Anisotropy of the Gr?neisen coefficient determining the “thermal” part of the pressure in the equations of state of a de.pdf Введение Коэффициенты Грюнайзена играют важную роль в механике газообразных, жидких сред, а также в механике деформируемого твердого тела. В механике газообразных сред они используются в уравнениях для изэнтроп идеального газа, отражают величину отношения теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме, входят в соотношения для определения скорости звука в идеальном газе. Величины коэффициентов Грюнайзена связаны с процессами теплового расширения, теплопроводности, поглощения звуковых волн [1]. Некоторые из этих величин могут быть отрицательными. Например, для переохлажденной метастабильной жидкой воды в области температур от -10 °С до +4 °С модуль объемного сжатия отрицателен. Коэффициент Грюнайзена является важной величиной при построении теории твердого тела, будучи одной из важнейших характеристик динамики кристаллической решетки - мерой ангармоничности сил, действующих между атомами. В физике твердого тела функции Грюнайзена исследуют как функциональные зависимости, связывающие такие физические величины, как теплоемкость, коэффициент теплового расширения, модуль всестороннего сжатия, различные характеристики упругости [1]. Существует соотношение, демонстрирующее возможность нахождения коэффициента Грюнайзена при определенной температуре, используя величину коэффициента Пуассона [2], а также зависимости функций Грюнайзена от температуры [3]. В механике деформируемого твердого тела величина коэффициента Грюнайзена необходима для определения части давления, называемой «тепловой». «Тепловое» давление обусловлено тепловыми колебательными движениями атомов около узлов кристаллической решетки и пропорционально плотности энергии этих колебаний [4]. При этом функции Грюнайзена связывают множество характеристик, используемых в физике твердого тела и механике сплошных сред. Особый интерес представляют функции Грюнайзена для анизотропных материалов, ауксетиков, материалов, имеющих в некоторых температурных диапазонах отрицательные значения модулей всестороннего сжатия. Для таких материалов в условиях высокоскоростного нагружения или при высоких уровнях статического напряжения является актуальным точное определение функции давления в зависимости от рассматриваемого направления. При исследовании напряженного состояния в твердых телах в рамках упругопластической деформации и разрушения необходимо выделить часть полных напряжений, соответствующих всесторонней равномерной деформации. Из анизотропии упругих постоянных следует анизотропия модулей Юнга и анизотропия линейных сжимаемостей в направлениях расчетных осей координат [5]. Анизотропия линейных сжимаемостей или обратных им величин - модулей линейного сжатия определяет анизотропию холодной части давления. Это необходимо для обеспечения непрерывности функции давления при переходе от упругой деформации к упругопластической или от упругой деформации к моделированию процессов деформирования разрушенного материала в условиях сжатия. В случаях, когда возрастает роль «тепловой» части давления в уравнении состояния, анизотропия вычисляемого давления определяется вкладами «тепловой» части давления. В научной литературе отсутствуют исследования влияния функций Грюнайзена на анизотропию «тепловой» части давления в монокристаллах в условиях динамического нагружения в адиабатическом приближении. По мере повышения роли «тепловой» части давления в полных напряжениях появляется необходимость учета анизотропии коэффициента Грюнайзена в уравнении состояния. Цель работы - исследование влияния учета анизотропии коэффициента Грюнайзена на напряженное состояние в ГПУ-монокристалле в условиях динамического нагружения при температуре Дебая. Методом конечных элементов в трехмерной постановке проведены исследования напряженного состояния преграды из монокристалла цинка в условиях ударного нагружения с учетом анизотропии упругих, пластических свойств и анизотропии коэффициента Грюнайзена. Проведено сравнение результатов, полученных с помощью численного моделирования и в натурных экспериментах [6]. Анизотропия коэффициентов Грюнайзена и коэффициентов линейного теплового расширения в ГПУ-монокристаллах Впервые уравнение состояния твердого тела на основании классической статистической механики для изотропных сред было получено Ми [7] , (1) где Ф0 - потенциальная энергия грамм-атома кристалла в положении равновесия; R - универсальная газовая постоянная; Т - температура. Первое слагаемое соответствует потенциальному