Взаимодействие волн с дефектом, характеризующимся нелинейностью общего вида | Известия вузов. Физика. 2019. № 1.

Взаимодействие волн с дефектом, характеризующимся нелинейностью общего вида

Проанализированы возможные типы стационарных состояний и волн в линейных средах, разделенных нелинейным интерфейсом. Математическая формулировка модели сводится к одномерной краевой задачи для нелинейного уравнения Шредингера. В уравнении нелинейность в форме произвольного вида функции от искомого поля учитывается только внутри волновода. Показано, что существуют стационарные состояния трех типов в различных диапазонах значений константы распространения. Для всех типов стационарных состояний в явном виде получены дисперсионные зависимости константы распространения от параметров среды и границы раздела, а также указаны условия их существования. Показано, что возможно полное прохождение волны через границу раздела. Установлено, что полное прохождение волны с ненулевыми параметрами границы раздела может происходить только при учете ее нелинейного отклика.

Wave interaction with a defect characterized by the general form nonlinearity.pdf Введение Во многих технических приложениях, основанных на волноводных свойствах оптических слоев, важную роль играют эффекты локализации светового потока [1]. Это обуславливает не утихающий интерес исследователей к изучению различных явлений, связанных с распространением вдоль волноводов электромагнитных волн и взаимодействием их с границами раздела сред, в том числе в слоистых структурах, состоящих из чередующихся оптических слоев с различными показателями преломления [2]. Особое внимание уделяется средам, в которых показатель преломления (или диэлектрическая функция) зависит от интенсивности поля [3]. В частности, для сред с эффектом Керра характерна квадратичная зависимость показателя преломления от амплитуды напряженности электрического поля [4]. Теоретическое описание распределения светового потока в таких средах приводит к уравнению, эквивалентному нелинейному уравнению Шредингера (НУШ), которое содержит кубическое относительно искомого поля слагаемое [5-7]. Существуют и другие формы нелинейности в НУШ, называемые традиционно некерровскими [8-11]. Следует отметить, что НУШ широко применяется для описания не только светового поля [12-14], но и полей другой физической природы, к примеру упругого [15], магнитного [16, 17] и в биологических молекулярных системах [6]. Локализация нелинейных волн и распределенные периодические структуры вблизи границ раздела линейной и нелинейной сред рассматривалась в [12, 18, 19]. Во многих ситуациях возникает необходимость изучения таких особенностей локализации волн, которые обусловлены характером их взаимодействия с дефектами, в том числе и для двухуровневых систем [20-23]. В [24, 25] при исследовании рассеяния нелинейных возбуждений были отмечены резонансные свойства границ раздела сред как плоских дефектов. В последнее время возник интерес к рассмотрению таких дефектов, которые характеризуются дополнительным нелинейным откликом [11, 26-30]. В [26] рассмотрены нелинейные свойства керровской среды только внутри тонкого оптического слоя, играющего роль нелинейного волновода. В данной работе дается теоретическое описание новых особенностей локализации и рассеяния линейных волн нелинейным дефектом, моделируемым функцией нелинейности общего вида. Для описания новых особенностей взаимодействия волн и волновода с учетом его нелинейных свойств предлагается использовать нелинейный потенциал с произвольной нелинейной зависимостью от амплитуды искомого поля. Для случая керровской среды такой потенциал сводится к виду, использованному в [26-30]. При наличии слабой связи между плоскопараллельными волноводами, амплитуда поля в которых существенно превышает усредненное значение амплитуды поля во всем кристалле, нелинейные слагаемые в НУШ могут учитываться только внутри самих волноводов [11, 26]. Формулировка модели Рассмотрим контакт двух линейных оптических сред с различными физическими характеристиками, в том числе и показателями преломления. Среды разделяет ультратонкий оптический