To the substantiation of a numerical-analytical method for revealing secular resonances.pdf Введение Настоящая работа написана с целью дальнейшего обоснования методик вычисления вековых частот при исследовании влияния вековых резонансов на динамику околопланетных объектов. Традиционно для этой цели используется аналитический подход [1-4]. Численно-аналитическая методика, применяемая в работах [5, 6], предполагает численное моделирование движения и аналитический способ вычисления частот. Полностью численная методика выявления и исследования вековых резонансов в динамике околопланетных объектов была предложена в работе [7]. Практическое ее применение показало, что у чисто численного подхода тоже есть недостаток: уравнения Ньютона - Эйлера [8] имеют особенности при малых значениях эксцентриситетов и наклонов орбит. Поэтому мы сочли целесообразным объединить методики и использовать аналитические формулы, полученные для малых эксцентриситетов, на участках орбиты, где эксцентриситет мал. В предыдущей работе [7] мы рассматривали эффективность численного подхода на примере исследования резонанса Лидова - Козаи в динамике околоземных объектов. В настоящей работе мы анализируем совместное использование аналитического и численного подходов, расширяем спектр рассматриваемых вековых резонансов, а также меняем область применения представляемой методики на исследование динамической эволюции окололунных объектов. Численное моделирование движения искусственных спутников Луны (ИСЛ) проводится с помощью разработанного авторами программно-математического комплекса «Численная модель движения ИСЛ» [9]. 1. Численно-аналитическая методика Исследование структуры вековых резонансов осуществляется по следующей схеме. 1. Изучается эволюция во времени резонансных (критических) аргументов, полученных из аргументов возмущающей функции для однократно и двукратно осредненной ограниченной задачи трех тел , (1) . (2) 2. Оценивается степень близости к нулю полученных по формулам (1), (2) резонансных соотношений [10]: (3) Здесь обозначения элементов орбит общепринятые, при этом элементы, обозначенные штрихом, относятся к третьему телу, а без штриха - к спутнику; - целочисленные индексы. Изучение эволюции во времени резонансных аргументов необходимо [11, 12], чтобы определить, какой характер имеют резонансные характеристики. При либрационном изменении соотношений (1), (2) и близости к нулю (3) резонансные конфигурации имеют устойчивый характер, а при переходе от либрационного изменения к циркуляционному - неустойчивый. Чисто циркуляционное изменение критического аргумента говорит об отсутствии резонанса. Вековые частоты в движении спутника , входящие в формулу (3), могут определяться численно, используя уравнения Ньютона - Эйлера (4) полученные без введения ограничений на величины входящих в них параметров. Здесь S, T, W - возмущающие ускорения, записанные в орбитальной системе координат и связанные с правыми частями уравнений движения известными соотношениями [8]. Однако уравнения (4) имеют особенности при значениях эксцентриситета и наклона орбиты, близких к нулю, поэтому в процессе анализа результатов численного эксперимента рекомендуется для вычисления вековых частот использовать также аналитический подход: . Здесь компоненты вековых частот в движении спутника, определяемые влиянием второй зональной гармоники , вычисляются по формулам [13] (5) а компоненты, связанные с влиянием внешних тел: Земли (E) и Солнца (S), - с применением формул [14] (6) Вековые частоты возмущающих тел в численном методе определяются с помощью фонда DE438/LE438 [15]. Из фонда извлекаются координаты и скорости возмущающих тел на 12 моментов времени с шагом 1 мин, затем эта сетка координат и скоростей преобразуется в сетки из элементов орбиты по формулам задачи двух тел. После этого величины находятся с использованием производной от интерполяционного полинома Лагранжа 12-го порядка [16]: (7) В аналитическом способе данные частоты считаются константами, численные значения которых можно найти, например, в [8]. Что касается элементов орбит, входящих в формулы (1), (2), то в численном методе они определяются переходом от прямоугольных координат, полученных путем численного интегрирования уравнений движения, к элементам [8] на каждый момент времени, а в аналитическом методе формулы имеют вид где элементы орбит и частоты, обозначенные штрихом, относятся к третьему телу, а без штриха - к спутнику. 2. Численные результаты Рассмотрим ряд примеров выявления и исследования влияния вековых резонансов на орбитальную эволюцию окололунных объектов с использованием данной объединенной методики. Как известно [5, 6], особенностью влияния вековых апсидально-нодальных резонансов является рост эксцентриситета. Из этого следует, что использование приближенных формул (5), (6) для вытянутых орбит может давать некорректную информацию, хотя при изначально малом эксцентриситете эти формулы позволяют установить факт наличия векового резонанса. Но в тех случаях, когда начальный эксцентриситет имеет большое значение, приближенные формулы могут давать искаженные оценки. При использовании точных формул (4) данный недостаток устраняется. Для оценки методик рассмотрим два модельных окололунных объекта со значениями большой полуоси a = 7000 и 16000 км, круговыми орбитами e = 0.001 и наклонениями i = 50 и 45° соответственно. Рис. 1. Сравнение методик: а и б - эволюция элементов орбиты двух объектов; в и г - соответствующие им динамика резонансного соотношения и критического аргумента, полученные по приближенным формулам; д и е - такая же эволюция, полученная по точным формулам для соответствующих объектов (описание в тексте) Для примера, рассмотрим геометрический резонанс типа Лидова - Козаи, а в качестве возмущающих факторов будем учитывать сжатие Луны, влияние от Земли и Солнца. Результаты