Question of calculation of energy of excited helium states with zero orbital electron moments.pdf Введение Приближенный теоретический расчет энергии гелия может быть выполнен численно или, в некоторых случаях, аналитически с использованием разработанного Хиллераасом [1, 2] вариационного метода, который для основного состояния дает практически совпадающие с экспериментом результаты (см., например, [3, 4]). В этом расчете, включая и рассматриваемое, в частности, в данной работе метастабильное по отношению к однофотонному переходу первое возбужденное состояние , мы используем полученные в работе [5] в простейшем варианте вариационного метода с единственным параметром варьирования (атомным номером общие выражения для энергии и постоянной экранирования двухэлектронного атома. Данный метод расчета позволяет, в частности, выяснить зависимость энергии и постоянной экранирования атома гелия от значения квантового числа в состояниях , . Литература по вычислению энергии атома гелия является достаточно обширной (см., например, [6-8] и цитированные там работы); при этом в [8] был применен более совершенный, как считается, вариант вариационного метода с большим, чем обычно [3, 4], числом варьируемых величин, что соответственно предполагает большую точность вычислений, однако для состояний с рассмотрены только значения , в то время как в данной работе и вычислены для значений , причем полученные результаты для при являются оригинальными, а постоянная экранирования ранее вообще не вычислялась. В данной работе нас интересует частный случай обычного трехмерного двухэлектронного атома. При этом величина энергии для значений «энергетических» квантовых чисел определяется выражением, следующим из общих формул работы [5] одного из авторов, включающих и варианты «размерностей пространства» , при выводе которых использовались результаты другой его работы [9]: , (1) . (1а) Фактор пропорционален суммарной средней кинетической энергии электронов и равен = (см. по этому поводу [9]) независимо от конкретных значений квантовых чисел электронов и со значением полной энергии каждого электрона в поле ядра : , . (2) Таким образом, . (2а) Параметр в общем случае учитывает влияние взаимодействия электронов на энергию атома, а при может быть интерпретирован как постоянная экранирования поля ядра «внутренним электроном» со значением квантового числа от «внешнего электрона», имеющего значение квантового числа . Фигурирующий же в (1а) параметр Если «внутренний» электрон находится в состоянии, характеризуемом набором квантовых чисел , а «внешний» - в состоянии с набором , т.е. с нулевыми орбитальными моментами, то «пятикратные» интегралы в общих формулах работы [5] сводятся к «двукратным» , : , (3a) , (3б) аналогично тому, как было продемонстрировано в этой же работе [5] для основного состояния с квантовыми числами электронов в двухэлектронном атоме и, для краткости, с обозначением вырожденного конечного гипергеометрического ряда [3, 10]: , , , (3в) , (3г) причем этот ряд при целом неположительном , как это имеет место в (3в): , действительно обрывается на значении . Далее используем следующее, вытекающее из (3г) представление (3в) и удобное для проводимых в работе численных расчетов: (3д) Рассматриваемые состояния атома с электронной конфигурацией являются метастабильными по отношению к однофотонному переходу в основное состояние , поскольку «внешний» электрон, как отмечено выше, эффективно находится в поле ядра и «внутреннего» электрона. В этом смысле ситуация аналогична одноэлектронному атому, а тогда однофотонный переход со значением в рассматриваемом случае подавлен соответствующим правилом отбора «по », согласно которому должно быть [4]. В этой ситуации разрешен лишь гораздо менее вероятный двухфотонный переход (см., например, [11]). Рассматриваемое же далее в том числе и состояние является «абсолютно метастабильным», так как разрешенный однофотонный переход в этом случае отсутствует вообще. Вычисление энергии атома в конфигурациях 1s ns (n = 2, 3, …, 9) Для возбужденного состояния c учетом (3в), (3д) удобно представить выражения (3а), (3б) в явном виде: , (4а) . (4б) Эти интегралы, в отличие от значений , достаточно легко вычисляются и аналитически. Их же численный расчет, совпадающий с приближением аналитического, выполнен в рамках расчета по общим формулам (3а), (3б) с использованием (3в), (3д). Результаты численного расчета величин (3а), (3б), (1), (1а) для значений могут быть сведены в таблицу ( , , значения , даны в эВ): n 2 3 4 5 6 7 8 9 0.210178 0.099409 0.057611 0.037507 0.026338 0.019502 0.015019 0.011907 0.02191 0.00576 0.00233 0.00117 0.00067 0.00042 0.00028 0.0002 0.18567 0.09466 0.05642 0.03719 0.02628 0.01952 0.01506 0.01195 0.15061 0.08428 0.05203 0.03494 0.02497 0.0187 0.01451 0.01157 55.9603 54.8584 54.585 54.4917 54.4516 54.4310 54.4209 54.4152 58.144 55.458 54.832 54616 54.523 54.477 54.451 54.436 В достаточном для наших целей приближении для значения по данным этого численного расчета постоянная экранирования равна («верхнее» число - терм , «нижнее» - терм ) , (5) а модуль энергии . (6) Как видно из таблицы, значения с ростом в интервале (3-9) монотонно уменьшаются от десятых до сотых долей, а в формальном пределе - до нуля, чему соответствует исчезновение в этом случае взаимодействия электронов и, следовательно, как это отмечено выше, эффекта экранирования. Значения же в интервале значений (2-9) также монотонно уменьшаются, так как уменьшается отрицательный вклад в общую энергию атома энергии «внешнего» электрона в поле ядра, как это видно из (1), (2а). В формальном же пределе , и в рассматриваемом случае , находим, что - эВ, т.