давлению и зависит только от объема, второе обусловлено колебаниями кристаллической решетки и пропорционально энергии этих колебаний. При низких температурах вклад второго слагаемого в полное давление мал. С ростом температуры роль «теплового» давления возрастает, оно может сравняться с потенциальным давлением и даже превзойти его [5]. В подходе Грюнайзена полагалось, что при нагревании твердого тела при постоянном объеме вся подводимая к нему тепловая энергия переходит в энергию колебаний решетки, поэтому уравнения состояния в форме Ми - Грюнайзена имеют вид , (2) где - теплоемкость при постоянном давлении. Коэффициент Грюнайзена определяется через измеряемые термодинамические характеристики вещества , (3) где - коэффициент теплового расширения; ; - изотермический модуль всестороннего сжатия. Исследование коэффициента теплового расширения дает возможность вычислить параметр Грюнайзена, который можно считать «мерой» объемной зависимости этих характерных величин. Экспериментально в большинстве случаев определяется не объемный, а линейный коэффициент теплового расширения. Коэффициенты теплового расширения некоторых монокристаллов обладают значительной анизотропией. Например, у селенида олова вдоль направлений осей a, b и c в интервале температур 300-500 К: = -26.6•10-6 град-1, = +26.7•10-6 град-1, = +35.5•10-6 град-1. В приведенном диапазоне температур при нагревании в двух направлениях материал расширяется, а в перпендикулярном сжимается. При моделировании процессов деформации в анизотропных материалах вместо модуля объемного сжатия могут использоваться различные коэффициенты линейного сжатия для различных направлений расчетных осей координат в формуле (3), что также может повлиять на анизотропию коэффициентов Грюнайзена. Уравнение состояния для моделирования напряженного состояния в материалах, характеризующихся трансверсальной изотропией механических свойств Зависимость полных напряжений от полных деформаций в изотропных средах всегда может быть представлена как зависимость сумм шаровых и девиаторных частей деформаций от соответствующих им частей напряжений. При моделировании процессов деформирования анизотропных сред шаровой части тензора деформаций (равномерной объемной деформации) соответствует анизотропное напряженное состояние вследствие анизотропии упругих постоянных материала [8]. Возникает вопрос влияния на величину напряженного состояния параметров Грюнайзена, связанных с «тепловой» частью уравнения состояния. Роль коэффициента Грюнайзена для заданной температуры возрастает с увеличением уровня достигнутого напряжения. Например, при динамическом нагружении элементов конструкций это связано с ростом давления при увеличении скорости ударного нагружения. Цинк кристаллизуется в гексагональную решетку. О большой анизотропии сил, действующих в кристалле цинка, свидетельствует значительная анизотропия (порядка 6) коэффициентов теплового расширения вдоль оси шестого порядка и перпендикулярно ей при температуре Дебая, а также наличие области температур (от 10 до 70 К), при которых коэффициент теплового расширения вдоль оси шестого порядка отрицателен [5]. Функциональная связь коэффициента теплового расширения и коэффициента Грюнайзена влечет подобную анизотропию последнего [1]. Для ГПУ-монокристаллов связь коэффициентов линейного теплового расширения и коэффициентов Грюнайзена в случае, когда направление оси шестого порядка совпадает с направлением третьей оси, имеет вид [5] , (4) . (5) Здесь Сik - коэффициенты матрицы упругих постоянных; , - коэффициенты линейного расширения перпендикулярно направлению оси шестого порядка и параллельно ей; , - параметры Грюнайзена перпендикулярно направлению оси шестого порядка и параллельно ей. Соотношения (4) и (5) можно записать в виде, используя величины теплоемкости при постоянном давлении СP [1]: , (6) . (7) Для монокристаллического цинка в интервале температур 10 < T < 70 К коэффициент тепло¬вого расширения становится отрицательным, параметры Грюнайзена во всем диапазоне температур остаются положительными. Интересным является факт, что при температуре ниже 120 К < , как и значения коэффициентов теплового расширения, при температуре 120 К = , а при температуре выше 120 К и далее при повышении температуры уже > . Для цинка при температуре Дебая, равной 320 К, > 0 и сохраняется значительная анизотропия значений коэффициентов теплового расширения во взаимно-перпендикулярных направлениях. При температуре 320 К = 13.2•10-6 град-1, = 63.5•10-6 град-1 [2]. Значения коэффициентов Грюнайзена для монокристалла цинка в этих направлениях составляют: = 2.15, = 1.9. Таким образом, в монокристаллическом цинке вдоль направления оси шестого порядка коэффициенты теплового расширения и коэффициенты Грюнайзена при температуре Дебая имеют минимальные значения, а в плоскости изотропии - максимальные. Анализ величин модулей линейного сжатия вдоль оси шестого порядка и в плоскости изотропии для монокристалла цинка показывает, что = 53673 МПа, = 81710.6 МПа, т.