Optical pulses in a photonic crystal based on a superlattice under the conditions of an optical cavity.pdf Введение Под сверхрешеткой понимается структура, в которой на электроны кроме потенциала решетки действует искусственно созданный потенциал (с периодом, существенно превышающим период решетки). Дополнительный периодический потенциал сверхрешетки изменяет зонную структуру исходных полупроводников. Поэтому сверхрешетку можно рассматривать как новый синтезированный полупроводник, не существующий в природе и обладающий необычными свойствами. Подбором материала и состава чередующихся слоев можно в широких пределах варьировать зонную структуру сверхрешетки [1-3]. Практический интерес к сверхрешеткам обусловлен выходом на качественно новый уровень создания оптических приборов, например, высокоэффективных полупроводниковых лазеров [4, 5]. Близость энергетического спектра уединенной квантовой точки к атомным уровням позволяет создавать на их основе одноэлектронные транзисторы и элементы памяти [6]. В качестве среды для образования сверхрешетки можно использовать фотонный кристалл, имеющий пространственно переменный показатель преломления. Выбор системы квантовых ям с туннелированием как материала для фотонного кристалла обусловлен непараболичностью закона дисперсии электронов. Поскольку фотонный кристалл является неоднородной средой, то в нем могут устойчиво распространяться различные солитоноподобные импульсы, в том числе световые пули или предельно короткие оптические импульсы. Следует заметить, что неоднородность фотонного кристалла обеспечивает идеальную среду для распространения предельно коротких оптических импульсов (ПКОИ), световых пуль и других солитоноподобных состояний [7, 8]. В работе будут рассмотрены трехмерные оптические импульсы, длительность которых составляет несколько фемтосекунд, содержащие 1-5 периодов колебания электрического поля, энергия которых локализована в ограниченной пространственной области. Такого рода импульсы принято называть предельно короткими оптическими импульсами [8]. В настоящей работе система квантовых точек образует неоднородную среду, которая помещена в оптический резонатор. В резонаторе наблюдается внутрирезонаторная лазерная спектроскопия, и при многократном отражении импульса от его стенок происходят потери энергии импульса по причине дифракции [9]. Дополнительно следует отметить, что возникают эффекты, связанные с отражением от стенок цилиндрического резонатора. Пучок проходит через сверхрешетку много раз за счет многократного отражения от стенок цилиндрического резонатора. Важным достоинством таких импульсов (резонаторных солитонов) является то, что, имея оптическую обратную связь, они могут распространяться даже тогда, когда в отсутствие резонатора та же нелинейная среда не поддерживает каких-либо пространственных солитонов. 1. Основные уравнения В рассматриваемой системе квантовые точки образуют систему квантовых ям, которые помещены в фотонный кристалл, причем вся среда помещена в цилиндрический резонатор. Геометрическая модель рассматриваемой задачи (рис. 1) предполагает следующее: электрическое поле предельно короткого оптического импульса, электрические токи направлены вдоль оси Oy, направление движения импульса и направление переменности показателя преломления фотонного кристалла совпадают с осью Oz. Предполагается, что туннелирование между квантовыми ямами вдоль осей Ox и Oz мало и им можно пренебречь. Рис. 1. Геометрия задачи Вектор-потенциал электромагнитного поля импульса можно описать в рамках классического подхода с использованием уравнений Максвелла: . (1) Здесь Δ - оператор Лапласа в декартовой системе координат; A - вектор-потенциал электрического поля предельно короткого оптического импульса (A = (0, Ay(x, y, z, t), 0)); n(z) - показатель преломления фотонного кристалла со сверхрешеткой, который имеет вид: (α, χ - глубина и период модуляции показателя преломления, соответственно); с - скорость света в сплошной среде полупроводниковой сверхрешетки; j = (0, jy(x, y, z, t), 0) - плотность тока. Для y-компоненты плотности тока имеем: (2) где q - заряд; v(py) - групповая скорость электронов; f - функция распределения электронов; ε(р) - закон дисперсии электронов в сверхрешетке; a - расстояние между соседними квантовыми ямами; t0 - энергия электронов квантовой ямы; t - интеграл перехода, определяемый перекрытием электронных волновых функций в соседних квантовых ямах [10]. На основании вывода, приведенного в работе [11], получим эффективное уравнение на вектор-потенциал электрического поля оптического импульса: . (3) Здесь τ ≈ 10-12-10-13 с - типичное время релаксации для электронов в сверхрешетке [12]; ZB - первая зона Бриллюена; F0 - равновесная функция распределения Ферми. Далее отметим приближения, которые использовались при построении модели и решении задачи: 1) не учитывается электрическое поле подложки; 2) не учитываются межзонные переходы, ограничивающие частоту предельно коротких оптических импульсов, которая лежит в ближней ИК-области спектра; 3) используется приближение