Shear waves in magnetic fluids.pdf Введение Магнитные жидкости со своими уникальными свойствами находят все большее применение в приборостроении и новых технологиях. Они используются в качестве амортизаторов и демпфирующих устройств, датчиков перемещения, поглотителей, регуляторов и акустических систем, принцип работы которых основан на их упругих колебаниях [1-4]. Широкое применение магнитных жидкостей основано на имеющейся информации об их структуре и динамических свойствах. Физическая акустика, изучая взаимодействия волн с веществом, позволяет решить задачи, связанные с особенностями распространения звука в этих веществах, и на основе данных о распространении и поглощении волн определить многие ее физические свойства. Следовательно, исследование процессов распространения и поглощения волн в магнитных жидкостях позволяет исследовать их строение, получить данные о неравновесных процессах, протекающих в них, в широком интервале изменения термодинамических параметров и частоты внешнего воздействия, и открывает новые пути их практического применения. Основные трудности, возникающие при исследовании акустических параметров магнитной жидкости, связаны с ее многокомпонентностью. Известно, что при вычислении скорости звука в смесях жидкостей и суспензий необходимо учитывать взаимодействие компонентов системы. Следовательно, эта задача должна решаться на основе точных методов статистической теории. Однако существуют методы, носящие феноменологический характер, в которых скорость звука в смесях и суспензиях связывается со скоростями звука отдельных компонент. В [5] обсуждаются результаты работ [6, 7], в которых для вычисления скорости звука идеальных смесей используется интерполяционная формула , где и - скорости звука в первой и второй компонентах; - весовая доля второй компоненты. Там же показано, что поскольку пропорционально , т.е. второй производной от экстенсивной величины по экстенсивной же величине, то при теоретическом обосновании этой формулы никакой аддитивности квадратов скоростей для смеси не получится, даже если эта смесь идеальна. Далее, на основе рассуждения работы Ротхардта в [5] получается аддитивное соотношение для изотермической сжимаемости бинарной смеси: , где - объемная доля первой компоненты. Аналогичным образом в [2] для получения выражения скорости распространения звуковых волн в магнитной жидкости используется аддитивная модель изотермической сжимаемости, и поскольку при быстрых процессах изотермическая сжимаемость переходит в адиабатическую, для адиабатной скорости звука получается выражение , где - скорость звука в чистой дисперсионной среде; - объемная концентрация дисперсной фазы. В [8] получены выражения для скорости и коэффициента поглощения ультразвука в полидисперсных магнитных жидкостях и на основе анализа акустических спектров магнитной жидкости предлагается метод определения концентрации и размеров частиц дисперсной фазы. Явление изменения скорости распространения ультразвука в магнитных и магнитореологических жидкостях при наличии внешнего магнитного поля исследовано в [9, 10]. Показано, что при включении магнитного поля скорость распространения ультразвука в исследуемых образцах увеличивается и через некоторое время становится постоянной. На основе данных о процессе распространения ультразвука в магнитных и магнитореологических жидкостях оценивается процесс формирования и рост кластерных структур в зависимости от времени приложения магнитного поля. В серии работ [11-14] исследовано влияние внешнего магнитного поля на скорости распространения и коэффициент поглощения звуковых волн в магнитных жидкостях. На основе решения системы уравнений магнитной гидродинамики получены выражения для скорости и коэффициента поглощения трех видов магнитогидродинамических мод: быстрых, медленных и альфвеновских волн. На основе полученных выражений и анализа экспериментальных данных исследована анизотропия распространения волн в магнитных жидкостях. Необходимо отметить, что исследованию процессов распространения и поглощения акустических волн в магнитных жидкостях посвящено большое количество работ [2, 15, 16]. Однако до настоящего времени