слой, рассматриваемый далее в качестве плоской границы (интерфейса), проходящей через начало координат, перпендикулярно оси х. Толщина такого слоя пренебрежительно мала по сравнению с характерной длиной локализации поля. Предполагается также, что возмущение параметров сред, создаваемое границей раздела как плоским дефектом, сосредоточено на расстояниях, которые существенно меньше размеров возбуждений, и поэтому оно может считаться локальным. Взаимодействие с границей раздела сред можно будет описывать короткодействующим потенциалом с дельта-функцией Дирака. Будем также считать, что нелинейной зависимостью показателя преломления от амплитуды электрического поля обладает среда только внутри границы. Будем рассматривать ТЕ-поляризованные монохроматические электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль границы раздела (плоскости yz). В данном контексте рассматриваемую границу раздела можно называть волноводом. Предполагая, что в направлении у структура y-й компоненты поля определяется линейной модой волновода E(y), можно разделить переменные и представить электрическое поле в форме E(x, z)E(y). Тогда распределение поля E(x, z) подчиняется НУШ [11, 14] , (1) где D - коэффициент дифракции; n0(x) - линейный показатель преломления сред; функция F определяется нелинейной добавкой к показателю преломления, конкретный вид которой зависит от выбора модели нелинейности среды. Можно привести несколько примеров зависимости функции F от квадрата амплитуды электрического поля, используемых в различных моделях нелинейностей: 1) Для оптической среды с керровской нелинейностью FE2 [2]. 2) Для фоторефрактивного кристалла в результате действия диффузного механизма нелинейности добавка к показателю преломления приводит к функции вида , где I(x)E2  интенсивность светового потока; Id  темновая интенсивность [10]. 3) Диэлектрическая функция нелинейной среды, зависящая от частоты и амплитуды электрического поля распространяющейся волны в полупроводнике с экситон-фотонным взаимодействием и оптической экситон-биэкситонной конверсией, приводит к функции вида [8] , где I0 - интенсивность, определяемая расстройкой резонанса для частоты распространяющейся волны относительно частоты экситонного перехода; а - константа пропорциональности, определяемая константами оптической экситон-биэкситонной конверсии и экситон-фотонного взаимодействия, а также частотой расщепления экситонного состояния. 4) Диэлектрическая функция нелинейной оптической среды с эффектом насыщения, предложенная в [9], приводит к функции вида F thE/Е02, где Е0 - поле насыщения. В данной работе будут рассматриваться только стационарные состояния, описываемые полем в форме , (2) где величина  играет роль константы распространения. В результате подстановки (2) в (1) получается стационарное НУШ: , (3) где m = 1/2D - «эффективная масса»; зависимость  = n0 аппроксимируется кусочно-постоянной функцией j  постоянные величины, здесь и далее значение индекса j = 1 соответствует величинам, относящимся к характеристикам среды слева от плоскости дефекта при x < 0, а значение индекса j = 2 - справа от плоскости дефекта при x > 0. Функция F в НУШ (3) фактически играет роль самосогласованного потенциала, моделирующего взаимодействие волны с плоским дефектом. Для локального взаимодействия в простейшем случае потенциал можно аппроксимировать зависимостью , (4) где (x) - дельта-функция Дирака; f - функция модели оптической нелинейности внутри волновода; параметры U0 и W0 прямо пропорциональны соответственно линейному и нелинейному показателям преломления внутри волновода. Можно считать, что U0 - интенсивность взаимодействия волны с дефектом (иногда данная величина называется «мощностью» дефекта). При U0 > 0 волна «отталкивается» от дефекта, а при U0 < 0 - «притягивается». Параметр W0 представляет собой интенсивность нелинейного отклика дефекта, отрицательное значение которого соответствует дефокусировке, а положительное - самофокусировке в тонком дефектном слое. Функция f должна быть непрерывной, монотонной и ограниченной в окрестности плоскости дефекта. Из физических соображений она должны быть