е. минимальные значения - вдоль направления оси шестого порядка и максимальные - в плоскости изотропии, как и у коэффициентов Грюнайзена. Постановка задачи ударного нагружения преграды из монокристалла цинка Динамическое нагружение преграды из монокристаллического цинка алюминиевым ударником моделируется в рамках механики сплошной среды с использованием уравнения неразрывности, уравнений движения и уравнения энергии [7] в трехмерной постановке. Расчеты проведены с использованием математической модели, включающей в себя разложение тензора полных напряжений в области упругих и пластических деформаций на девиаторную часть и анизотропное давление. Используется метод конечных элементов для моделирования динамических задач [9]. Постановка задачи ударного нагружения изотропным алюминиевым ударником D1 преграды из монокристалла цинка D2, соответствующая условиям в натурных экспериментах с целью исследования механических свойств монокристаллов цинка [6], показана на рис. 1. Используются величины упругих постоянных транстропного материала монокристалла цинка, как и в натурных экспериментах [6], их значения: С11 = 61041.7 МПа, С22 = C33 = 161018.1 МПа, С12 = 49987.7 МПа, С23 = 34129 МПа, С44 = 63445.9 МПа, С66 = 38291.86 МПа. Коэффициенты Грюнайзена, упругие постоянные и коэффициенты теплового расширения соответствуют температуре Дебая [1, 10]. Рис. 1. Объемная начальная конфигурация ударника и преграды Результаты и их обсуждение В натурных экспериментах [6] регистрировались профили скорости свободной поверхности образцов лазерным допплеровским измерителем скорости VISAR. Частотные характеристики аппаратуры обеспечивали регистрацию сигналов со временем нарастания 2 нс. Проведено две серии экспериментов - для направления ударного нагружения вдоль оси [0001] и для направления [10͞10]. Близкие значения скоростей распространения продольной и объемной волн в направлении [0001] в монокристалле цинка - 2741.7483 м/с и 2923 м/с - не позволяют выявить моменты времени выхода упругой и пластической деформаций на тыльную поверхность преграды в рамках натурных экспериментов [6]. Значения скоростей распространения объемных волн определены в настоящей работе на основе используемых модулей линейного сжатия, величины которых зависят от направления симметрии свойств материала [8]. Модули линейного сжатия используются вместо модулей объемного сжатия. Традиционно используемые модули объемного сжатия определяют одинаковые величины скоростей распространения объемных волн, а следовательно, и одинаковые скорости распространения пластических волн сжатия. Профили скоростей волн сжатия, вышедших на тыльные поверхности преграды в случаях нагружения в направлениях [0001] и [10͞10], полученные в натурных экспериментах, показаны на рис. 2. На рисунке приведены типичные профили скорости поверхности монокристаллических образов цинка при различной ориентации относительно направления ударной нагрузки, которые демонстрируют различие профилей волн сжатия в зависимости от направления их распространения. По профилю скорости волны сжатия в направлении [0001] видно, что отсутствует расщепление ударной волны сжатия на упругий предвестник и пластическую волну сжатия. В направлении [0001] скорость распространения упругой продольной волны выше скорости распространения объемной волны сжатия на 181 м/с и столь малое отличие не позволяет наблюдать выход упругого предвестника отдельно от пластической волны сжатия. В направлении [10͞10] скорость распространения упругой продольной волны превышает скорость распространения упругой объемной волны на 1367 м/с, поэтому на кривой (10͞10) отчетливо виден выход упругого предвестника. Получение значений скоростей распространения объемных волн, которые определяют скорость распространения пластической волны сжатия в зависимости от направления распространения, стало возможным благодаря введению анизотропного давления [11, 12]. В расчетах и в натурных экспериментах начальная скорость алюминиевого ударника - 650 м/с, толщина алюминиевого ударника составляет 0.85мм, толщина преграды из монокристалла цинка - 1.7 мм [6]. Рис. 2. Профили скоростей свободных