Analytical solutions of the algebraic equations of the theory spatial transitions of atoms. Hydrogen-like atom.pdf Введение В наших работах [1, 2] в основном была впервые сформулирована теория пространственных переходов атомов в их системе с пространственными размерностями электронных структур . Эти работы были инициированы серией экспериментов [3-6] по получению атомов «с » «из ». При этом работа [1] явилась основополагающей, в другой же [2] мы уточняли и дополняли положения работы [1]. Основными фигурирующими в этих работах понятиями являлись введенные в [1] а) вероятностные параметры вероятностей переходов , , соответственно (в работе [2] по сравнению с [1] сделана перестановка обозначений , причем в [1] рассмотрен «предельный вариант» , когда числа атомов имеют минимально возможные значения, а - максимально возможные - см. ниже п. б)). В рамках нашей общей теории оказывается возможным найти диапазоны изменения этих параметров , а также величин (см. по этому поводу рис. 1, 2 в работе [2]); б) средние числа атомов в равновесных состояниях системы со значениями . Под равновесными здесь понимаются состояния, в которых не меняется, а переходы между состояниями с различными значениями обусловлены только квантовыми вероятностными закономерностями [7]. Эти состояния из начального, когда атомы находятся только «в », получаются спустя время релаксации , величину которого можно оценить из соображений размерности. Именно, в нерелятивистской теории Шредингера комбинация констант с размерностью времени есть , отличаясь только фактором от периода электрона на 1-й боровской орбите. «Истинное» значение может отличаться от этого на несколько порядков, оставаясь все же пренебрежимо малым. Это означает, что данное понятие равновесного состояния является вполне корректным и оно действительно имеет место в экспериментах типа [3-6]. Заметим также, что существенным моментом нашей общей теории является эквивалентность «пространств » по отношению к «базовому ». Иначе говоря, формулы «для » получаются из формул «для » простой заменой . Адекватность метода может быть установлена при сравнении полученных им результатов с непосредственным расчетом для конкретных атомов с использованием стандартного аппарата квантовой механики [7, 8]. Совпадение расчетов этими двумя методами (наша общая вероятностная теория и аппарат квантовой механики) может быть более полным, если использовать одно из аналитических решений системы алгебраических уравнений, приведенное также в нашей работе [2], являющейся, по существу, продолжением и обобщением результатов основной работы [1]. Целью данной работы и является подтверждение этого предположения. В разд. 1 мы приводим необходимые для этого результаты (а также связанные с ними) работы [2], а в разд. 2 устанавливаем соответствие между результатами аналитического решения упомянутой системы алгебраических уравнений и по методике упомянутых книг [7, 8]. 1. Аналитическое решение системы алгебраических уравнений Как показано в [2], наряду со стандартными численными методами [9] решения общей системы алгебраических уравнений аналитическое решение имеет и вытекающая из нее следующая система уравнений для возможных значений вероятностных параметров (формулы (4а), (4б), (5) работы [2]): , (1а) , (1б) , (2а) . (2б) Для решения поставленной во Введении задачи следует использовать аналитическое решение системы (1а), (1б), получающееся при (другой вариант аналитического решения при [2] соответствует отсутствию «трехмерной фазы» и не имеет отношения к данной работе и экспериментам [3-6]). Как можно убедиться, соответствующее полное решение таково: , . (3) Это означает, что в физической области значения параметров должны удовлетворять 2-му условию в (3). Далее, с использованием общих соотношений для относительных чисел атомов [2] , (4а) , (4б) можно получить их значения в частном случае аналитического решения (3) в функции только от параметра : , . (5) При величина имеет максимальное значение , а - минимальное : , . (6) Физической является область с минимальным значением , определяемым из условия , так что , (7а) а допустимые значения должны находиться в полуоткрытом интервале: , . (7б) В этой области (7б) > , как и должно быть, поскольку эксперименты проводятся, естественно, «в ». С использованием (3), (7б) можно найти также границы диапазона «по »: , . Тогда имеем для полуоткрытого интервала «по »: , . (8) Заметим, что значения (6) близки к получаемым при численном решении системы алгебраических уравнений, в [1] в рамках нашего метода с указанной перестановкой обозначений , что, очевидно, свидетельствует о самосогласованности метода. Другие аргументы в пользу адекватности метода мы приводим в следующем разделе при сравнении приведенных в данном разделе результатов нашей общей теории с результатами расчета с использованием аппарата квантовой механики для водородоподобного атома. 