Restriction of number of levels of dimensional quantization in nanoelectronics elements.pdf Введение Наблюдаемый в последнее десятилетие прогресс в электронном приборостроении в значительной степени обязан использованию эффекта размерного квантования энергии свободных носителей заряда, находящихся в потенциальной яме малых размеров. Такая топология полупроводникового элемента в применении, например к созданию светоизлучающих приборов, позволяет резко увеличить коэффициент полезного действия прибора, создавать источники света на разные длины волн без изменения физико-химического состава используемого полупроводникового материала, получать излучение высокой монохроматичности и т.д. [1-7]. Важным параметром, характеризующим эффект размерного квантования, является энергия низшего дискретного состояния, так как именно она определяет длину волны генерируемого света и ширину линии излучения. Другим важным параметром является число уровней размерного квантования с более высоким значением энергии и имеющим номера состояния от двух и более. Эти уровни производят захват носителей заряда, инжектируемых в активную область прибора, и тем самым повышают мощность генерируемого излучения [8-16]. Теоретически число уровней размерного квантования ничем не ограничено, однако в реальных полупроводниковых гетероструктурах их рассчитанное число определяется, главным образом, глубиной потенциальной ямы, ее геометрическими размерами и обычно не превышает нескольких единиц [8]. Если расчетный уровень размерного квантования по энергии окажется выше дна зоны проводимости барьерного слоя, то это означает, что, во-первых, электроны с таким значением энергии находятся вне квантовой ямы (КЯ) и потому их энергия не квантуется. Во-вторых, он попадает в зону проводимости слоя вещества КЯ, где спектр энергий фактически является непрерывным спектром энергии зоны проводимости 3D-полупроводника. В настоящее время в литературе отсутствуют данные о другой структуре зонного спектра КЯ, а также о других возможных причинах ограничения числа уровней. Целью данной работы является рассмотрение ограничения на число уровней размерного квантования в элементах наноэлектроники, вызванное нарушением условия размерного квантования при высоких значениях энергии свободных носителей заряда. 1. Общие положения теории Известно, что при размере потенциальной ямы меньше длины волны де Бройля из-за «тесноты» в яме электрон не может проявить свои корпускулярные свойства, поскольку не имеет возможности свободно перемещаться в кристалле, участвуя как в броуновском, так и дрейфовом движении. В таких стесненных условиях электрон проявляет себя как пакет волн, длины которых укладываются целое число раз по толщине КЯ (направлении квантования). Чем выше энергия электрона, тем большее число раз длина волны, описывающей состояние электрона, укладывается по толщине квантовой ямы. Номер стационарного состояния указывает на число полуволн, укладывающихся в направлении квантования. Поскольку длин волн, удовлетворяющих условию образования стоячей волны по толщине ямы, может быть много, то число типов волн может быть большим и ограничено глубиной потенциальной ямы. Эффект преобразования свободного электрона из частицы в пакет стоячих волн называют размерным квантованием, а потенциальные ямы с указанным свойством - квантовыми. Ясно, что изменение поведения электрона с ростом или уменьшением толщины ямы происходит в некотором диапазоне значений толщин ям, включая их равенство длине волны де Бройля. Однако при создании приборов наноэлектроники с КЯ вместо качественного критерия граничного условия размерного квантования необходим количественный критерий, в качестве которого в наноэлектронике используется равенство обсуждаемых параметров. Поэтому изготавливаемые КЯ имеют толщину меньше длины волны де Бройля [8]: , (1) где h - постоянная Планка; - эффективная масса электрона; - энергия электрона. На основании данного выражения обычно авторы, например [8], делают очевидный вывод, что эффекты размерного квантования технически проще наблюдать в веществах с малой эффективной массой, например, таких, как GaAs. При этом влияние энергии электрона на наблюдение квантования по необъяснимым причинам игнорируется, хотя оно аналогично влиянию массы электрона: уменьшение энергии электрона увеличивает , а увеличение Е ее уменьшает. Известно, что если свободный электрон попадает в прямоугольную яму размером , то его энергетический спектр из непрерывного преобразуется в дискретный с энергиями [8-15] . (2) Параметр указывает номер уровня размерного квантования. Выражение (2) показывает, что с увеличением номера состояния энергия электрона, находящегося на нем, и расстояние между соседними уровнями увеличиваются по параболическому закону. Поскольку, согласно (1), длина волны де Бройля обратно пропорциональна корню из энергии электрона, то с ростом энергии соответствующая длина волны электрона уменьшается. Следовательно, может существовать такой номер состояния, начиная с которого условие размерного квантования в яме заданной толщины нарушится. Физически это означает, что в такой КЯ размерное квантование должно существовать только в области малых значений энергии электрона, тогда как на высоких уровнях энергии электрон должен иметь спектр, подобный спектру зоны проводимости 3D-полупроводника. 2. Прямоугольная квантовая яма В квантовой яме прямоугольной формы шириной спектр значений энергии электрона в ней описывается выражением (1). Для наблюдения размерного квантования при энергии электрона величиной необходимо, чтобы выполнялось условие . (3) Подставляя в (3) выражение (2), получим . (4) Отсюда следует, что , т.