представлены на рис. 1. Здесь на верхних графиках а и б представлены сверху вниз эволюция наклонения (i), изменение эксцентриситета (е), эволюция большой полуоси орбиты объекта (а). На нижних графиках в и г изображены соответственно для каждого объекта сверху вниз динамика резонансного соотношения и критического аргумента, полученные по приближенным формулам, а на графиках д и е - та же эволюция, но полученная по точным формулам. Как видно из графиков, приведенных на рис. 1, у данных объектов наблюдается стремительный рост эксцентриситета. На графиках резонансных величин, полученных по аналитическим формулам, видно, что при больших значениях эксцентриситета формулы не дают точного представления о характере изменения резонансного соотношения и критического аргумента. В обоих случаях эволюция во времени резонансного соотношения, полученная по аналитическим формулам, вызывает сомнение в наличии резонанса типа Лидова - Козаи, так как кривая не проходит через нулевые значения, а колеблется в области малых значений. Критический аргумент в обоих случаях либрирует на отдельных небольших участках интервала прогнозирования. Оценки изменения резонансных соотношений, полученные по точным формулам Ньютона - Эйлера, в обоих случаях показывают многократное прохождение через нулевое значение и дают однозначный ответ на вопрос о наличии резонанса. А критические аргументы в численном анализе показывают либрацию на всем временном промежутке за исключением участков, где в оценке возникает неопределенность, обусловленная спецификой формул Ньютона - Эйлера. Это происходит на начальном этапе движения, когда эксцентриситет еще мал, а также в процессе динамической эволюции, когда значения эксцентриситета приближаются к нулю. Во всех этих случаях возникает необходимость в оценках, полученных аналитическим методом. Рассмотрим влияние резонанса на орбитальную эволюцию окололунного объекта с элементами орбиты: a = 3649.8 км, e = 0.001, i = 40° (рис. 2 слева) и резонанса на объект с элементами: a = 1911.8 км, e = 0.001, i = 55° (рис. 2 справа). Расположение графиков на рис. 2 аналогично рис. 1. Рис. 2. Сравнение методик в исследовании влияния резонансов высоких порядков: а и б - эволюция элементов орбиты двух объектов; в и г - соответствующие им динамика резонансного соотношения и критического аргумента, полученные по приближенным формулам; д и е - такая же эволюция, полученная по точным формулам для соответствующих объектов Для объектов, эволюция элементов орбиты которых показана на рис. 2, аналитический анализ дает одинаково положительный ответ о наличии влияния рассматриваемых вековых резонансов. В обоих случаях мы наблюдаем либрацию критического аргумента, а резонансное соотношение, полученное по приближенным формулам, колеблется около нуля (рис. 2, в) или проходит через нуль (рис. 2, г). Что касается численного анализа, то здесь картина выглядит иначе. Мы наблюдаем также многократное прохождение величины резонансного соотношения через нуль, но при этом поведение критического аргумента для первого объекта похоже на либрацию (рис. 2, д), а второго на циркуляцию (рис. 2, е). Так, опираясь только на численный метод, мы могли бы прийти к неверным выводам об отсутствии резонанса для второго объекта. Однако видно, что эксцентриситеты орбит выбранных объектов на всем интервале времени имеют значения, близкие к нулю, что, как уже отмечалось нами ранее, дает неопределенность в оценках, полученных численным методом, и соответственно заставляет в данном случае придерживаться аналитических оценок. Приведем примеры объектов с изначально большими эксцентриситетами. Результаты представлены на рис. 3. Рассмотрим два объекта с элементами орбиты: a = 19000 км, e = 0.4, i = 15° на графике а и a = 19000 км, e = 0.4, i = 56° на графике б. Для примера было исследовано влияние резонанса на орбитальную эволюцию данных объектов. Расположение графиков то же, что и на предыдущих рисунках. Как видно из графиков, полученных на рис. 3, д и е, численный анализ дает однозначный ответ о влиянии резонанса на объекты. В первом случае на спутник с наклонением орбиты 15° Рис. 3. Сравнение методик в исследовании влияния резонансов на объекты с большим начальным эксцентриситетом: а и б - эволюция элементов орбиты двух объектов; в и г - соответствующие им динамика резонансного соотношения и критического аргумента, полученные по приближенным формулам; д и е - такая же эволюция, полученная по точным формулам для соответствующих объектов действие резонанса исключается, а на второй объект - наоборот подтверждается. Если обратиться к аналитическому подходу, то здесь в обоих случаях динамика резонансных величин исключает влияние векового резонанса на орбитальную эволюцию. Это говорит о том, что приближенные формулы дают искаженную оценку и использовать их для исследования влияния вековых резонансов на объекты с большими эксцентриситетами не рекомендуется. Заключение Таким образом, приведенные результаты подтверждают целесообразность совместного использования численного и аналитического подходов в выявлении вековых резонансов в орбитальной динамике околопланетных объектов. Использование одних приближенных аналитических формул для вычисления вековых частот оправдано лишь для почти кругового движения. В случае исследования объектов с быстрорастущим эксцентриситетом приближенные формулы необходимы на начальном этапе движения, чтобы установить факт наличия векового резонанса в начале орбитальной эволюции, когда эксцентриситет еще мал. Кроме того, необходимость в аналитических оценках возникает, когда в процессе эволюции эксцентриситет орбиты приближается к нулю. Для спутников с большим эксцентриситетом, который сохраняется на всем промежутке времени, аналитические формулы дают искаженные результаты и их использовать нецелесообразно.

Скачать электронную версию публикации