Symmetry of the time-dependent schrodinger equation in electromagnetic fields invariant under three-dimensional Е.pdf Введение Систематическое изучение симметрий нестационарного уравнения Шредингера, по-видимому, началось с цикла работ У. Нидерера [1-3], в которых исчерпывающим образом была исследована группа симметрии уравнения Шредингера c произвольным скалярным потенциалом. Примерно в то же время В. Н. Шаповалов и Н. Б. Сухомлин получили полную классификацию всех электромагнитных потенциалов, в которых нестационарное уравнение Шредингера допускало полные наборы операторов симметрии, обеспечивающие возможность разделения переменных [4]. Дальнейшие исследования в этой области носили экстенсивный характер и по существу сводились к поиску потенциалов (в основном, скалярных), в которых нестационарное уравнение Шредингера допускает симметрию в том или ином классе операторов (см., в этой связи, обзорные монографии [5, 6]). Как правило, подобный поиск осуществлялся с позиций того или иного подхода к интегрированию уравнения Шредингера, в подавляющем большинстве случаев сводящегося к разделению переменных. В отличие от скалярного случая, ситуация с более общими электромагнитными потенциалами до сих пор полностью не исследована даже в классе дифференциальных операторов симметрии первого порядка. Известны лишь алгебры симметрии нестационарного уравнения Шредингера для некоторых частных типов электромагнитных полей (см., например, [7, 8]). Вместе с тем знание этих алгебр представляет интерес с точки зрения построения новых классов электромагнитных потенциалов, допускающих точное интегрирование уравнения Шредингера. Использование операторов симметрии первого порядка особенно важно в методе некоммутативного интегрирования, где с их помощью осуществляется эффективная редукция исходного уравнения к уравнению с меньшим числом независимых переменных [9]. Как известно, максимальная алгебра операторов, коммутирующих с оператором нестационарного свободного уравнения Шредингера, - это 11-мерная алгебра Баргмана, порождаемая генераторами сдвигов Pa и вращений Ja, а также генераторами галилеевских «бустов» Ga = t ∂a - m xa, генератором T = ∂t и скалярным оператором массы. Ясно, что при включении внешнего электромагнитного поля наличие данной алгебры симметрии уже нельзя гарантировать, однако определенная симметрия у уравнения все же может существовать. К сожалению, механизм нарушения симметрии здесь довольно сложный: в общем случае алгебра симметрии уравнения Шредингера в электромагнитном поле является не подалгеброй алгебры Баргмана, а ее некоторой деформацией. Указанный факт значительно затрудняет симметрийный анализ нестационарного уравнения Шредингера, в отличие от аналогичной задачи для релятивистских уравнений Клейна - Гордона и Дирака. В настоящей работе мы вычисляем алгебры симметрии нестационарного уравнения Шредингера для класса внешних электромагнитных полей, инвариантных относительно трехмерных подгрупп группы движений евклидова пространства E(3). Отметим, что такие поля представляют значительный интерес ввиду их достаточно естественной геометрической и физической интерпретации. Кроме того, в отличие от одно- и двумерного случаев, инвариантность поля относительно трехмерной E(3)-подгруппы (или относительно E(3)-подгруппы более высокой размерности) приводит к сравнительно большому числу операторов симметрии уравнения Шредингера, достаточному для его некоммутативной интегрируемости. Определяющие уравнения для оператора симметрии Уравнение Шредингера для частицы массы m и заряда e, движущейся во внешнем электромагнитном поле, имеет вид , (1) где и A - скалярный и векторный потенциалы поля соответственно. В общем случае потенциалы могут зависеть как от времени t, так и от пространственных координат . Всюду в данной статье мы принимаем систему единиц, в которой . Вводя операторы энергии и импульса , перепишем уравнение Шредингера (1) в виде . (2) Отметим, что, вообще говоря, операторы и p не коммутируют друг с другом. Действительно, несложно проверить, что коммутационные соотношения для этих операторов имеют вид , где - стандартный ортонормированный базис трехмерного пространства, а E и B - векторы напряженности электрического и магнитного полей соответственно: . Симметрия уравнения (2) определяется операторами, оставляющими инвариантным его пространство решений. В настоящей работе мы будем исследовать операторы симметрии вида , коммутирующие с оператором L: . (3) Здесь - векторное поле, чьи компоненты, так же как и скалярные функции и , зависят от t и r. Очевидно, что множество всех операторов , удовлетворяющих условию (3), образует некоторую алгебру Ли относительно коммутатора операторов. Подставляя выражение для X в равенство (3), получаем следующие определяющие уравнения для оператора симметрии: ; (4) , . (5) Отметим, что подсистема (4) не зависит от электромагнитного поля и может быть легко проинтегрирована. Ее общее решение имеет вид , (6) где - некоторая постоянная; и - векторы, произвольным образом зависящие от времени. В свою очередь, подсистема (5) , рассматриваемая как система уравнений на неизвестную функцию , в общем случае является неинтегрируемой. Нетрудно получить условия совместности этой системы: ; (7) . (8) Равенства (7) и (8) необходимо рассматривать как ограничения на возможный класс электромагнитных полей, допускающих оператор симметрии уравнения Шредингера первого порядка. Отметим, что общий анализ системы уравнений (7) и (8) является довольно сложной задачей. Тем не менее для определенных классов полей (анзацев) эта задача может быть эффективно решена. Электромагнитные поля, инвариантные относительно трехмерных Е(3)-подгрупп В предыдущих работах [10, 11] мы показали, что