имеется все еще мало данных по изучению релаксационных процессов, протекающих в магнитных жидкостях на основе акустических исследований. Известно, что твердые тела обладают упругостью не только по отношению к изменению объема, но и к изменению формы, что определяется сдвиговой упругостью. В результате в твердых телах могут распространяться как продольные, так и поперечные волны. Жидкости при низких частотах, вследствие своей текучести, являются вязкими и единственной ее упругой реакцией на внешние воздействия является сопротивление всестороннему сжатию. В этом случае в жидкостях возникают только продольные волны. При высоких частотах жидкость от гидродинамического режима переходит к упругому, и когда частота внешнего воздействия превышает характерную частоту релаксации, жидкость ведет себя как аморфное твердое тело [17]. В высокочастотном режиме в жидкостях, наряду с объемным модулем упругости, появляется сдвиговой модуль упругости, и в них, кроме продольных, также могут распространяться сдвиговые акустические волны. Анализу изменения гидродинамического режима в жидкостях при быстрых процессах посвящено большое количество экспериментальных и теоретических работ [18]. В последнее время разработаны пикосекундные ультразвуковые методы, на основе которых можно возбуждать и исследовать продольные и поперечные акустические волны в гигагерцовом диапазоне частот (20-100 ГГц) в жидкостях [19-21]. При высоких частотах благодаря уменьшению длины акустических волн их взаимодействие с частицами жидкости становится существенным, что позволяет исследовать структурные перестройки и релаксационные процессы в жидкостях. Цель настоящей работы - теоретическое исследование процессов распространения и поглощения сдвиговых волн в магнитных жидкостях с учетом влияния внешнего магнитного поля. Модели и уравнения Известно, что неравновесные процессы в жидкостях наиболее полно исследуются на основе уравнений обобщенной гидродинамики, которые получаются методом неравновесной статистической теории. На основе этих уравнений можно исследовать различные спектры гидродинамических мод, где все акустические параметры определяются микроскопически. Следует отметить, что частотная дисперсия скорости распространения и коэффициента поглощения акустических волн в жидкостях выражается посредством их динамических модулей упругости и коэффициентов переноса. Ранее нами в [22-24] на основе метода статистической теории были исследованы вязкоупругие свойства идеальной магнитной жидкости с невзаимодействующими магнитными частицами. Полученные результаты для разбавленных магнитных жидкостей находились в удовлетворительном согласии с литературными данными. Однако в последнее время в основном создаются коммерческие высококонцентрированные магнитные жидкости, для исследования свойств которых необходимо учитывать диполь-дипольное взаимодействие дисперсных частиц и их взаимодействия с внешним магнитным полем. В связи с этим недавно в [25-27] для модели двухкомпонентной магнитной жидкости, состоящей из ферритной и молекулярной частей, были исследованы частотная дисперсия динамических коэффициентов вязкости и соответствующие им модули упругости, а также их поведения в широком интервале изменения концентрации, внешнего магнитного поля и температуры. Показано, что полученные результаты находятся в хорошем согласии с экспериментальными и теоретическими результатами и при теоретических расчетах выявлен сильный магнитовязкий эффект, наблюдаемый в последних экспериментах с концентрированными магнитными жидкостями. Выражения для динамического коэффициента сдвиговой вязкости и соответствующего ему динамического сдвигового модуля упругости магнитных жидкостей имеют следующий вид [25, 27]: (1) где ; ; - время трансляционной релаксации вязкого тензора напряжений; - феноменологическое время структурной релаксации; , , , - соответствующие i-й подсистеме значения числовой плотности, диаметра частицы, коэффициента трения и радиальной функции распределения; - частота внешнего возмущения; - магнитная постоянная; - вектор магнитного момента магнитных частиц; - внешнее магнитное поле; - постоянная Больцмана; - температура