Aboutmean numbers of identical (micro) objects from N_S > ( = ) 3 possible (spatial) states and with pr.pdf Введение Побудительным мотивом к данной работе послужили появившиеся в последние десятилетия экспериментальные данные [1-4] по получению пространственно-одномерных ( ) и двумерных ( ) атомов с соответствующей электронной структурой из первоначально трехмерных ( ). С другой стороны, в принципе не исключено существование атомов в гипотетических пространствах с большим, чем , числом измерений. Такая задача ставилась и теоретически решалась в литературе (см., например, [5] и ссылки в ней). Концепция пространств с числом измерений оказывается востребованной и в современных физических теориях (струны и суперструны [6-8]), а также при построении моделей ранней Вселенной [8]. В связи с этим весьма естественной представляется формулировка математической модели таких систем, состоящих из одинаковых объектов (например, атомов), в которых их переход из одного состояния (например, пространственного, применительно к упомянутой выше ситуации) в другое при неизменном числе этих объектов обусловлен существующими в системе по определению вероятностями таких переходов. Применение даже простейших методов теории вероятностей [9] может привести к нетривиальным результатам при исследовании этой проблемы. Целью данной работы и является попытка построения такой общей модели. Сначала необходимо обозначить постановку задачи: 1. Имеется система из тождественных (микро)объектов (например, атомов: в последующем, имея в виду исходную предпосылку данной работы, а также для простоты иногда используется именно этот термин «атом» вместо «объект» или «микрообъект»). 2. Каждый из них может находиться в одном из состояний, которым можно присвоить «номера (№)» . В частности, в упомянутом выше «случае собственно атомов» с различными пространственными конфигурациями их электронных структур эти «№№» можно выбрать совпадающими «с размерностями пространств» . 3. По определению существуют вероятности перехода объектов из состояния «с № » в состояние «с № ». 4. Как следствие, возможны «двойные тождественные переходы» без изменения «начального» и «с промежуточным» состоянием (и с последующим переходом ). Очевидно, они происходят с вероятностью , , (1) причем возможно и значение . При этом требуется: 5. Вычислить сами эти вероятности в функции от , и(или) найти уравнения, их связывающие. 6. Найти средние числа объектов в состояниях «с №№ » в функции от . 1. Общие соотношения В соответствии с пп. 1, 3, 6 Введения в простейшем случае и с использованием вероятностных представлений число объектов в состоянии «с № » следующим образом выражается через их числа в состояниях «с №№ »: , (2) . (2а) Однако в этом простейшем варианте не учитывается возможность перехода через «промежуточные» состояния (1), которым (в том числе по принципу сложения и умножения вероятностей событий [9]) соответствует вероятность : . (3) Здесь сумма и произведение идут по всем возможным различным «промежуточным» состояниям с их количеством в отдельных слагаемых и в отдельных сомножителях соответственно. Таким образом, первый член в фигурных скобках (3) учитывает вклад «чистых» промежуточных состояний, а второй - соответствует их «смешанному» вкладу. При учете всех возможных комбинаций «промежуточных» состояний в (3) следует для каждого данного значения выполнить суммирование по и от до c общим вкладом «промежуточных» состояний . Тогда получим, суммируя «при каждом » получающуюся геометрическую прогрессию: , (4) . (4a) С учетом вклада всех возможных (различных) «промежуточных» состояний выражение (2) при упомянутом ограничении (1) записывается следующим образом: , (5) . (5а) Здесь учтены как «простые» переходы без «промежуточных» состояний (1-е слагаемое в (5а)), так и с вкладом этих различных «промежуточных» состояний (2-е и 3-е слагаемые). 