положительной при положительном значении аргумента. Из указанных требований следует, что должна существовать в окрестности плоскости дефекта и обратная к ней функция f [1]. Уравнение (3) с потенциалом (4) с двумя его параметрами U0 и W0 использовалось при формулировке модели оптической системы, в которой периодическая модуляция линейного показателя преломления сочетается с пространственно неоднородной нелинейностью, представленной периодической решеткой Кронига - Пенни с одиночным нелинейным дефектом - тонкослойным нелинейным волноводом [11]. В этой работе были проанализированы солитоны, порождаемые такой решеткой, аппроксимированной кусочно-постоянной функцией, в случаях, соответствующих возможным сочетаниям знаков параметров дефекта U0 и W0. В частности, для положительных дефектов локализованные моды существуют уже в линейном режиме. В случае фокусирующей нелинейности и отрицательного дефекта все моды, обладающие такой же симметрией, как и те, которые были устойчивы в линейном режиме, становятся неустойчивыми. Положительные дефекты с дефокусирующей нелинейностью порождают локализованные волны, возникающие путем бифуркации из линейных мод. Также возникают моды, которые существуют выше определенной пороговой мощности, необходимой для изменения совокупного отклика дефекта от фокусировки до дефокусировки [14]. Решение НУШ (3) с потенциалом эквивалентно нахождению решения контактной краевой задачи для УШ без потенциала: , (5) с двумя граничными условиями сопряжения в точке x = 0, через которую проходит плоскость дефекта. Непрерывность волновой функции определяет первое (стандартное) граничное условие , (6) где 0  амплитуда колебаний поля в плоскости дефекта. Если проинтегрировать обе части уравнения (3) по x на малом интервале [ε; ε] и устремить затем ε к нулю, то в результате можно получить второе граничное условие , (7) где  значение моделирующей нелинейность функции при амплитуде колебаний поля в плоскости дефекта. Таким образом, нахождение стационарных колебательных состояний в рамках предложенной модели сводится к решению контактной краевой задачи для УШ (5) с граничными условиями (6) и (7). Следует отметить, что случай U0 = 0, W0  0 рассматривался в работах [27, 28]. Нелинейный дефект с обоими ненулевыми параметрами дефектов (U0 ≠ 0, W0 ≠ 0) рассмотрен в работе [26] в случае, когда он содержится в линейной среде, в [29]  для случая контакта двух нелинейных сред с различными характеристиками, в [30]  для случая контакта нелинейной фокусирующей и линейной среды. Локализованные вдоль волновода состояния При  < min{Ωj} уравнение (5) имеет локализованное в пространстве решение в виде , (8) которое удовлетворяет условию исчезновения на бесконечности  0 при x   и где . (9) Подстановка (8) в нелинейное граничное условие приводит к дисперсионному соотношению . (10) Из дисперсионного соотношения (10) можно выразить амплитуду колебаний поля в плоскости дефекта: . (11) Как известно, для локализованного в пространстве решения уравнения (3) существует первый интеграл, представляющий собой сохраняющийся вдоль волновода поток энергии светового поля: . (12) Подставив (8) в (12), можно получить поток: . (13) Если воспользоваться (11) и исключить амплитуду из (13), то можно получить выражение для потока в виде . (14) В (13) и (14) подставляются зависимости (9). Видно, что, к примеру, для отталкивающего дефекта его нелинейность должна быть самофокусирующей. Для нелинейности внутри волновода керровского типа (когда J =02, а f [1] играет роль единичного оператора) с преобладающим нелинейным откликом при U0 = 0 из (14) получается следующая зависимость: . (15) Видно, что поток энергии волны обратно пропорционален величине нелинейного отклика дефекта. В случае, когда линейные показатели преломления по обе стороны от границы раздела сред одинаковы 1 = 2 = , что означает q1 = q2 = q, а нелинейность внутри волновода является керровской, то из (11) и (14) можно получить выражения для амплитуды колебаний поля в плоскости дефекта и потока , которые, с точностью до обозначений, совпадают с выражениями, полученными в [26]. В определенных случаях имеет смысл