесцентной волны сквозь плоскопараллельный слой метаматериала. При решении граничной задачи задаются выражения для отраженной волны, волн в слое и волны, прошедшей слой. Определяются коэффициенты отражения и пропускания слоя [2, 3]. Среда описывается диэлектрической и магнитной проницаемостями или показателем преломления . В случае суперлинзы . Теоретических работ (и критических, и согласующихся с результатами [1]) много [3]. Модели среды, методы решения и ответы - разные. В [4] показано, что усиление эванесцентных волн в такой среде возможно. Оно резонансно и максимально при , где - параллельная плоскости раздела компонента волнового вектора падающего поля. Это не согласуется с результатами [1], где рассматривается область . Именно этим и объясняется практически неограниченное улучшение разрешающей способности (пропорциональной ), сформулированное в [1]. Эта же ( ) область рассматривается при анализе [5, 6] субволновой фокусировки. В [7] утверждается, что усиления эванесцентных волн в такой среде нет. Описание среды с помощью , или означает подмену реальной неоднородной среды однородной. Но в [8] было показано, что «дифракционный предел не может быть преодолен при использовании однородных материалов с отрицательным преломлением». Актуален вопрос о самой возможности существования однородных изотропных сред с и (сред Сивухина [9]). В [10] утверждается, что «в оптической области спектра существование непрерывных однородных сред с , невозможно», а существование обратных волн обусловлено не , , а периодической неоднородностью среды. В [11] показано, что поперечные электромагнитные волны не могут распространяться в однородной изотропной среде (т.е. при пренебрежении пространственной дисперсией) на частотах, где и . В [9] утверждается, что сред Сивухина не существует, а «результаты экспериментальных исследований могут быть аппроксимированы свойствами сред Сивухина только на феноменологическом уровне». Поэтому нужен микроскопический анализ распространения эванесцентных волн. Тем более, что физический механизм возможного усиления эванесцентных волн практически не рассматривался. Если размеры включений в метаматериале много меньше других характерных размеров задачи, то включения можно рассматривать как точечные электрические и магнитные диполи. Распространение бегущих волн в среде из электрических дипольных монослоев (или из чередующихся электрических и магнитных монослоев, или из монослоев из элементов Гюйгенса) определяется взаимодействием дипольных моментов с падающим полем в модели молекулярной оптики [12-14]. В данной работе подобный анализ проведен для «падающей» на среду эванесцентной волны. Рассмотрим «распространение» эванесцентной электромагнитной волны через среду, состоящую из периодически расположенных плоскопараллельных монослоев, составленных из точечных элементов Гюйгенса. Элементы Гюйгенса - это частицы с электрической ( ) и магнитной ( ) поляризуемостями [15]. Индуцированные электрические d и магнитные m дипольные моменты взаимно перпендикулярны и пропорциональны падающему на них электрическому и магнитному полям соответственно. Эта ситуация реализуется, когда рассеивающими элементами среды являются наносферы [15]. Монослои лежат в плоскостях , пересекающих ось в точках . Расстояния между соседними монослоями равны и , где - длина волны излучения. Элементы одного монослоя расположены неупорядоченно с плотностью и не взаимодействуют между собой. Рассматривается рассеяние внешнего поля последовательными монослоями. Каждый монослой элементов находится в поле излучения всех других монослоев. На первый монослой со стороны под углом падают монохроматические поля и с частотой и волновым вектором , где и - единичные векторы вдоль соответствующих осей. Индуцированные электрический и магнитный дипольные моменты -го элемента Гюйгенса (с радиус-вектором ) первого монослоя излучают. Поля и , рассеянные этим монослоем в точке наблюдения ( ), получаются интегрированием полей электрического и магнитного диполей по координатам всех элементов монослоя [16]: , , (1) , (2) , . (3) Поля и , рассеянные первым монослоем назад (отражение), имеют вид [16] , (4) . (5) При выводе (1) - (5) суммирование по координатам диполей было заменено интегрированием по плоскости монослоя, т.