2. Классификация состояний Для решения поставленной во Введении задачи нам будет удобно выделить некоторое «базовое» состояние с «№ », если оно фигурирует в левой части уравнения (5), т.е. при , и то же самое состояние с «№ », если оно является одним из слагаемых в правой части уравнения, т.е. при ( в этом случае если ). Остальные состояния мы будем классифицировать по отношению к этому «базовому». Именно по возможным наборам переходов и с учетом введенного «базового» состояния разделим их на три группы. Эти группы в нашем подходе таковы: I) ; ; II) ; , ; III) ; . При этом следующее из (2), (5) ограничение является общим для всех трех групп. Отметим также, что символ « » можно отнести к «№№ состояний» в группах I, II, а символ « » - в группе III. Средние числа объектов в каждом состоянии, относящемся к данной группе «с № », одинаковы и равны (по техническим причинам и для удобства эти «№№ групп» в индексе , а также в индексе среднего числа атомов в группе обозначаем в последующем не римскими, а арабскими цифрами). Это, а также используемые далее для краткости обозначения , ; , , ; , , (6) соответствующие вероятностям переходов в группах, вытекают из того обстоятельства, что по отношению к «базовому» состоянию (или ) все остальные состояния каждой группы при такой классификации абсолютно равноправны. Далее, если состояние в (5) относится к группе «с № », то в правой части этого уравнения при суммировании по следует оставить вклады только двух остальных групп, так как переходы между состояниями одной группы отсутствуют в силу отмеченной выше идентичности этих состояний в нашем подходе, так что в итоге получим систему трех уравнений, связывающих средние числа ( ) атомов в группах: , (7а) , (7б) . (7в) При переходе от (5) к (7а) - (7в) дополнительно просуммировано по всем возможным значениям групп I, II, III , так что «слева» в (7а) - (7в) действительно получается среднее число объектов в этой группе «с № » ( соответственно), а «справа» - вклады средних чисел объектов в двух остальных группах. Считаем далее, в соответствии с п. 1 Введения и по аналогии с (2а), что общее число атомов постоянно: . (8) Исключая тогда из (7а), (7б), (8) и , находим . (9а) Точно так же из (7а), (7в), (8) имеем . (9б) Значения получаются из (9а), (9б) перестановкой индексов и ничего нового в рамках нашего подхода к проблеме далее не дают. Приравнивая значения из (9а), (9б), получаем первоначальную версию одного из основных для дальнейшего уравнений (см. далее (12), (15)): . (10) Аналогично находим для : , (11а) . (11б) После элементарных алгебраических преобразований уравнение (10) приводится к виду (12) . Заметим также, что «приравнивание» выражений (11а), (11б) в рамках метода (см. по этому поводу далее (14), (14а), (14б)) приводит к тривиальному тождеству. 3. Расчет вероятностей перехода объектов между различными состояниями Предварительно заметим, что вид системы уравнений (7а) - (7в) совпадает со случаем наличия в системе атомов только трех состояний, т.е. при (см. также [10] с непринципиальной в данном случае перестановкой индексов ); при этом в (5) принимают значения , . Тогда, действительно, естественно присвоить группе III (и «базовому» состоянию ( )) «№ 3», поскольку для упомянутой во Введении системы атомов с тремя их пространственными конфигурациями это соответствовало бы (трехмерному) атому в . Это согласуется и с принятыми в разд. 2 обозначениями, причем в этом случае имеем , а в каждой группе есть только одно состояние. Далее, при наличии введенного в разд. 2 выделенного «базового» состояния система (7а) - (7в) на самом деле будет симметричной только относительно перестановки индексов , а вклад «промежуточных» состояний в одинаковые в силу этой симметрии величины ( ) от наборов состояний группы II (I) совпадает с вкладом «промежуточных» состояний группы I (II). Но тогда по упомянутой в конце разд. 1 причине («№№ » вкладов состояний от обоих групп должны быть различны) последние учитывать не следует, так как ограничения на значения «№№ состояний » в этих группах II, I одинаковы ( ), как и сами эти наборы в группах II и I с одинаковыми значениями «№№ состояний » из общего количества этих «№№». Отсюда следует, что в сумме в фигурных скобках (4) и во втором члене (5а) в силу эквивалентности вкладов состояний «от одной группы» должно быть одинаковых слагаемых вида (4а), где - число состояний в группе «№ ». В частности, при должно быть всего одно такое слагаемое, а вклады «с произведением» в эти коэффициенты , типа 3-го слагаемого в (5а) должны отсутствовать вовсе (см. ниже (14а)). В общем случае число этих одинаковых слагаемых должно равняться , и тогда при и в случае с учетом сделанной в данной работе перестановки индексов в коэффициентах и изменения обозначений для значений , из нижеследующих формул (14), (14а), (14б) получается, как и следует, соответствующий промежуточный результат нашей работы [10], в которой рассматривался именно этот вариант , применительно к системе атомов с тремя возможными пространственными конфигурациями , а при значениях , из результатов данной работы в качестве частного случая получаются результаты другой нашей работы [11]. Заметим еще, что в дальнейшем (разд. 4) нам понадобится также вытекающая из упомянутого выше значения связь между числами атомов в отдельных состояниях группы «№ »: , и общим числом атомов в группе : . (13) Далее, в остальных (кроме , ) коэффициентах вклад дают наборы «промежуточных» состояний «от обеих других групп» с функцией (14б). В итоге c учетом упомянутой выше симметрии относительно перестановки индексов «1, 2» и введенных обозначений (6) получаем для этих коэффициентов следующие значения: , , , (14) , (14а) . (14б) При , и с учетом упомянутых выше изменений в обозначениях все эти промежуточные результаты (14), (14а), (14б), как выше уже отмечено, совпадают с формулами работы [10]. Отметим также, что, как показывает конкретный расчет по изложенной ниже методике, вклад 3-го слагаемого в (14б) («с произведением вероятностей») много меньше вклада 2-го; однако для общности и в целях математической корректности изложения материала мы его все же учитываем. Подстановка значений (14) в (12) после некоторых преобразований приводит к уравнению , (15) а в (9б) и (11б) - к следующим выражениям для относительных чисел атомов в группах I, II: и III: : , (16а) . (16б) Отметим сразу, что значение в рамках метода неприемлемо, так как при этом , т.е. и , а группа III, следовательно, фактически отсутствует - но это противоречит обозначенному в разд. 2, 3 нашему алгоритму решения сформулированной в разд. 1 проблемы. Иначе говоря, значение должно быть ограничено «снизу» некоторым (см. по этому поводу разд. «Обсуждение»). В (16а) мы учли также и указанный в разд. 2, 3 способ получения , приводящий в данном случае к равенству средних чисел объектов в группах I, II: , из которого, согласно (8), следует также, что . (16в) Далее, подставляя (16а), (16б) в соотношение (16в), получаем после элементарных преобразований еще одно алгебраическое уравнение, которое наряду с (15) является основным для дальнейшего: . (17) Очевидно, уравнение (15) удовлетворяется в двух вариантах: 1) Равен нулю 1-й множитель, и тогда получаем систему алгебраических уравнений , (18а) , (18б) которая с учетом (14а), (14б) в принципе в неявном виде определяет зависимости , , а также, следовательно, зависимость величин (16а), (16б) от этих же параметров . Аналитического решения системы (18а), (18б) мы не нашли, а сама эта зависимость определяется лишь численным расчетом. Наглядному же графическому представлению этих расчетов соответствовала бы трехмерная поверхность «в декартовых координатах», по осям которой откладывались бы величины параметров и функций или , причем эта поверхность должна быть изображена в плоскости рисунка. Здесь мы, однако, столкнулись с техническими трудностями. Все же предварительные численные расчеты позволили нам прийти к некоторым достаточно определенным выводам. Именно при любых и допустимых значениях вероятностного параметра решения , системы (18а), (18б) в области являются однозначными, а при фиксированном оба вероятностных параметра являются убывающими функциями : . 