е. стремится к энергии водородоподобного атома с , как это и должно быть, и в соответствии с приведенным в таблице численным расчетом. Эти табличные данные для , в целях большей наглядности представлены графически на рис. 1 и 2, причем для иллюстрации вышеуказанной асимптотики график на рис. 1 построен и для значений , отсутствующих в таблице. Рис. 1. Зависимость постоянной экранирования от главного квантового числа n «внешнего электрона» в возбужденных состояниях атома гелия Рис. 2. Зависимость модуля энергии от главного квантового числа «внешнего электрона» в низших возбужденных состояниях атома гелия Стоит отметить также, что, как это видно из таблицы и рис. 1, для всех в диапазоне (2-9) и соответственно энергетические уровни термов при одинаковом расположены ниже уровней термов в этом диапазоне (2-9). Это согласуется с результатами работы [8] для случаев . Заметим, что уменьшение на участке (2-3) графика вполне аналогично такому же эффекту на участке значений (1-2) для «одномерного» атома гелия, как это следует из результатов работы [12] одного из авторов, причем в этом случае выражение энергии (2) водородоподобного атома является таким же, как и в трехмерном варианте [13]. Находимые по данным справочника [14] с учетом приведенной в [3, 4] энергии основного состояния эВ значения энергии для таковы, что относительные отклонения справочных и получаемых в нашем простейшем варианте вариационного метода теоретических значений для в процентном выражении равны . В состоянии же с отклонение приведенных в таблице значений энергии от ранее вычисленных [8] и справочных [14] равно , т.е. примерно в 2 раза меньше. Для основного состояния атома гелия, когда вклад дает только интеграл (3а), отклонение «вариационного» значения от эксперимента составляет , а этот результат, как считается [3, 4], подтверждает адекватность вариационного метода при аналитическом расчете энергии основного состояния. Таким образом, этот же вывод можно считать справедливым и по отношению к нашему методу расчета энергии. Отметим также, что если перевести приведенные в [8] значения энергии в электрон-вольты, то в состояниях и с применяемой в данной работе точностью они равны и эВ соответственно с отклонением от находимых по данным [14]. Это означает, что есть достаточно веские основания считать результаты работы [8], полученные «усовершенствованным» вариационным методом, больше соответствующими реальной ситуации, чем наши, полученные в его простейшем варианте. Заметим, что для рассматриваемых возбужденных в указанном ранее смысле метастабильных состояний энергия атома по теории возмущений может быть найдена как сумма энергий (2) атомных электронов в поле ядра и энергии взаимодействия электронов , аналогично тому, как это сделано в [3, 4] для основного состояния (см. также формулу (2) работы [5]). При , результат вычисления таков: эВ. (7) Как видно, в рассматриваемом случае нет существенного расхождения этих значений с предположительно более точным результатом (6), полученным вариационным методом, как это имеет место и при расчете энергии основного состояния гелия [3, 4]. Таким образом, в обоих случаях вариационный метод и теория возмущений с учетом их приближенного характера дают почти одинаковый результат, несмотря на формальную неприменимость метода возмущений; это в известном смысле может носить случайный характер. Заключение К числу основных результатов работы можно отнести как выяснение применимости простейшего вариационного и теории возмущений методов к расчету энергии первого возбужденного (метастабильного) состояния атома гелия, так и численный расчет энергии вариационным методом в состояниях , с выяснением монотонного уменьшения постоянной экранирования с увеличением в этом интервале и вплоть до значений (рис. 1). Оказалось также, что модуль энергии атома гелия в возбужденных состояниях для -термов и значений квантового числа «внешнего электрона» в интервале (2-9) также монотонно уменьшается (рис. 2), в то время как в [8, 14] результаты приведены лишь для значений энергии при , а расчет постоянной экранирования вообще отсутствует. Практическое же совпадение результатов вычислений обоими методами в случае можно рассматривать как дополнительный аргумент в пользу адекватности нашего подхода к проблеме по сравнению с работой [8], результаты которой к тому же, как и наши, отличаются от справочных. Теоретические значения энергии в обоих работах с учетом принципиально приближенного характера проделанных в них вычислений можно считать удовлетворительными в плане их соответствия справочным значениям [14].

Скачать электронную версию публикации