сплошной среды (такое приближение можно считать справедливым, поскольку пространственный размер области локализации оптического импульса на несколько порядков меньше расстояний между квантовыми точками в сверхрешетке); 4) длина, на которой меняется показатель преломления фотонного кристалла, также много больше пространственного размера области локализации импульса; 5) для описания магнитных и диэлектрических свойств среды используется калибровка Кулона. Поскольку в распределении электрического поля сохраняется цилиндрическая симметрия, а эффектом накопления заряда можно пренебречь, как показано в работах [13, 14], перейдем в цилиндрическую систему координат, полагая, что производной по углу можно пренебречь, тогда уравнение (3) примет вид (4) Уравнение (4) решалось с помощью явной разностной схемы типа «крест». Точность решения достигает 0.01%. Начальная форма вектор-потенциала имеет вид (5) Здесь Q - амплитуда импульса; γr, γz - ширины импульса; v0 - скорость входа импульса в среду фотонного кристалла. Оптический резонатор представлен в кольцевой форме и моделируется путем периодических граничных условий вдоль оси, а также введения граничных условий отражения на границе. 2. Обсуждение Картина эволюции трехмерного предельно короткого оптического импульса в фотонном кристалле на основе полупроводниковой сверхрешетки показана на рис. 2. Из рис. 2 видно, что распространение импульса является квазистабильным, т.е. его энергия остается локализованной в ограниченной области пространства, однако присутствует дифракционное расплывание с течением времени. Дисперсионное расплывание вдоль оси распространения импульса компенсируется нелинейностью среды сверхрешетки. В отличие от ранее известных результатов, моделирование проводилось на больших временах, порядка 100 пс. Это время, за которое импульс успевает пройти несколько дисперсионных длин (влияние дисперсии на длительность импульса: LD = T02/|d2β/dω2|, где Т0 - начальная длительность импульса, а вторая производная отвечает за величину дисперсии). Таким образом, можно говорить о квазистабильном распространении оптического импульса. Изменение формы наглядно продемонстрировано на рис. 3. На нем показаны срезы интегралов по всему поперечному сечению резонатора от интенсивности. Как видно из рис. 2 и 3, на больших временах электрическое поле предельно короткого оптического импульса остается сосредоточенным вдоль оси цилиндрического резонатора, и в этом смысле можно говорить о квазистабильном распространении импульса. Изменение формы импульса связано как с поперечной структурой импульса (возбуждаются внутренние колебательные моды), так и с тем, что среда фотонного кристалла нелинейна и неоднородна (показатель преломления среды имеет пространственную модуляцию). Тем не менее локализация энергии импульса происходит за счет многократного отражения волн от стенок резонатора и последующей интерференции. Рис. 2. Картина прохождения оптического импульса в фотонном кристалле на основе сверхрешетки на квантовых точках в моменты времени 5 (1), 20 (2), 40 (3), 60 (4), 80 (5) и 100 пс (6). Параметры модуляции показателя преломления фотонного кристалла: глубина модуляции - 0.25 мкм, период модуляции - 2.5 мкм Рис. 3. Срезы интегральной интенсивности по всему поперечному срезу резонатора в различные моменты времени 5 (1), 20 (2), 40 (3), 60 (4), 80 (5) и 100 пс (6) Зависимость максимального значения интеграла интенсивности оптического импульса от времени носит нелинейный характер, что показано на рис. 4. Далее нами были изучены зависимости формы огибающей и групповой скорости волнового пакета импульса от параметров модуляции показателя преломления фотонного кристалла на основе сверхрешетки (рис. 5). Рис. 4. Зависимость максимального значения интенсивности от времени Рис. 5. Срезы напряженности электрического поля предельно короткого оптического импульса в момент времени 10 пс в зависимости от параметров модуляции (глубины (1) и периода (2)) показателя преломления фотонного кристалла на основе сверхрешетки Из рис. 5 видно, что изменение параметров модуляции фотонного кристалла оказывает влияние на значение амплитуды напряженности электрического поля импульса, которая увеличивается с ростом периода и глубины модуляции показателя преломления фотонного кристалла со сверхрешеткой. Из проведенного исследования динамики трехмерных предельно коротких оптических импульсов в среде фотонного кристалла на основе сверхрешетки из квантовых точек в условиях оптического цилиндрического резонатора можно сделать следующие выводы: 1. Трехмерные оптические импульсы распространяются квазиустойчиво в фотонном кристалле на основе сверхрешетки в условиях оптического резонатора, в том числе на временах до 100 пс, проходя несколько дисперсионных длин. 2. На больших временах электрическое поле импульса остается сосредоточенным вдоль оси цилиндрического резонатора. 3. Период и глубина модуляции показателя преломления фотонного кристалла влияют на амплитуду напряженности электрического поля импульса.

Скачать электронную версию публикации