поверхностей образцов монокристаллов цинка при нагружении в направлении [0001] и [10͞10] ударом алюминиевых пластин с начальной скоростью удара 650-700 м/с [6] Математическая модель ударного нагружения преград из монокристаллического цинка включает в себя моделирование процессов упругопластического деформирования и разрушения [13]. Особенностью математической модели является разложение тензора полных напряжений на части, соответствующие шаровой и девиаторной частям тензора полных деформаций в области упругих деформаций и упругопластических деформаций. Связь девиаторных частей тензоров напряжений и деформаций в области упругих деформаций осуществляется с помощью обобщенного закона Гука [9]. В качестве условия текучести используется соотношение Мизеса - Хилла. Шаровой части тензора полных деформаций соответствует анизотропное давление в области упругих и упругопластических деформаций. Анизотропное давление в области упругих деформаций вычисляется с использованием величин упругих постоянных монокристаллического цинка [11, 12]. Анизотропное давление в области упругопластических деформаций определяется на основе уравнения состояния Ми - Грюнайзена (2), представляющего собой сумму холодной и «тепловой» частей давления. Каждая из частей давления характеризуется своей анизотропией, отражающей различные физические процессы. Анизотропия холодной части давления определяется анизотропией модулей линейного сжатия. Анизотропия «тепловой» части давления - анизотропией коэффициента Грюнайзена. Моделирование процесса разрушения отражает процесс накопления микропор в волнах растяжения, их слияния, вплоть до объединения в единую магистральную трещину, что визуализируется в натурных экспериментах с помощью регистрации профилей скоростей тыльных поверхностей преград [6, 14]. Процесс накопления пористости в анизотропном материале преграды зависит от величин анизотропного давления, соответствующих различным направлениям осей координат [13]. На рис. 3, а и б времена выходов волн сжатия на тыльную поверхность преград из монокристалла цинка отличаются вследствие различных величин скоростей распространения упругих продольных волн в направлениях [0001] и [10͞10]. В случае ударного нагружения вдоль направления [10͞10] видна полочка упругого предвестника, которая наблюдается при исследовании свойств в абсолютном большинстве материалов из-за превышения скорости распространения продольной волны скорости распространения пластической волны сжатия. Отсутствие полочки упругого предвестника на тыльной поверхности преграды при ударном нагружении вдоль направления [0001] можно объяснить и численно моделировать только с применением анизотропного давления. Рис. 3. Вычисленные профили скоростей свободных поверхностей преград из монокристаллов цинка при ударном нагружении алюминиевой пластиной с начальной скоростью 650 м/с: а - в направлении [0001], б - в направлении [10͞10] Предложенная математическая модель, учитывающая анизотропное давление, позволяет объяснять отсутствие отдельного выхода упругого предвестника в преграде из монокристалла цинка при ее ударном нагружении вдоль направления [0001]. В работе показана возможность использования предложенной математической модели, в которой отдельно учитываются анизотропии холодной и «тепловой» частей давления, в разностной схеме динамического метода конечных элементов. Результаты полученных расчетов показывают не только качественное, но и количественное согласие с результатами натурных экспериментов. Заключение Представлена математическая модель определения напряженного состояния элементов конструкций из анизотропных материалов, позволяющая учитывать анизотропию «тепловой» и холодной частей давления. Влияние учета анизотропии коэффициента Грюнайзена при определении «тепловой» части уравнения состояния для анизотропных материалов на результаты расчетов определяется следующими факторами: соотношением «тепловой» и холодной частей давления, анизотропией коэффициента Грюнайзена, а также совпадением по направлению максимальных значений коэффициента Грюнайзена и модуля линейного сжатия относительно симметрии механических свойств материала. Значимость «тепловой» части давления определяется уровнем достигаемой энергии упругой деформации, а также температурой процесса деформирования относительно температуры Дебая материала. Показано, что учет анизотропии давления позволяет объяснить отсутствие выхода упругого предвестника близкими значениями скоростей распространения упругих продольных и объемных волн в некоторых направлениях.

Скачать электронную версию публикации