Influence of auxiliary information usage on the estimation accuracy of the characteristics of the reliability function a.pdf Введение В задачах оценивания надежности сложных систем моменты отказов исследуемых элементов являются статистическими данными, которые, как правило, получают в результате проведения дорогостоящих экспериментов. При этом исследователи часто не обладают достаточной информацией о самих элементах и о природе возникновения их отказов, что усложняет, а иногда делает невозможным построение адекватной параметрической модели реального объекта. В ряде случаев требуется также значительное повышение достоверности результатов оценивания надежности, например, для потенциально опасного оборудования. В этом случае, при малом объёме статистических данных и неизвестном законе распределения, параметрические модели могут неадекватно описывать реальный процесс отказов, что может вызвать катастрофические последствия. Поэтому актуальными становятся задачи разработки и исследования непараметрических методов анализа надёжности систем по данным об отказах изделий и приборов [1-11]. Известно, что улучшение качества оценок можно достичь при использовании дополнительной информации, доступной исследователю [12-19], при этом наибольший эффект, как правило, получается при малом объёме статистических данных [20-22]. В данной статье рассматриваются непараметрические оценки функций надежности и ее характеристик, использующие в своей структуре имеющуюся дополнительную информацию о функции распределения времени безотказной работы изделия и изучается влияние учета дополнительной информации на среднеквадратические ошибки (СКО) таких оценок при конечном объеме наблюдений времени отказа. Постановка задачи Пусть - продолжительность безотказной работы элемента с функцией распределения , а - результаты наблюдений моментов отказов однородной группы из элементов. В продолжение работы [23], рассмотрим задачу оценивания вероятностных характеристик функции надежности , (1) которые выражаются функционалом (2) где - известная функция. При этом для заданных функций определены функционалы (3) и каждый из может принимать значения . Это есть дополнительная информация, которой располагает исследователь. Поскольку одна из разностей , , равна нулю (но неизвестно какая), то формально имеющуюся дополнительную (априорную) информацию можно представить в виде (4) Задача заключается в построении по выборке непараметрических оценок функционала (2) с учетом дополнительной информации (4), а также в исследовании свойств полученных оценок при конечном объеме выборки n. Такую задачу также называют задачей условного оценивания функционалов [24-29]. Оптимальная оценка с учетом дополнительной информации В работе [30] предложены оценки функционала (2) с учетом условия (4), отличающиеся по трудоемкости их вычисления и величинам СКО. В [23] рассмотрены оценки, являющиеся функционалами Мизеса, и изучены их асимптотические свойства. Здесь мы рассмотрим оценки, построенные на основе U-статистик [30,31]: (5) где ; - вектор весовых коэффициентов, штрих - индекс транспонирования; ; являются U-статистиками вида , , Обозначение (p) под знаком суммы означает суммирование по всем перестановкам чисел . Далее, и - соответственно символы математического ожидания и дисперсии. Поскольку , то оценки (5) являются несмещенными, т.е. , а СКО оценки совпадает с ее дисперсией, т.е. . При выполнении условий (6) минимум достигается при (7) где - матрица-столбец, а матрица предполагается невырожденной. Оценку назовем оптимальной по минимуму дисперсии в классе оценок (5): (8) Величина в (8) неотрицательна, она показывает, насколько уменьшится СКО оценки с учетом информации (4) при оптимальном векторе весовых коэффициентов . Развернутые выражения формул (7) и (8) приведены в [30]. Из-за громоздкости выражений здесь мы их не приводим. Рассмотрим случай , . Тогда, полагая , , , условие (4) примет вид . (9) Запишем оптимальную оценку в которой , , (10) где . Обозначим через коэффициент корреляции между случайными величинами . Согласно (8), дисперсия оптимальной оценки определяется выражением . (11) Здесь первое слагаемое - это дисперсия оптимальной оценки при известном значении априорного функционала. Наличие неопределенности в задании приводит ко второму слагаемому, величина которого показывает, насколько увеличивается дисперсия оптимальной оценки в случае двух возможных значений в априорном условии (9). Эта величина имеет более высокий