е. дискретные излучающие центры были заменены непрерывно распределенными источниками. В этом случае поле излучения реальной среды не отличается от поля ее модели уже на расстояниях от границы порядка среднего межатомного [17]. Поэтому выводы данной работы справедливы на расстояниях от монослоя, больших, чем средние межатомные. Распространение вперед и теорема погашения Согласно (1) и (2), первый монослой излучает поля и . Представим в виде . Можно сказать, что излучение первого монослоя гасит падающую волну и формирует прошедшую (теорема погашения Эвальда - Озеена): , (6) (7) Здесь выражение было представлено в виде , где знак плюс соответствует неравенству , а минус - неравенству . Величины , (8) описывают соответственно изменения амплитуды и фазы волны, обусловленные излучением первого монослоя элементов. Преломленная волна (6), (7) имеет z-компоненту волнового вектора , , , . (9) На второй монослой падают внешние поля и поля (1), (2), рассеянные первым монослоем (т.е. и ), или, другими словами, преломленные первым монослоем поля (6), (7). Индуцированные электрический и магнитный моменты элемента второго монослоя равны и соответственно. Поля и , рассеянные вторым монослоем, получаются интегрированием электрического и магнитного полей, излученных электрическим и магнитным диполями по координатам всех элементов этого монослоя. В результате получаются следующие выражения для рассеяния вперед: , (10) . (11) Выражение (10) для (и аналогично (11) для ) можно представить в виде . Излучение второго монослоя гасит падающее на него поле и формирует свою преломленную волну (теорема погашения Эвальда - Озеена). Поля, рассеянные вторым монослоем назад (отражение), имеют вид , (12) . (13) На третий монослой падают , и поля, рассеянные первыми двумя монослоями, т.е. и . И так далее. В точках нахождения элементов Гюйгенса -го монослоя распространяющиеся вперед поля равны (14) (15) Можно показать, что теорема погашения справедлива для каждого монослоя элементов. Согласно (9), . Согласно (8), при или при , что соответствует наличию поглощения. При этом фаза волны (14), (15) зависит от номера монослоя , т.е. фактически от . Поэтому, в отличие от падающих полей , с -компонентой волнового вектора , поля (14), (15) в поглощающей среде являются распространяющимися вдоль оси . Отражение от среды Отраженные поля и формируются отраженными от всех монослоев волнами. Учитывая (4), (5) и (12), (13), при бесконечном числе монослоев получаем , (16) , (17) где и считалось, что . При , и (16) и (17) приобретают вид , (18) , (19) . (20) В случае непоглощающей среды и меняет знак в зависимости от знака и величины , реализуя обычное электрическое ( ) или магнитное ( ) зеркало. Поле в среде В установившемся режиме поле в точке нахождения элемента -го монослоя создается полями (14) и (15), распространяющимися вперед, и полями, отраженными от последующих монослоев. В результате получаются следующие выражения: (21) (22) где . Выражение в квадратных скобках в (22) преобразуем, введя и , где определяется из условия . Тогда при , и получаем , причем , и значит - это угол между волновым вектором преломленной волны и осью . В этом случае выражения (21), (22) приобретают вид , (23) , (24) , . (25) Из (20) и (25) видно, что . Заключение 1. В падающем поле разность фаз между и равнялась и z-компонента вектора Пойнтинга равнялась нулю. Поток энергии вдоль оси отсутствовал. В среде, согласно (21), (22) или (23), (24), разность фаз между и отлична от из-за комплексности . Например, из (23) и (24) следует, что компонента вектора Пойнтинга вдоль оси , ( >0), (26) не равна нулю и пропорциональна величине , связанной с поглощением. «Падающая» эванесцентная волна в среде стала неоднородной бегущей. При она в среде затухает, а при - усиливается. При амплитуда волны в среде не меняется. 