Spin and extended supertime.pdf Общеизвестно, что спин (собственный момент импульса) фундаментальной частицы не может быть объяснен движением её в пространстве. Однако представляется возможным, что наличие спина или его отсутствие является атрибутом движения частицы в супервремени, которое возникает в результате расширения собственного времени частицы. Общая концепция расширения 4-мерного пространства Минковского до 8-мерного суперпространства Минковского , предложенная в [1, 2], как известно, оказалась весьма плодотворной в квантово-полевых теориях. Техническая сложность суперполевых теорий вызвала к жизни «игрушечную» модель минимального расширения обычной временной оси до 2-мерного супервремени . Аналогом суперсимметричных полевых теорий над при этом стала суперсимметричная механика электрона над [3-5]. Классический предел такой механики, несколько условно называемый псевдоклассической механикой или механикой над алгеброй Грассмана, адекватно описывает движения частиц со спином во внешних гравитационных и электромагнитных полях [6-9]. Успешность таких моделей, а также построение на их основе композитных моделей лептонов и кварков [10, 11] ставит вопрос о причинах столь эффективной трактовки спина на основе супервремени. Целью предлагаемой работы является анализ понятия супервремени и его отличий как от обычного времени, так и от суперпространства. При этом ряд наблюдаемых явлений, связанных с наличием или отсутствием у частицы спина, может быть сопоставлен метрической и топологической структуре супервремени. Наиболее естественно вести анализ на языке теории суперчисел, что требует некоторого уточнения базовых определений. В качестве исходного варианта обозначений будем использовать работу [12]. Назовем грассмановой алгеброй ассоциативную алгебру с единицей, порожденную бесконечным набором линейно независимых элементов , удовлетворяющих базовым антикоммутационным соотношениям: ; (1) Элементы , называемые суперчислами, могут быть представлены в виде суммы , . (2) Здесь комплексные коэффициенты полностью антисимметричны по всем индексам и только конечное их число отлично от нуля. Принято называть - «телом», а - «духом» числа . Любое число может быть разложено в сумму «четной» и «нечетной» частей, т.е. : , . (3) «Четные» числа коммутируют с любым числом, а «нечетные» антикоммутируют между собой и коммутируют с «четными»: , , . (4) Норма суперчисла задается выражением . (5) Для получения вещественных чисел снабжается операцией (*) комплексного сопряжения (инволюции): ; ; . Суперчисло называется вещественным, если , и мнимым, если . Множество вещественных четных чисел будем обозначать через , множество нечетных вещественных - через . Таким образом, . Перейдем теперь к построению супервремени, для чего введем векторное суперпространство , по аналогии с обычным вещественным векторным пространством , т.е. рассмотрим множество элементов , называемых супервекторами и образующих аддитивную абелеву группу. Заменим операцию умножения векторов на вещественные числа операцией умножения на вещественные суперчисла. Подробности аксиоматики конструкции приведены в [12], а для нас наиболее важным свойством будет единственность разложения любого супервектора на сумму «четного» и «нечетного» векторов : , , , . (6) Выберем в качестве базисных векторов один четный вектор и несколько нечетных . Тогда любой четный вектор может быть записан в виде , (7) где - четные суперчисла, а - нечетные. Назовем расширенным супервременем множество точек, находящихся во взаимно однозначном соответствии с векторами : . (8) (Минимальное расширение - это 2-мерное, или плоское, супервремя.) Снабдим метрикой, для чего зададим на нем дифференциальную 1-форму , имеющую следующий вид: , . (9) На определены преобразования, сохраняющие (9). Это трансляции по четному времени (А), вращения вокруг четного времени (В) и суперпреобразования (С): А: (10) В: (11) С: (12) Вводя матрицу-столбец , запишем генераторы преобразований (10) - (12) в матричном виде: , , , (13) где - матрица, все элементы которой равны нулю, кроме единственного элемента . Используя матричное тождество , где - символ Кронекера, легко убедиться, что генераторы (13) удовлетворяют следующим соотношениям: , , (14) Если вместо генераторов использовать генераторы , то получим эквивалентное представление: , , (15) Это представление алгебры расширенной суперсимметрии (SUSY) [2], что оправдывает термин «расширенное супервремя» для . Представления (14) или (15) первичны в том смысле, что все остальные представления SUSY, которые были найдены ранее: для компонент суперкоординат, на языке скобок Пуассона, для квантовых операторов и т.д. [5], - являются следствием этих представлений. Оператору Гамильтона отвечает трансляция по собственному времени частицы, «живущей» на супервремени , т.е. то, что обычно называют «течением времени». Заметим, что отражение по четному времени не входит в число допустимых преобразований 1-формы (9). Это означает, что четное время имеет направление, которое отсутствует при стандартном расширении временного направления пространства Минковского до суперпространства . В нечетных направлениях супервремени отражение не меняет (9), т.