Study of the crystal lattice curvature based on the discrete vector field of atomic displacements.pdf На сегодняшний день одной из наиболее актуальных задач современного материаловедения является изучение неравновесных наноструктурных состояний в металлических материалах. К настоящему времени накоплено достаточное количество работ, посвященных экспериментальным исследованиям таких высокодефектных состояний [1]. Несмотря на это в рамках теоретических и модельных представлений пока не существует единой концепции их описания. Одним из способов изучения формирования и эволюции таких состояний на различных масштабных уровнях является компьютерное моделирование методом молекулярной динамики [2]. Зачастую для повышения физической интерпретируемости результатов молекулярно-динамического моделирования требуется проводить постобработку результатов с целью дальнейшего сравнительного анализа с экспериментально наблюдаемыми величинами. Удобным инструментом для такой постобработки являются методы машинного обучения, которые в числе основных преимуществ обладают высокой «гибкостью» и относительно простой адаптацией при сохранении приемлемого уровня точности прогнозирования результатов. Благодаря такому подходу можно провести поиск и анализ целевых величин, которые описывают важнейшие физические свойства реальных систем. В настоящей работе в качестве такой величины была выбрана ориентированная кривизна векторного поля атомных смещений. Интерес к анализу этой величины основан на ее тесной связи с тензором изгиба-кручения кристаллической решетки и, следовательно, с силовыми и энергетическими характеристиками дефектной субструктуры [3]. В настоящей работе с использованием методов машинного обучения проведены теоретические оценки кривизны кристаллической решетки неравновесных наноструктурных состояний по дискретному полю смещений атомов в процессе моделируемого деформационного воздействия. Исследуемый массив данных представляет собой набор координат узловых точек среды [xi, yi], а также компонент их перемещений [uxi, uyi], инициируемых деформационным воздействием на систему. Таким образом, мы получаем согласованный массив данных, описывающий дискретное векторное поле V(x, y) = (Fx(x, y), Fy(x, y))T. Процедуру «заполнения» (определения в каждой точки континуума) можно реализовать с помощью метода полиномиальной регрессии [4]. Это один из основных методов машинного обучения с учителем (Supervised learning), целью которого является восстановление зависимости между данными по заданной обучающей выборке путем минимизации функции потерь. В частности, в настоящей работе эта задача заключалась в минимизации функции среднеквадратичной ошибки (MSE) в виде . (1) Здесь aqr - весовые коэффициенты полиномиальной регрессии. Процедура минимизации была проведена для каждой компоненты векторного поля V с использованием библиотеки Numerical Algorithms Group (NAG). В рамках такого подхода обеспечивается гладкость целевых функций, которые описывают векторные поля смещений атомов, вызванные малыми деформациями моделируемой среды. Следует отметить, что в случае анализа произвольных полей в условиях пластической деформации целевые функции могут быть недифференцируемыми, так как имеет место наличие сингулярных областей вблизи залегания дефектов. В этом случае процесс поиска оптимумов можно провести субградиентными методами [5]. После получения непрерывного векторного поля V(x, y) = (Fx(x, y), Fy(x, y))T путем покомпонентного поиска регрессоров появляется возможность определения кривизны областей континуума, порожденной атомными смещениями (искривление атомных плоскостей в процессе деформации). Эта процедура сводится к определению ориентированной кривизны интегральных (касательных) линий перпендикулярного векторного поля V(x, y)⊥ = (Fy(x, y), -Fx(x, y))T в виде , (2) где γ(t) = (x(t), y(t)) - параметрическая форма интегральной линии, а штрихи обозначают производные по параметру t. Оценка ориентированной кривизны проведена на тестовом наборе данных, имитирующем результаты молекулярно-динамического моделирования. В частности, были проанализированы данные, соответствующие вихревому векторному полю, так как такие поля характерны для градиентных наноструктурных состояний с высокой кривизной кристаллической решетки [6]. На рис. 1, а показано непрерывное векторное поле V и ассоциированное с ним перпендикулярное поле V⊥, для которых векторы в каждой точке пространства взаимно перпендикулярны. Средняя ошибка аппроксимации полиномиальной регрессионной модели 3-й степени для компоненты поля Fx составила A1 ≈ 4.07%, компоненты Fy - A2 ≈ 5.86%. Значения ошибки аппроксимации не превышают 10%, что свидетельствует о хорошем подборе базисных функций к исходным данным. Построение интегральных линий векторного поля V⊥ проведено с использованием методов численного интегрирования библиотеки NAG путем перебора начальных точек (x0, y0) (рис. 1, б). Оценка по соотношению (2) ориентированной кривизны K касательных линий была проведена для некритических точек векторного поля (точек, в которых V(x, y) ≠ 0). При этом условие единственности кривизны обеспечивалось интегрируемостью Пфаффого дифференциального уравнения для поля V. Для исследования характера изменения ориентированной кривизны K для всей исследуемой области, включая критические области поля V⊥, был использован метод обобщенной линейной регрессии - метод кригинга [7], который в отличие от представленной выше полиномиальной регрессии позволяет найти наиболее вероятные промежуточные значения кривизны. Этот интерполяционный метод, основанный на гауссовском процессе с управляемыми априорными ковариациями, позволяет провести количественное представление пространственной структуры данных в виде вариограмм. На рис. 1, в показана такая вариограмма (176 точек) для кривизны K поля V⊥, отражающая, как расстояние между двумя точками влияет на корреляцию между значениями кривизны в этих двух точках. На основе этой вариограммы можно статистически определить значение K в любой точке векторного поля V⊥, т.е. получить пространственное распределение ориентированной кривизны в виде скалярного поля, и в перспективе проанализировать компоненты тензора изгиба-кручения и энергии деформированной среды. Рис. 1. Векторное поле V и его перпендикулярное поле V⊥ (а); касательные линии поля V⊥ (б); вариограмма ориентированной кривизны K поля V⊥ (в) Таким образом, в настоящей работе на основе методов машинного обучения предложена методика для оценки кривизны кристаллической решетки неравновесных наноструктурных состояний металлических материалов. В дальнейшем такой подход позволит провести анализ полей напряжений и энергий высокодефектных состояний, а также описать их структурно-фазовую эволюцию на наноуровне.

Скачать электронную версию публикации