2. Вычисление вероятностных параметров для водородоподобного атома В этих целях мы будем использовать стандартную методику аппарата квантовой механики [7, 8] по отношению к пространственным превращениям водородоподобного атома. Конкретно мы рассматриваем только частный случай переходов между основными состояниями водородоподобного атома. Данный подход оправдан тем обстоятельством, что эксперименты типа имевших место ранее с другими атомами [3-6] должны проводиться при температурах, близких к абсолютному нулю, и возбужденные состояния атомов подавлены. Это же должно иметь место в будущих экспериментах с водородоподобными атомами. Волновые функции этих состояний имеют вид а) «в » [8, 10] , , ; (9а) б) «в » [11, 12] (полярные координаты) , ; (9б) в) «в » [8] (сферические координаты) . (9в) Для наших целей заметим далее (см. также [7]), что комбинация с соответствующими наборами квантовых чисел в образует базис и в , так что функция с конкретным набором квантовых чисел может быть представлена в форме разложения по этому базису: . (10) Сумма в (10) идет по наборам квантовых чисел , а зависящие от коэффициенты разложения равны , (11) , . При переходе между основными состояниями с действительными волновыми функциями (9а) - (9в) , поэтому выражение (11) в случае основных состояний может быть записано в виде , (12а) или, с учетом связи между элементами объема , , . (12б) Согласно принятой интерпретации [7, 8], величина (13) является вероятностью перехода с обнаружением атома в пространственном состоянии или , если он перед этим с достоверностью находился «в ». Какое именно из этих двух конечных состояний реализуется, зависит от условий эксперимента (см., например, [3]). Значение (12б) можно найти с использованием сферических координат с безразмерным элементом объема и выражением фигурирующих в координат, как и в , через сферические: , (14а) а значение (12а) - с использованием цилиндрических ( ) с элементами объема , : . (14б) Численный расчет (14а), (14б) с принятой в работе точностью до сотых долей дает одинаковый результат: . (15) При этом, например, вероятностный параметр для водородоподобного атома может иметь численное значение . (16а) В этом случае значение параметра для водородоподобного атома получим с использованием формул (3), (16а): . (16б) В силу полной симметрии уравнений «по » в частном варианте водородоподобного атома имеет место и перестановка значений (16а), (16б). Но в любом случае оба значения (16а), (16б) попадают в «теоретические» диапазоны (7б), (8) аналитического решения (3). Тем самым в частном случае водородоподобного атома устанавливается полное соответствие между стандартными методами аппарата квантовой механики [7, 8] и нашей общей теорией вероятностных пространственных переходов атомов. Заключение Таким образом, в данной работе конкретным расчетом с использованием аппарата квантовой механики применительно к водородоподобному атому мы подтвердили общие выводы развиваемой нами теории вероятностных пространственных переходов в системе атомов с пространственными размерностями , основы которой были заложены в работе [1]. Именно, можно считать окончательно установленным следующее. 1. Атомы со значением являются эквивалентными в смысле их вероятностных связей с атомами в «базовом» состоянии . 2. Это обстоятельство дает возможность сформулировать систему алгебраических уравнений для введенных вероятностных параметров с определением диапазонов их возможных значений. 3. Существенно, что результаты независимого расчета для водородоподобного атома методами квантовой механики дают значения , попадающие в один из этих диапазонов, найденных в разд. 1 по нашей общей теории атомных переходов. 4. По значениям параметров можно рассчитать относительные числа атомов в функции одного из параметров в их системе с пространственными размерностями электронных структур . 5. Этот результат «4» может быть проверен в экспериментах, аналогичных выполненным ранее. Насколько нам известно, в литературе отсутствует подобный подход к рассмотрению систем атомов в , т.е. результаты работы являются полностью оригинальными. Заметим также, что представляет интерес распространение нашей общей теории на атомы в гипотетических пространствах с числом измерений [13]. Но возникающие при этом математические проблемы нам пока преодолеть не удалось. Автор выражает благодарность д.ф.-м.н. В.П. Красину и к.ф.-м.н.С.В. Копылову, которые во всех совместных работах занимались в том числе численными расчетами и графическими построениями, без чего целостная и последовательная формулировка развиваемой общей теории вероятностных переходов в системах атомов была бы невозможной.

Скачать электронную версию публикации