2) Равен нулю 2-й множитель в (15) с получающейся системой уравнений , (19а) . (19б) Эта система, в отличие от (18а), (18б), допускает аналитическое решение. Именно при значении 2а) оба уравнения (19а), (19б) эквивалентны одному: , которое с учетом (14б) сводится к кубичному , (20) причем в случае «2а» находимые из (14а), (14б) значения , соответствующие решению уравнения (20) в области , при любых таковы: , . (20а) Заметим, что при получается то же уравнение (20), однако этот случай , как указано выше в комментарии к формулам (16а), (16б), в рамках метода невозможен. Аналогично при значении 2б) опять получим одно уравнение с кубичным же уравнением относительно комбинации , (21) а в случае «2б» значения в области при любых таковы: . (21а) Вообще говоря, точные решения этих уравнений (20), (21) при конкретных значениях могут быть найдены, например, по формулам Кардано [9]. Соответствующие расчеты показывают, что для любых (по крайней мере, в диапазоне ) существуют точные корни этих уравнений, попадающие в допустимую область изменения вероятностных переменных: , , однако лишь в случаях они могут быть записаны в достаточно компактной форме. Именно при , когда уравнения (20), (21) сводятся к квадратным, эти корни равны: , . (22) Далее, при и существует простое точное решение уравнения (20): , (23) проверяемое непосредственной подстановкой. Аналогично при и также существует точное решение уравнения (21): . (24) При остальных значениях из упомянутого диапазона точные решения уравнений (20), (21), хотя и существуют в области , , но записываются в весьма громоздкой форме, и нет смысла их приводить. Поэтому в этой ситуации, наряду с точными значениями (22), (23), (24), в табл. 1 представлены их приближенные значения. Таблица 1 Аналитические ( ) и численные решения кубичных уравнений (20), (21) NS 3 4 5 6 7 8 9 10 0.544 1/2 = 0.500 0.470 0.446 0.427 0.412 0.398 0.212 0.181 0.161 0.146 0.134 1/8 = 0.125 0.117 Заметим также, что именно эти экзотические значения размерности пространства 5, 9 (а в последнем случае - и с размерностью пространства-времени ), при которых существуют точные решения (23), (24), достаточно часто фигурируют в упомянутых во Введении моделях теории поля. Возможно, существует связь между этим обстоятельством и наличием приведенных точных простых решений (23), (24) кубичных уравнений (20), (21). Это для нас осталось неясным. 4. Расчет средних чисел объектов в различных состояниях Среднее относительное число атомов в состояниях групп, в соответствии с (13), (16а), (16б), есть , (25а) . (25б) Наглядное представление зависимости или по результатам численного расчета зависимостей , из системы (18а), (18б) (вариант «1», разд. 3) сталкивается с теми же отмеченными в разд. 3 затруднениями, что и «в случаях» такого же представления зависимостей и . Отметим лишь, что при фиксированном величина является убывающей функцией , а - возрастающей: , (это, впрочем, достаточно очевидно из определения параметра (6) и принципа разбиения по группам). Найдем далее необходимые для последующего анализа относительные числа атомов в состояниях групп в случае , когда в соответствии с обозначениями (6) и должны иметь минимально возможные значения, а и - максимально возможные. Как следует из (25а), (25б), эти значения и равны , (26а) , (26б) причем значения в этом случае определяются формулами (14а), (14б) при . В варианте «1» оказалось возможным проделать численные расчеты величин , в функции от , результат которых представлен в табл. 2. Cоответствующие им значения , при приведены в табл. 3. Отметим при этом, что, согласно последней формуле (14), в данном случае (т.