системы. Аналитические выражения (1) для и позволяют наиболее детально исследовать акустические свойства магнитных жидкостей. Для исследования акустических параметров магнитной жидкости рассмотрим двухкомпонентную модель магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью [13, 28]. Воспользуемся уравнением эволюции намагниченности (2) а также уравнением движения, полученным раннее на основе кинетических уравнений для одночастичной и двухчастичной функции распределения [25] (3) В многокомпонентной системе каждая компонента двигается со своей макроскопической скоростью , обладает своим парциальным давлением и температурой . Если в системе процессы переноса протекают быстро, то многокомпонентную систему можно рассматривать как однокомпонентную, т.е. можно предполагать, что все его компоненты движутся как одно целое. Следовательно, используя средние величины, быстрые процессы в многокомпонентной системе можно описать с помощью уравнений, аналогичных уравнениям гидродинамики однокомпонентной системы. Таким образом, используя средние величины гидродинамических переменных а также выражения коэффициентов переноса и модулей упругости магнитной жидкости, описывающихся с помощью соответствующих парциальных величин уравнение (3) приведем к виду, аналогичному уравнению однокомпонентной жидкости: (4) где - микроскопическое выражение тензора напряжения магнитной жидкости. Теперь, рассматривая распространение волн малой амплитуды и учитывая в уравнениях (2) и (4) малые возмущения параметров магнитной жидкости, получим систему линеаризованных уравнений в виде (5) Совершая в (5) фурье-преобразование по координатам и времени, а также учитывая , получим где определяет угол между направлением волнового вектора и напряженности внешнего магнитного поля. Векторное умножение последнего выражения на волновой вектор позволяет получить комплексное выражение для модифицированной сдвиговой волны в магнитной жидкости, когда смещение частиц среды происходит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны: (6) Решая уравнение (6) относительно реальной и мнимой части для спектра частот и затухания сдвиговых волн, получим следующие выражения: (7) Рассмотрим асимптотическое поведение выражения (7) в предельных случаях. В гидродинамическом режиме ( ) динамические коэффициент сдвиговой вязкости и сдвиговый модуль упругости имеют следующие асимптотики [27]: (8) где , Следовательно, при для спектра частот и затухания сдвиговых волн имеем (9) При ( ), учитывая высокочастотные асимптотики коэффициента сдвиговой вязкости и сдвигового модуля упругости (10) для спектра частот и затухания сдвиговых волн получим (11) Как видно из выражения (9), в гидродинамическом режиме спектр частот зависит от волны альфвеновского типа со скоростью , а затухание сдвиговых волн зависит от статического коэффициента сдвиговой вязкости магнитной жидкости. В высокочастотном режиме, согласно (11), затухания нет, спектр частот сдвиговых мод зависит от высокочастотного модуля сдвиговой упругости и скорости альфвеновской волны. Теперь, полагая и решая (6) относительно реальной и мнимой части волнового числа, для скорости и коэффициента поглощения сдвиговых волн в магнитной жидкости получим следующие выражения: (12) Учитывая асимптотические выражения (8) и (10), можно оценить предельные значения скорости распространения и коэффициента поглощения сдвиговых волн. Устремив в (12) частоту к нулю и учитывая в нем (8), получим где - стоксовое значение коэффициента поглощения, выраженное через статический коэффициент сдвиговой вязкости. В пределе высоких частот, когда , учитывая (10) в (12), имеем Как видно, при низких частотах скорость распространения и коэффициент поглощения сдвиговых волн изменяются по закону , совпадающему с результатами нелокально-диффузионной теории [29]. При высоких частотах и перестают зависеть от частоты и стремятся к своим постоянным значениям. В ньютоновской вязкой жидкости сдвиговые волны быстро затухают и поглощение на длине волны равно большому значению, . Реальные жидкости не в полной мере являются ньютоновскими, при приложении мгновенных напряжений они проявляют эффект упругости