е. является допустимым. Можно показать, что оно меняет только знак суперзаряда, который исчезает при квантовании, а следовательно, является ненаблюдаемым. Течение времени в четном направлении в силу соотношений (15) должно приводить к движениям в некоторых направлениях самого супервремени, т.е. операторы должны отвечать некоторым движениям супервремени. Для того чтобы найти эти движения, обсудим подробнее отличия супервремени от суперпространства . Суперпространство можно рассматривать как тривиальное расслоение над пространством Минковского , что позволяет трактовать суперпреобразования Пуанкаре (трансляции и лоренцевские вращения) как результат поднятия одноименных преобразований на базе. В случае супервремени ситуация тоньше. Конечно, является тривиальным расслоением над с проекцией на базу . Но если трансляциям по четному времени (10) отвечают трансляции в базе: , то преобразования (11), (12) не имеют таких проекций. Действительно, для суперпреобразования добавки «бестелесны», т.е. . Таким образом, суперпреобразование (12) является чисто думховым преобразованием. Это создает определенные проблемы в его визуализации. Суперчисла ведь нельзя полностью корректно представить в виде точек на евклидовой плоскости [6]. Тем не менее можно изобразить условную картину «движения» точек супервремени при суперпреобразовании. Это дает некоторый наивный геометрический образ думхового преобразования. Так, кривые и представляют собой образ оси при суперпреобразованиях с параметрами , а вектор , , (16) задает параметрическую скорость преобразования, которую можно воспринимать как «скорость течения» нечетного времени в k-м направлении (рис. 1). Транслируя кривые и вдоль четного времени t , а ось 0t - вдоль , получим n+1-мерную сетку из линий, изображающих «течение времени» в самом расслоении . Параболическая форма линий течения нечетного времени в k-м направлении соответствует интегральной кривой изменения норм суперчисел при суперпреобразовании. Действительно, используя нормирование (5) и вводя обозначения ; ; , рассмотрим нормы суперчисел, входящих в (12). Так как , (17) то, полагая бесконечно малым, получим из (12) уравнение связи: (18) Рис. 2. Графическая интерпретация первичного представления алгебры SUSY Рис. 1. «Потоки времени» в k-м направлении Генераторы перемешивают потоки нечетного времени, и если отож¬дествить генераторы суперпреобразований с векторами параметрической скорости , то первичное представление алгебры SUSY (15) можно интерпретировать графически (рис. 2). Таким образом, «потоки времени» в расширенном супервремени имеют достаточно сложную структуру. Перейдем теперь к построению псевдоклассической модели частицы, «живущей» на супер¬времени , для чего зададим набор суперкоординат , нумеруемый внешним лоренцевским индексом . Раскладывая суперкоординаты по нечетным грассмановым переменным получим (19) Функции будем отождествлять с пространственно-временными координатами частицы в пространстве Минковского, - с координатами частицы во внутреннем (спиновом) пространстве, а - вспомогательные функции, необходимые для замыкания пред¬ставления алгебры SUSY в компонентном подходе [5, 12]. Функции с четным числом индексов удовлетворяют условию , c нечетным . На языке компонент суперкоординат генераторы SUSY имеют вид частных производных по следующим направлениям: , . (20) Так как группа Лоренца выступает в роли внешней симметрии, то её генераторы (четырехмерные вращения) коммутируют с генераторами (20): (21) Это означает, что представление (15) сохраняется и после пополнения его лоренцевскими генераторами. Будем называть набор (15), (21) расширенным представлением SUSY. В качестве действия возьмем наиболее общее выражение для комбинации производных от суперкординаты (точка означает производную по t ): . (22) При (22) переходит в действие Ди Векиа - Равндела [3, 4] для электрона, при (безмассовый случай) - в действие Рампфа [13] для фотона, массивный случай обсуждался ранее в [14]. Уравнения движения, следующие из (22) после распутывания вспомогательных переменных, тривиальны: но спиновые координаты связаны громоздкими соотношениями. Используя теорему Нётер, можно найти все первые интегралы, отвечающие расширенным преобразованиям. Так как вращения не затрагивают супервремя, то тензор полного момента импульса частицы сохраняется и разбивается, как обычно, на два слагаемых: тензор орбитального момента импульса и тензор спина : (23) Применяя стандартные процедуры канонического квантования псевдоклассической механики [5] к модели (22), получим, что спин частицы, «живущей» на , равен Таким образом, спин частицы оказывается напрямую связан с числом дополнительных нечетных измерений, которыми расширяется четное время, отождествляемое для массивных частиц с собственным временем. Обсудим вопрос о последствиях цилиндрической компактификации отдельных измерений расширенного супервремени. Произведем