е. при ) ; поскольку же есть тогда вероятность с вкладом «промежуточных» состояний, то должно быть . Таким образом, значение , при в табл. 2 учитывать не следует, как не удовлетворяющее этому условию согласно данным табл. 3, и значение в варианте «1» в рамках применимости нашего метода и при оказывается тогда максимально возможным, а при метод неприменим. Таблица 2 Значения , (26а), (26б) при численном решении системы (18а), (18б) для NS 3 4 5 6 7 8 9 10 0.215 0.100 0.064 0.046 0.036 0.030 0.024 0.021 0.571 0.300 0.206 0.158 0.128 0.109 0.094 0.084 Таблица 3 Параметры , и функции f, F (14а), (14б) при численном решении системы (18а), (18б) и NS 3 4 5 6 7 8 9 10 0.206 0.169 0.147 0.132 0.121 0.112 0.105 0.100 0.215 0.176 0.153 0.138 0.126 0.117 0.110 0.104 1.27 1.43 1.54 1.64 1.72 1.80 1.86 1.93 1.33 1.49 1.61 1.71 1.80 1.87 1.94 2.01 Что касается варианта «2», то в обоих случаях «2а», «2б», рассмотренных в разд. 2 с кубичными уравнениями (20), (21), с учетом эквивалентных им приведенных также и выше уравнений , находим из (25а), (25б) , . (27) В выражениях (27) для любых фигурирующие в (20а), (21а) значения , определяются решениями кубичных уравнений (20), (21), т.е. при данном эти значения и зависят от как параметра. В частности, в отмеченных выше «особенных случаях» с простыми аналитическими решениями (23), (24) кубичных уравнений (20), (21) и со значением , согласно (23), (24), (20а), (21а), имеем из (27) , . (28) Заметим также, что соотношения (27) в варианте «2» являются общими и справедливы для любых в рамках применимости метода, причем, как указано выше, в частном случае (28) и при должно быть с «граничным» выполнением этого условия для : (это соответствует ситуации, когда вероятность перехода с учетом вклада только «промежуточных» состояний максимальна и равна единице; из-за численного характера расчетов и «дискретности» значений это «граничное значение» в варианте «1», строго говоря, не реализуется). Далее, в случаях , когда, согласно результатам разд. 3, допустимы точные решения (22), (23), (24), соответствующие же значения , являются следующими: при и : , , (29а) : , , (29б) с параметром в качестве «свободного». В вариантах же «2а»: , ; , , и «2б»: , ; , , находим соответственно , , (30а) , , (30б) также с параметром в качестве «свободного». Во всех этих случаях (29а), (29б), (30а), (30б) с учетом условия симметрии и определений (16а), (16б), (25а), (25б) выполняется следующее из (16а) - (16в) и (25а), (25б) соотношение (31) (оно же, однако, лишь приближенно из-за численного характера расчетов должно удовлетворяться и в варианте «1»). В табл. 4 и 5 мы приводим также значения и (26а), (26б) в варианте «2» в случае «2а»: (табл. 4) и в случае «2б»: (табл. 5) в зависимости от . При этом в случае «2а» упомянутое выше условие применимости метода сводится к следующему ограничению на значение и параметра : , (32а) и выполняется для значений . В случае же «2б» аналогично имеем , . (32б) Таблица 4 Значения , (26а), (26б) как результат аналитического ( ) и численного решения системы (19а), (19б) с вытекающим из нее кубичным уравнением (20) NS 3 4 5 6 7 8 9 10 1/(3+√5) 0.191 0.088 1/18 0.056 0.040 0.031 0.025 0.021 0.018 0.324 2/9 0.222 0.170 0.138 0.117 0.101 0.089 Таблица 5 Значения , (26а), (26б) как результат аналитического ( ) и численного решения системы (19а), (19б) с вытекающим из нее кубичным уравнением (21) NS 3 4 5 6 7 8 9 10 (√3-1)/2√3 0.211 0.099 0.063 0.045 0.035 0.028 1/42 0.024 0.020 1/√3 0.577 0.303 0.208 0.160 0.130 0.110 2/21 0.095 0.084 Обсуждение и выводы «Базовое» состояние было введено нами для удобства рассуждений, т.