стационарные нерелятивистские уравнения в электромагнитных полях допускают оператор симметрии первого порядка, если и только если поле является инвариантным относительно некоторой подгруппы группы движений евклидовой плоскости E(3). В случае нестационарного уравнения Шредингера (2) это условие является всего лишь необходимым; вопрос о его достаточности пока остается открытым. Тем не менее условие инвариантности поля относительно E(3)-подгруппы представляет собой разумное требование и в нестационарном случае, приводящее к тому же к довольно нетривиальным результатам. В настоящей работе подробно исследуются симметрии полей, инвариантных относительно трехмерных подгрупп группы E(3). Напомним, что группа Е(3) представляет собой совокупность преобразований, не меняющих расстояния между любыми двумя точками в пространстве. Генераторами этой группы являются три генератора сдвига и три генератора вращений , коммутирующие между собой по следующим правилам: . Классификация всех (с точностью до внутренних сопряжений) подгрупп группы E(3) известна и приведена в работе [12]. В частности, трехмерные связные E(3)-подгруппы перечислены в табл.1. Таблица 1 Трехмерные Е(3)-подгруппы Подгруппа G Генераторы подгруппы SO(3) E(2) По определению, электромагнитное поле является инвариантным относительно подгруппы , если для любого ее генератора имеют место соотношения . (9) Здесь - оператор производной Ли, действующий на произвольное векторное поле C согласно правилу . Используя результаты из табл. 1, мы можем классифицировать все неэквивалентные пары , инвариантные относительно трехмерных подгрупп группы E(3), наложив соответствующие условия (9). Однако, чтобы получить физически осмысленные результаты, нам необходимо придать векторам E и B смысл электрического и магнитного полей соответственно, т.е. потребовать выполнение равенств . (10) В табл. 2 для каждой подгруппы из табл. 1 приводится явный вид векторных полей E и B, одновременно удовлетворяющих условиям (9) и (10). Здесь - произвольные постоянные, - произвольные функции своих аргументов, . Таблица 2 Классы электромагнитных полей, инвариантные относительно трехмерных E(3)-подгрупп Подгруппа G Магнитное поле Электрическое поле Комментарий и SO(3) E(2) Дадим несколько комментариев к полученной классификации. Поле, инвариантное относительно подгруппы , является суперпозицией постоянного однородного магнитного и переменного однородного электрического полей, направленных под некоторым ненулевым углом друг к другу. Инвариантность относительно группы вращений SO(3) приводит к суперпозиции произвольного переменного сферически-симметрического электрического поля и поля магнитного монополя с магнитным зарядом . Электромагнитное поле с группой инвариантности E(2) является суперпозицией постоянного и однородного магнитного поля и параллельного ему переменного электрического поля, произвольным образом зависящего от координаты . Наконец, инвариантность относительно группы влечет так называемую винтовую симметрию: векторы B и E переходят в себя при преобразовании, являющемся композицией поворота вокруг оси x3 и переноса вдоль этой оси. Алгебры симметрии Как уже отмечалось, для построения операторов, коммутирующих с оператором L, необходимо вначале разрешить систему уравнений (7) и (8). С учетом (6) последние являются обыкновенными дифференциальными уравнениями на неизвестные векторнозначные функции и . Действительно, подставив (6) в (7) и (8), получим ; (11) . (12) Отметим, что коэффициенты перед неизвестными и их производными в этой системе должны зависеть только от t, что влечет дополнительные ограничения на компоненты полей E и B. В настоящей работе для каждого из анзацев, приведенных в табл. 2, мы решаем систему уравнений (11) и (12), а затем интегрируем систему (5), находя тем самым неизвестную функцию . И далее выписываем получаемые при этом операторы симметрии. Подгруппа В этом случае имеется восемь независимых операторов симметрии: , , a = 1, 2, 3; , . Здесь введены следующие обозначения: , , , где - циклотронная частота; - матрица вращения вокруг вектора на угол . Подгруппа SO(3) Электромагнитное поле общего положения допускает три оператора симметрии: , a = 1, 2, 3. (13) При некоторых ограничениях на поле могут возникать дополнительные операторы симметрии. 1. Пусть , где - произвольная константа. Тогда в дополнение к операторам (13) имеется еще шесть операторов симметрии: , , a = 1, 2, 3. Здесь через a(t) и b(t) обозначены два любых линейно независимых решения уравнения . 2. Если , то в дополнение к операторам (13) мы имеем еще один оператор симметрии: . Таким образом, в зависимости от комбинации условий, накладываемых на функцию , мы будем иметь различные наборы операторов симметрии. Соответствующие результаты приведены в табл. 3. Таблица 3 Операторы симметрии в SO(3)-инвариантном электромагнитном поле Дополнительное условие Операторы симметрии Нет Нет Нет Да Да Нет Да Да Подгруппа E(2) Поле общего положения допускает пять линейно независимых операторов симметрии: . Дополнительные симметрии могут возникать в следующих двух случаях: 1. Пусть - линейно зависящая от x3 функция, и - произвольные функции времени. Тогда уравнение Шредингера допускает еще два оператора симметрии где и - два линейно независимых решения дифференциального уравнения . Если при этом - постоянная, то имеет место также дополнительный оператор симметрии: . 2. Пусть , где - произвольная функция. Тогда имеется оператор симметрии . Подгруппа В общем случае имеется три линейно независимых оператора симметрии: , , . Пусть , , , где и E0 - произвольные константы, - произвольная функция. Тогда уравнение Шредингера допускает еще один оператор симметрии: .

Скачать электронную версию публикации