2. Так как эванесцентная волна ( ) в среде стала бегущей, то, записав модуль вектора ) в виде , с учетом (9) введем показатель преломления среды , (27) . (28) 3. При , из (27) следует, что , а из (8) - что и . Реальная часть показателя преломления среды положительна. Условие усиления приобретает вид или, учитывая (3), . Значит, . Усиление носит резонансный характер. Максимальное значение амплитуды полей (23) и (24) достигается, как следует из (25), при . Поскольку , усиление полей (23) и (24) возможно при . При (или ) из (9) видно, что . В среде распространяется бегущая волна , (29) , (30) где . В этом случае , где дает сдвиг фаз между «падающей» и отраженной волнами. 4. Эффект суперлинзы достигается при отрицательном преломлении ( ) и существовании в среде обратных волн ( ), а значит, как видно из (8), (9), при или . При этом и . Усиление возможно при или (при ) , или . Тогда из (28) следует, что . 5. Рассмотрим слой метаматериала, состоящий из монослоев. Тогда -й монослой - последний. Пусть среда за ним - вакуум. Поля в точке нахождения последнего монослоя определяются выражениями (14) и (15). Поля в точке ( ), отстоящей от последнего монослоя на расстоянии , определяются излучением этого монослоя и равны (31) (32) , . (33) При и до амплитуда волны растет. Из (33) видно, что с увеличением величина стремится к . Значит, если «падающая» эванесцентная волна преобразуется в среде в обратную ( ) , то при эта волна усиливается при распространении в среде и за ней при . Важно, что величина при этом ограничена сверху, т.е. , где - наибольшее значение . Ограничена сверху и величина . Разрешающая способность плоскопараллельного слоя метаматериала с учетом только распространяющихся волн оценивается обычно как . Для эванесцентных волн область изменения возрастает, и это позволяет улучшить разрешение до . Пока не учитывалось взаимодействие элементов Гюйгенса одного монослоя. Учтем теперь, что каждый элемент монослоя находится в поле излучения других элементов этого монослоя. Расчет, подобный проведенному в [12], дает . Тогда элемент первого монослоя чувствует поле . Поле излучения элементов первого монослоя в точке элемента второго монослоя вычисляется подобно [16] и дает . Падающее поле гасится и на второй монослой падает поле . Элемент второго монослоя чувствует сумму падающего поля, поля элементов первого монослоя и поля других элементов второго монослоя, что дает . Это - сумма трех полей с волновыми векторами соответственно. Отсутствие поля с z-компонентой выражает теорему погашения для первого монослоя. Поле излучения второго монослоя . Элемент третьего монослоя чувствует падающее на него поле и поля других элементов этого монослоя, т.е. . Это - сумма пяти полей с волновыми векторами . И так далее. Теорема погашения выполняется для каждого монослоя. Учет межэлементного взаимодействия в одном монослое объясняет появление пространственных гармоник. Усиление j-й гармоники возможно при . Если усиливается гармоника с , то усиливаются и гармоники с . Но гармоника с может усиливаться при значениях , при которых гармоника с не усиливается, т.е. при , но . Значит, возможно усиление только гармоник, начиная с некоторой -й. Область изменения при усилении -й гармоники больше, чем при усилении -й гармоники. Значит, для j-й гармоники больше, чем для -й гармоники. Чем больше j, тем лучше разрешение. При получаем и . Предельная разрешающая способность для эванесцентных волн . При радиусе кремниевых сфер нм, среднем расстоянии между ними и [18] на длине волны получаем . Это согласуется с [19], где показано, что можно разрешить изображение двух источников при расстоянии между ними на 10% меньшем, чем . Таким образом, среда из элементов Гюйгенса, пассивная для бегущих волн, может усиливать эванесцентные волны. Усиление этих волн вызвано спецификой их взаимодействия с элементами среды и интерференцией излучения разных элементов. В среде эти волны преобразуются в бегущие, а за средой - опять в затухающие. Их поток энергии за средой направлен вдоль и затухает по уже в ближнем поле при . Для эванесцентных волн (и только для них) возможно разрешение ниже уровня дифракционного предела ( ). Но это не отменяет понятия дифракционного предела для бегущих волн. Как указано в [4], никакого отношения к классической оптике и к понятию дифракционного предела методы оптики ближнего поля не имеют.

Скачать электронную версию публикации