е. эффект размерного квантования в прямоугольной КЯ приводит к появлению в ней не более двух дискретных уровней энергии: и . На рис. 1 показана энергетическая диаграмма КЯ с указанием трех областей энергий, отличающихся структурой энергетического спектра электрона. В области низких значений энергии эффект размерного квантования проявляется в полной мере, что отражается наличием в ней двух уровней энергий, вычисляемых по выражению (2). По мере увеличения энергии электрон попадает в область промежуточных состояний, именуемую мезаобластью, в которой имеет место смешанное корпускулярно-волновое представление состояния электрона. На рис. 1 это отражено частичным расщеплением уровня энергии , поскольку корпускулярно-волновое описание электрона объединяет дискретность спектра и его непрерывность, описываемую моделью Блоха. В результате такого объединения получается дискретно-непрерывный спектр энергий. Рис. 1. Зонная диаграмма прямоугольной КЯ с ограничением числа уровней энергии При еще более высоких энергиях, при которых длина волны де Бройля оказывается значительно меньше толщины КЯ, в суммарном дискретно-непрерывном спектре, характерном для мезаобласти, размерное квантование полностью нивелируется и спектр электрона в КЯ приобретает структуру зоны проводимости 3D-полупроводника. Из проведенного рассмотрения следует, что для получения узкого спектра излучения наноэлемента, например при создании полупроводникового источника когерентного излучения, глубины n-КЯ и p-КЯ не должны быть такой величины, чтобы исключить обе верхние области спектра: непрерывного и мезаобласти, оставив только два дискретных уровня. 3. Треугольная квантовая яма В треугольной квантовой яме (рис. 2) энергии уровней размерного квантования вычисляются по выражению [8] . (5) Здесь - величина электрического поля в КЯ. Остальные обозначения общепринятые. Перепишем выражение (5) в более удобном виде: . Тогда условие наблюдения размерного квантования (3) запишется в виде . Отсюда найдем номер уровня размерного квантования, выше которого условие размерного квантования в треугольной КЯ нарушается: . (6) Здесь - энергия первого уровня размерного квантования в прямоугольной яме по (2) той же ширины , что и треугольная яма. Далее, в треугольной яме тангенс угла наклона стенки ямы, равный произведению заряда электрона на величину электрического поля, определяется шириной ямы и ее энергетической глубиной : . Тогда выражение (6) запишется в виде . (7) Из данного выражения можно видеть, что под корнем стоит величина, всегда меньшая единицы, что в итоге приводит к значению порогового значения номера состояния не более трех. Проверим это на примере КЯ на основе барьера , в котором глубина электронной ямы составляет 0.40 эВ [8], а первый уровень размерного квантования для прямоугольной ямы шириной = 4 нм имеет энергию эВ. Тогда по выражению (7) предельное значение номера уровня в треугольной КЯ будет , т.е. должен наблюдаться лишь один уровень размерного квантования или, как максимум, два уровня [9]. Численные значения фундаментальных параметров полупроводниковых материалов, используемых для изготовления гетероструктур с квантовыми ямами, одного порядка величины [2, 8], и поэтому приведенные результаты для качественно совпадут с результатами по ограничению числа уровней размерного квантования и для других материалов КЯ. На рис. 2 приведен энергетический спектр электронов в треугольной КЯ, который, как и в случае прямоугольной КЯ, условно разделен на три области: при малых энергиях эффект размерного квантования проявляется в полной мере и приводит к появлению дискретных уровней энергии. При средних значениях энергии электронов в спектре должна наблюдаться мезаобласть со смешанным корпускулярно-волновым описанием поведения электрона. В области высоких значений поведение электрона описывается в рамках зонной теории Блоха, что приводит к известному дискретно-непрерывному спектру 3D-полупроводника. Рис. 2. Энергетическая диаграмма треу¬гольной КЯ с ограничением числа уровней квантования Таким образом, в треугольной КЯ дискретных уровней размерного квантования не может быть более трех. Уровни с более высокими значениями будут представлять собой зоны из большого числа близко расположенных уровней, образованных в результате взаимодействия между собой атомов вещества КЯ. Результаты приведенного выше рассмотрения энергетического спектра свободного электрона, находящегося в КЯ, полностью применимы и к другим квантово-размерным объектам: квантовой проволоке и квантовой точке. В квантовой проволоке размерное квантование создано в двух направлениях и, следовательно, в каждом из них возможно ограничение числа уровней размерного квантования. Поскольку геометрические размеры квантовой точки по всем трем координатам меньше длины волны де Бройля, то размерное квантование будет по всем трем координатам с возможным ограничением числа уровней. В заключение можно сделать следующие выводы: 1. Эффект ограничения числа уровней размерного квантования в нанообъектах основан на зависимости длины де Бройля от энергии свободной частицы: увеличение энергии частицы ведет к уменьшению длины де Бройля. Следовательно, при больших энергиях (состояниях с большим порядковым номером) размеры потенциальной ямы могут стать меньше требуемых для проявления эффекта размерного квантования энергии частицы. 2. Показано, что в квантовых ямах прямоугольной формы условие размерного квантования выполняется только для двух уровней, а в квантовых ямах треугольной формы - не более трех уровней. Полученный результат означает, что для указанных квантовых ям, глубина которых превышает указанные энергии, зонный спектр в зоне проводимости и в валентной зоне будет подобен спектру 3D-полупроводника. 3. Ограничение числа уровней размерного квантования должно иметь место не только в квантовых ямах, но и в квантовых проволоках и квантовых точках, поскольку во всех перечисленных нанообъектах принцип дискретизации спектра энергии свободного носителя заряда по одной, двум или трем пространственным координатам один и тот же - помещение носителя заряда в потенциальную яму размерами, меньшими длины де Бройля по одной или нескольким координатам.

Скачать электронную версию публикации