формы. Согласно вязкоупругой модели Максвелла, при низких частотах сдвиговая упругость на фоне текучести незначительна и ею можно пренебречь. При высоких частотах основную роль играет упругость формы и жидкость ведет себя как аморфное твердое тело. Следовательно, в вязкоупругой жидкости реологическое уравнение имеет более сложную форму и частотная зависимость коэффициента поглощения на длине волны становится сложной. Из выражения (12) в отсутствие внешнего магнитного поля для поглощения, приходящегося на одну длину волны, имеем . При низких частотах в среде Максвелла , следовательно, поглощение на длине волны . При высоких частотах сдвиговый модуль упругости стремится к предельному высокочастотному значению и сдвиговая вязкость - к нулю, следовательно, поглощение на длине волны мало, , и сдвиговая волна может проникнуть в жидкость на глубину, равную нескольким длинам волн. Поставляя выражения (1) в (12), определяем явные динамические выражения для и в следующем виде: (13) Видно, что учет соответствующих парциальных величин для сдвигового модуля упругости и коэффициента сдвиговой вязкости позволяет учитывать вклад соответствующих подсистем и влияние внешнего магнитного поля на изменение скорости и коэффициента поглощения в магнитной жидкости. Для проведения численных расчетов в (13) необходимо выбрать явный вид потенциальных энергий взаимодействия и радиальные функции распределения . Следуя работе [26] и переходя в сферическую систему координат, потенциальную энергию взаимодействия для молекулярной подсистемы выбираем в виде потенциала Штокмайера: Для магнитной подсистемы потенциальную энергию выбираем в виде суммы потенциалов Леннард-Джонса, диполь-дипольного взаимодействия магнитных частиц и потенциальной энергии их взаимодействия с внешним магнитным полем: Аналогично, радиальные функции распределения выбираем в виде [30] Здесь - контактная функция Карнахана - Старлинга для плотноупакованной молекулярной подсистемы, . Учитывая выражения для потенциальных энергий и радиальных функций распределения в (13), приведем их к следующему виду: (14) где ; ; , - глубины потенциальных ям соответствующих подсистем, - характерный размер системы. Численные расчеты и их обсуждение Для более подробного анализа частотной зависимости скорости распространения и коэффициента поглощения сдвиговых волн в магнитных жидкостях на основе (14) проведены численные расчеты. Результаты численных расчетов для магнитной жидкости на основе керосина с частицами Fe3O4 при , , , , , , , и приведены на рис. 1 и 2. Рис. 1. Зависимости скорости сдвиговых волн от частоты в магнитной жидкости на основе керосина Рис. 2. Зависимости коэффициента поглощения сдвиговых волн от частоты в магнитной жидкости на основе керосина При низких частотах, когда частота распространения акустических волн намного меньше характерной частоты релаксации, среда является вязкой и скорость сдвиговых волн незначительна. При высоких частотах, когда период распространения волн намного меньше характерного времени релаксации, в жидкости формируется упругий режим, при котором распространение волн происходит чисто упруго, без потери энергии. В этом случае поглощение волн мало, и поскольку, согласно (10), сдвиговой модуль упругости становится не зависимым от частоты, скорость сдвиговых волн стремится к своему предельному бесконечночастотному c значению. При частотах 1012 Гц и выше длина волны становится соизмеримой с межатомными расстояниями и далее спектр упругих волн обрывается. Видно, что скорость сдвиговых волн достигает своего предельного значения при этих же частотах, что подтверждается в экспериментальных работах [18, 20]. В промежуточном вязкоупругом режиме частота акустической волны становится соизмеримой с характерной частотой релаксации, следовательно, волна становится сильно связанной с релаксационными процессами, происходящими в жидкостях. С увеличением частоты жидкость переходит от вязкого режима к упругому и вследствие снижения потери энергии наблюдается увеличение скорости звука, наибольшее изменение которой происходит вблизи частоты релаксации, лежащей для большинства жидкостей в области гиперзвуковых