склейку значений суперкоординат для точек супер¬времени, отличающихся на фиксированную нечетную константу по k-му направлению: . (24) Разлагая суперкоординату по k-му нечетному времени и учитывая нильпотентность , получим . (25) Тогда из (24), (25) следует, что . Это возможно только в том случае, если спиновая координата как суперчисло (2) имеет в точности тот же набор линейно независимых элементов , при которых , как и нечетная константа . Но тогда в тензоре спина (23) соответствующее слагаемое обнуляется: , что приводит к уменьшению спина частицы на 1/2. Данный механизм можно использовать для построения моделей суперсимметричных партнеров известных фундаментальных частиц, так как спин всех суперпартнеров (кроме хиггсино) меньше спина партнера как раз на 1/2. Особый случай представляют модели с минимальным расширением, т.е. , отвечающие частицам со спином 1/2 (спинорные частицы). Исторически этот вариант в виде модели Ди Векиа - Равндела был предложен первым и является наиболее изученным [4, 5]. Но этот случай является вырожденным, так как в нем отсутствуют генераторы что приводит к потере транзитивности преобразований (15). Действительно, исследуем окрестности произвольной точки в , для чего разобьём окрестность произвольной точки 0 супервремени на три области: доступного прошлого (I), достижимого будущего (II) и область недоступности (III) (рис. 3). Это похоже на разбиение окрестности точки пространства Минковского на области изотропным световым конусом. В областях I и II норма 1-формы (9) положительна, в области III отрицательна и равна нулю на границах областей. Речь идет о разбиении на области, достижимые из точки 0 посредством комбинаций трансляций по четному времени (10) и суперпреобразований (12), при которых проекция на собственное время t возрастает. Так, из точек a и b области I можно попасть в 0, а из 0 можно попасть в точки с и d области II, но нельзя попасть в III, так как скорость (17) для этого слишком велика. Рассматривая области супервремени как области определения суперкоординат, мы видим, что на могут быть определены совместно до трех невзаимодействующих между собой частиц, которые будут иметь общую мировую линию. Это обстоятельство объясняет происхождение композитных частиц, сопоставляемых поколениям лептонов [10] и кварков [11]. Механизм возникновения поколений является общим как у лептонов, так и у кварков, а его истоки лежат в структуре «потоков двумерного времени». Мы можем выделить три «стрелы собственного времени» (рис. 4). Одна из них совпадает с осью t, две другие представляют собой «параболические» кривые и . Три независимые суперкоординаты, заданные в областях I, II и III, на которые распадается окрестность произвольной точки плоского супервремени , отвечают максимум трем независимым копиям частицы, и других независимых копий быть не может. Суммарный электрический заряд при этом приписывается всей композиции. Для объяснения такого выбора рассмотрим соответствие: частица - мировая линия. Обычно полагают, что заряд - это атрибут частицы, который отвечает её движению из прошлого в будущее по мировой линии. Заряд античастицы определяется её движением в обратном направлении - из будущего в прошлое. Это соответствие можно обратить и считать, что заряд - это атрибут, связанный с мировой линией частицы и её направленностью, а сколько копий частицы «живет» на мировой линии, тогда неважно. Рис. 3. Структура окрестности произвольной точки Рис. 4. Три «стрелы собственного времени» на Наличие невзаимодействующих копий частиц, объединенных в композит, ставит вопрос об их природе. Так как с собственным временем композитной частицы связывают только четную компоненту супервремени t, а нечетная компонента является ненаблюдаемой, то можно предположить, что одна или две копии частицы носят виртуальный характер. Виртуальные частицы, являющиеся привычным атрибутом квантовой теории, возможно, имеют отражение и в псевдоклассической механике. Продемонстрированная в данной работе тесная связь между структурой временных потоков в супервремени и значением спина частиц, «живущих» на этом супервремени, делает правдоподобным предположение, что спин частицы или его отсутствие есть одно из проявлений структуры самого времени как такового, а не артефакт используемого математического аппарата. То есть спин - это такое же свойство времени, как и «стрела времени», которая в развиваемом подходе также возникает автоматически. Можно предположить, что время даже для бесспиновых частиц содержит нечетные измерения, но в свернутом (компактифицированном) виде. Возможно также, что известные акаузальные аномалии [15] в квантовых моделях точечных частиц со спином, превышающим 2, не просто свидетельство связи спина со временем, а указание на невозможность существования у супервремени более четырех нечетных некомпактифицированных измерений. Однако доказательство подобных утверждений требует применения более серьезного математического аппарата, чем использованные в данной статье элементарные методы.

Скачать электронную версию публикации