е. на самом деле оно может быть любым из их общего количества . Фактически это означает, что полученные в разд. 4 значения , относятся к любому из этих состояний. Их реализация в качестве одного из этих двух в конкретных установленных в разд. 4 вариантах может зависеть от типа системы объектов (атомов). По этой же причине относительные числа объектов (атомов) в каждом из состояний системы должны находиться в диапазоне от до . Как видно из табл. 2, 4, 5, эти значения или при данном отличаются весьма незначительно (несколько процентов) при существенном различии в процедуре получения и решения соответствующих уравнений (18а), (18б), (19а), (19б). По-видимому, это можно расценивать как свидетельство адекватности и самосогласованности нашего метода. Допустимая же нижняя граница в (29а), (29б), (30а), (30б), а также при численном расчете в (25а), (25б) может быть определена, в частности, из условия «попадания» этих величин , в данный диапазон (значение же , как на это и указано в разд. 3, невозможно). В связи с этим можно предложить следующие методы определения «с попаданием» , в указанный диапазон . I. Соотношение (31) должно удовлетворяться как при , когда оно имеет вид , (33а) так и при любых , когда оно записывается следующим образом: . (33б) Из (33а), (33б) получаем . (34) Как это установлено ранее, функция с уменьшением также уменьшается, достигая минимального значения при некотором , а функция - увеличивается с максимальным значением при том же значении , причем при этом обе части уравнения (34) обращаются в нуль. Представляется вполне естественным выбрать именно это значение , определяемое, например, из уравнения , в каждом из рассмотренных выше методов решения основной системы уравнений (15), (17) (вариант «1»; вариант «2», случаи «2а, 2б») за упомянутую в разд. 3 величину . Тогда диапазоны значений , при значениях в диапазоне в каждом из этих случаев будут следующими: , (35а) . (35б) Как можно видеть, оба этих диапазона, т.е. и значения , , попадают «в абсолютный диапазон» , как и должно быть в соответствии с нашим подходом к проблеме. Можно отметить также, что в рамках метода и в рассмотренных случаях (табл. 2, 4, 5) эти диапазоны (35а), (35б) «не пересекаются», так как в каждой из этих таблиц в рамках применимости метода (это значения для табл. 2, 5 и для табл. 4) имеет место соотношение (знак равенства здесь при в табл. 4 и при в табл. 5; формально знак равенства имеет место и в табл. 2 при , однако это значение выходит за рамки применимости метода из-за нарушения условия , как на это указывалось выше). II. Из проведенного в предыдущих разделах анализа следует, что функция при уменьшении уменьшается от значения , а функция - увеличивается от значения . Это означает, что при некотором их графики пересекаются со значениями . Как нетрудно видеть, при выборе значения , попадают тогда в тот же «абсолютный диапазон» , который установлен в п. I. Можно тогда утверждать, что значения , при данном в каждом из рассмотренных в работе вариантов и случаев решения основной системы уравнений (15), (17) попадают в «абсолютный» (и, строго говоря, «свой» в каждом из случаев, хотя границы диапазонов и являются близкими) диапазон . Можно также видеть, что при значении , когда данные всех таблиц в рамках метода должны быть адекватными, наименьшее значение и наибольшее в «абсолютном» диапазоне достигается в случае «2а» ( ) варианта 2 (табл. 4). Таким образом, при этих значения , , во всяком случае, должны попадать в «абсолютные» диапазоны табл. 4. Это утверждение можно проверить и конкретным расчетом по формулам (25а), (25б), (27). Резюмируя, мы констатируем, что относительное число объектов в состояниях групп (а значит, и всей системы в целом) может быть равным либо , либо , причем они находятся в однозначном соответствии, являясь функциями одного параметра в обозначенных в данной работе диапазонах изменения этих величин.

Скачать электронную версию публикации