Entropy and heat capacity of degenerated neutron gas in a magnetic field.pdf В работе [1] авторами в графической форме были представлены результаты численного расчета энергии Ферми и давления вырожденного нейтронного газа в магнитном поле с индукцией при учете аномального магнитного момента (АММ) нейтронов. Основным уравнением, на котором были основаны расчеты, являлось уравнение, в неявной форме выражающее зависимость энергии Ферми от концентрации нейтронов и величины поля: . (1) Здесь введены следующие обозначения: , где = - АММ нейтрона, - ядерный магнетон, . Под , как и в [1], здесь и далее понимаем массу нейтрона, так как для наших оценок можно считать, что При использовании безразмерных величин , , , (2) , (2а) уравнение (1) приобретает вид (3) допускающий численный расчет зависимости (а также и при концентрации нейтронов , типичной для нейтронных звезд [2]) и представленный в работе [1] в графической форме (при этом соответствующий безразмерный параметр ). Как наглядное дополнение к результатам работы [1], приведем графики зависимости относительной концентрации с ориентацией АММ по полю (+) и против поля (-) (рис. 1): . (4) Рис. 1. Относительные концентрации нейтронов с АММ по полю ( ) и против поля ( ) (4) в зависимости от безразмерного поля (2) при типичной концентрации нейтронов cм-3 в нейтронных звездах Близкими по тематике к данной работе являются и известные нам некоторые другие, например [3-8]. Однако в этих работах и цитированных в них не рассматривался вопрос об энтропии и, как сопутствующий, о теплоемкости нейтронного газа в магнитном поле с учетом АММ нейтрона, что может иметь значение при исследовании эволюции нейтронных звезд-магнитаров. Это и является предметом изучения в данной работе. Для дальнейшего запишем также выражение -потенциала (см. формулу (56.6) классической работы [9]): . (5) Здесь, как и в [1], введено обозначение (6) для полной энергии нейтрона, причем - кинетическая энергия, а - энергия взаимодействия с магнитным полем, зависящая от ориентации спина нейтрона: (значение соответствует ориентации АММ против поля, спина соответственно - по полю, а - наоборот). Для вычисления необходимой для дальнейшего температурной добавки к -потенциалу и свободной энергии используем приведенное в [9] асимптотическое разложение интеграла (7) при малых температурах, оставляя в наших целях только первый член разложения: , (7а) в котором, согласно (5), (6), следует заменить , . Тогда при разложении -потенциала получаем аналогичное формуле (58.2) из [9] выражение , (8) где - значение -потенциала при , которое нам далее не понадобится. Значение же в (8) с той же точностью по температуре можно, как и в [9], заменить на энергию Ферми , задаваемую в неявном виде через концентрацию и величину поля и в безразмерных переменных уравнением (3). Аналогичное формуле (58.3) из [9] выражение свободной энергии, согласно теореме об идентичности малых добавок к термодинамическим потенциалам [9] и с учетом этой замены , имеет вид , (9) где - свободная энергия при , которая, как и значение в (8), для наших целей несущественна. Находимое из (9) значение энтропии при этом равно . (10) То же самое выражение через безразмерные величины можно записать так (при этом ): , (11) , а остальные обозначения были введены ранее. Получаемое из (10), (11) соотношение между значениями энтропии в отсутствие поля и в состоянии насыщения , когда и последнее слагаемое в квадратных скобках (10), (11) обращается в нуль, таково (см. также формулу (9а) в работе [1]): . (12) В состоянии, близком к насыщению, энтропия, таким образом, достигает минимального значения, которое с учетом (3) равно . (13) С учетом значения выражение (11) можно записать в виде , (14) . (14а) Зависимость этой «приведенной» энтропии от при значении из (3) при соответствующем упомянутом выше значении параметра в графической форме представлена на рис. 2, причем численный расчет подтверждает аналитическую оценку (12). Далее, из обычных соотношений , , где - теплоемкость (причем в рассматриваемом случае теплоемкости и одинаковы [9]), находим . В силу же установленной линейной зависимости от (11) в рассматриваемом случае вырожденного нейтронного газа имеем обычное соотношение (см. также [9]) (15) с соответствующими представлениями этой величин вида (11), (14), (14а) и с той же, разумеется, графической зависимостью, изображенной на рис. 2. Рис. 2. Зависимость «приведенной» энтропии (14а) от безразмерного поля (2) при типичной концентрации нейтронов см-3 в нейтронных звездах Как следует из графика на рис. 2 или из (12), энтропия уменьшается с ростом поля, что совершенно естественно, так как степень упорядоченности системы нейтронов при этом возрастает с преимущественной ориентацией АММ нейтронов по полю (см. рис. 1). При этом с дальнейшим ростом поля состояние нейтронного газа, достигающего насыщения с ориентацией АММ всех нейтронов по полю при , т.е. и , меняться уже не будет (см. также [1]). В соответствии с физическим смыслом понятия энтропии, она в таком состоянии будет меньше, и мы только подтвердили это аналитической оценкой (12) и численным расчетом, в графической форме представленным на рис. 2, для рассмотренного случая вырожденного нейтронного газа с учетом взаимодействия АММ нейтронов с магнитным полем. Поскольку значение энтропии нейтронной звезды-магнитара, очевидно, в основном и обусловлено ее нейтронной компонентой, то, согласно второму началу термодинамики, это означает, что эволюция нейтронной звезды с увеличением ее магнитного поля крайне маловероятна, независимо от причины возникновения этого поля. Подчеркнем также, что при значение энтропии (10) с учетом формулы (1) совпадает с результатом (58.5), приведенным в [9].

Скачать электронную версию публикации