частот. Дисперсии скорости сопутствует поглощение звука, связанное с вязкими и тепловыми потерями энергии. Согласно рис. 1 и 2, частотная зависимость скорости и коэффициента поглощения сдвиговых волн наблюдается в широком интервале изменения частоты. Согласно релаксационной теории, дисперсия скорости в жидкостях состоит из двух декад. Однако в наших расчетах дисперсия скорости и коэффициента поглощения, являясь широкой, составляет более четырех декад, что является следствием медленного затухания функции Грина по закону , наблюдавшегося в недавних исследованиях, проведенных на основе метода молекулярной динамики [31-33]. В [34] методом пикосекундной акустики генерированы пикосекундные поперечные волны в жидкостях и при частоте 25 ГГц в воде для скорости сдвиговой волны получено значение 660 м/с. Согласно нашим расчетам, в магнитной жидкости на основе керосина в отсутствие внешнего магнитного поля в диапазоне гигагерцовых частот скорость сдвиговых волн составляет 200-300 м/с, что является удовлетворительным. Полученные результаты частотной зависимости скорости и коэффициента поглощения сдвиговых волн находятся в качественном согласии с экспериментальными данными [20, 21], полученными для сильновязких жидкостей. На рис. 3 и 4 отображены результаты численного расчета зависимости скорости и коэффициента поглощения сдвиговых волн от значения внешнего магнитного поля при объемной концентрации φ = 0.08 и двух значениях фиксированной частоты ν = 5∙106 и 109 Гц. Как видно из рисунков, скорость и коэффициент поглощения с увеличением напряженности внешнего магнитного поля нелинейно возрастают. Рис. 3. Зависимости скорости сдвиговых волн от величины внешнего магнитного поля в магнитной жидкости на основе керосина при , Рис. 4. Зависимости коэффициента поглощения сдвиговых волн от величины внешнего магнитного поля в магнитной жидкости на основе керосина при , На рис. 5 представлены результаты численного расчета концентрационной зависимости коэффициента поглощения сдвиговых волн в магнитной жидкости на основе керосина в отсутствие магнитного поля и при значении поля . Рис. 5. Зависимости коэффициента поглощения сдвиговых волн от объемной концентрации магнитных частиц в магнитной жидкости на основе керосина, , Видно, что вначале коэффициент поглощения, незначительно уменьшаясь, проходит через минимум и в дальнейшем с ростом концентрации увеличивается. Согласно выражению (12), концентрационная зависимость коэффициента поглощения связана с изменением плотности магнитной жидкости и ее вязкости с концентрацией. При малых концентрациях концентрационная зависимость коэффициента сдвиговой вязкости незначительна и определяющим является зависимость плотности от концентрации. С ростом концентрации коэффициент сдвиговой вязкости, нелинейно увеличиваясь, становится определяющим, поэтому при высоких концентрациях наблюдается увеличение коэффициента поглощения. К сожалению, в литературе отсутствуют результаты экспериментального исследования скорости и коэффициента поглощения сдвиговых волн в зависимости от параметров системы. Поэтому сравнение полученных результатов с экспериментальными данными становится невозможным. Заключение Из вышеизложенного следует, что основываясь на уравнении движения магнитной жидкости и уравнении намагниченности с использованием аналитических выражений для динамических коэффициента сдвиговой вязкости и модуля упругости, полученных на основе неравновесной статистической теории, всесторонне можно исследовать явление распространения и поглощения сдвиговых волн в магнитных жидкостях. Показано, что полученные выражения для скорости и коэффициента поглощения сдвиговых волн в магнитных жидкостях позволяют провести численные расчеты в широком интервале изменения частоты, напряженности внешнего магнитного поля, концентрации, плотности и температуры. Зависимости скорости и коэффициента поглощения сдвиговых волн от частоты и величины внешнего магнитного поля показывают их качественное согласие с поведением скорости и коэффициента поглощения звуковых волн и представляют интерес при экспериментальных исследованиях сдвиговых мод.

Скачать электронную версию публикации