порядок малости по сравнению с величиной первого слагаемого, тем самым показывая, что многозначность в (9) проявляет себя лишь в членах более высокого порядка малости относительно объема наблюдений . Величина , поскольку одно из значений совпадает с функционалом , поэтому, чем больше разность между этими значениями, тем ближе сомножитель к единице, и влияние другого значения становится несущественным. Близкие значения априорных значений уменьшают точность оценивания при фиксированном объеме выборки . Сравним качество несмещенных оценок и , привлекая их дисперсии, с помощью относительной эффективности , задаваемой формулой . (12) Положим Тогда относительная эффективность оценки по отношению к удовлетворяет неравенству при объемах выборки . Данные неравенства показывают, при каких объемах наблюдений достигается заданная точность, теряемая из-за наличия двух возможных значений априорного функционала. Приведем примеры. Пример 1. Пусть требуется построить оценку для функции распределения при условии, что функционал . В этом случае , а оптимальная оценка имеет вид где , , . Дисперсия оптимальной оценки удовлетворяет соотношению . Положим . Тогда для , . Отсюда следует, что для любых непрерывных функций распределения отношение двух дисперсий принимает следующий вид: (13) Из (13) следует, что (14) Полагая в (13) , получим . (15) Из (15) имеем , . Отсюда следует, что относительные эффективности или стремятся к нулю с увеличением объема выборки . Этот факт вытекает также из (14) и (15). Таким образом, если неизвестное значение функции распределения совпадет с одним из априорных значений , то выигрыш в точности оценивания по дисперсии может быть сколь угодно большим по мере увеличения объема выборки . При этом , когда . Если положить , , , то . Рассмотрим оптимальную оценку функции надежности (1) при рассматриваемом априорном условии: . Так как и , то полученные выше выражения для относительной эффективности имеют место и для оценок функции надежности. Пример 2. Рассмотрим оценку для функции распределения в точке , т.е. для при условии, что математическое ожидание . Полагая , получаем оптимальную оценку где , , . Дисперсия оптимальной оценки удовлетворяет соотношению . (16) Пусть является равномерной в интервале (0,1) функцией распределения, т.е. . В этом случае функционал, определяющий дополнительную информацию, , , и одно из априорных значений равно 1/2. Формула (16) принимает вид . Относительная эффективность оценки по отношению к удовлетворяет неравенству , когда объем наблюдений . Если положить , =0,25, то . Адаптивная оценка На практике оптимальный вектор , как правило, неизвестен, что затрудняет применение оптимальной оценки . В [20, 30] предложено заменить на эмпирическую оценку , построенную по исходной выборке, и перейти к адаптивной оценке . Однако такая оценка является смещенной. Рассмотрим другую возможность построения адаптивной оценки, которая будет несмещенной оценкой. Для простоты ограничимся случаем, когда Здесь оптимальный коэффициент и дисперсия имеют вид , (17) Предположим, что известно. В качестве адаптивной оценки возьмем . (18) Данная оценка является несмещенной и имеет дисперсию . Отсюда следует, что при объеме наблюдений = . (19) Пример 3. Пусть , В этом случае , и адаптивная оценка точнее обычной по дисперсии при объеме выборки . При имеем , (20) при . (21) Формулы (20) и (21) позволяют вычислить объемы выборок для заданных и разных значений . Так, при для имеем , а для получаем . При априорное значение и получаем . Однако в этом случае и адаптивной оценкой пользоваться нет необходимости. Заключение Выделим основные результаты работы. Для искомого функционала (2) предложен класс оценок (5) с учетом дополнительной информации о многозначности значений априорных функционалов (3). На примерах проиллюстрировано влияние учета такой информации на СКО оценок при оптимальном , получены условия для объемов выборок, при которых гарантируется заданная точность оценивания. Отмечается трудность использования оптимальных оценок на практике из-за незнания и необходимость построения адаптивных оценок. Предложен метод построения несмещенных адаптивных оценок; найдено условие на объем наблюдений, при котором адаптивная оценка не уступает по точности обычной оценке. Повышение точности адаптивных оценок, по-видимому, возможно на пути построения новых оценок для . Этот вопрос может являться предметом дальнейших исследований.

Скачать электронную версию публикации