определить зависимость характеристик волны от амплитуды колебаний поля в плоскости дефекта. Тогда из дисперсионного соотношения (10) можно найти константу распространения, фактически определяющую зависимость показателя преломления от амплитуды колебаний поля в плоскости дефекта: . (16) Условие локализации светового поля вдоль волновода имеет следующий вид: . (17) Для случая одинаковых по обе стороны от волновода линейных показателей преломления можно получить величину пространственного затухания поля q = m(U0W0J), а зависимость (16) примет вид  =   m(U0 W0 J)2/2. Тогда условие локализации (17) можно записать так: J < U0 /W0. Поскольку было принято, что функция модели оптической нелинейности внутри волновода является положительной, то для локализации поля параметры дефекта должны иметь противоположные знаки. Другими словами, локализация поля возможна для «отталкивающего» дефекта при самофокусирующей нелинейности или для «притягивающего» дефекта при дефокусирующей нелинейности. Если дополнительно считать, что волновод характеризируется преобладающим нелинейным откликом, когда можно полностью пренебречь U0, то q = mW0 J и  =   m(W0 J)2/2. Видно, что локализация светового поля происходит вблизи самофокусирующего волновода. Также в рассматриваемом случае получается, что характерное расстояние локализации поля пропорционально коэффициенту нелинейности волновода: l = 1/q  W0. В противоположном предельном случае, когда волновод характеризируется пренебрежительно малым нелинейным откликом, когда можно полностью пренебречь W0, получается величина пространственного затухания поля q = mU0 и зависимость , соответствующая энергии связанного состояния в бесконечно глубокой потенциальной яме. Таким образом, предложенная модель в линейном пределе содержит хорошо известный результат для линейного уравнения Шредингера с потенциалом U = U0(x) [31]. Если рассматривать теперь малоамплитудные колебания поля, когда J 0 решение: (20) где A,   амплитуда и фаза пространственной стоячей волны соответственно, а волновое число k1 определяется соотношением . (21) Решение (20) удовлетворяет требованию исчезновения на бесконечности только в полупространстве при x  +. Поэтому состояния, описываемы функцией вида (20), можно называть полулокализованными. Подставив (20) в граничные условия (6) и (7), можно получить связь амплитуды колебаний поля в плоскости дефекта с параметрами стоячей волны (22) и дисперсионное соотношение . (23) Специальный случай  = 0 соответствует стоячей волне с амплитудой, совпадающей с амплитудой колебаний поля в плоскости дефекта: 0 = A. В этом случае из (23) можно получить амплитуду колебаний поля в плоскости дефекта: . (24) Из (24) следует уточнение для области существования полулокализованных состояний, которое зависит от знака нелинейного отклика волновода: 1) для самофокусирующего волновода ; 2) для дефокусирующего волновода Ω1 <  < . Если выбрать амплитуду колебаний поля в плоскости дефекта в качестве свободного параметра, то из дисперсионного соотношения (23) в рассматриваемом специальном случае  = 0 можно найти величину пространственного затухания поля q = 2m(U0W0 J), а также константу распространения: . (25) Видно, что условие существования полулокального состояния совпадает с полученным в предыдущем пункте условием полной локализации поля вдоль волновода с обеих его сторон J < U0 /W0. Также получается, что величина пространственного затухания поля полулокального состояния в 2 раза превышает значение данного параметра для локального состояния. Это означает, что для полулокального состояния характерная длина локализации в полупространстве в 2 раза меньше характерной длины локализации поля с обеих сторон волновода. Стоячие волны При  > max{Ωj} уравнение (5) имеет следующее решение: . (26) Здесь Aj, j  амплитуда и фаза пространственной стоячей волны (26) соответственно. Волновое число k1 задается (21), а k2 определяется аналогичным выражением: . Подставив (26) в граничные условия (6) и (7), можно получить связь амплитуды колебаний поля в плоскости дефекта с параметрами стоячей волны (26) (27) и дисперсионное соотношение . (28) Сначала рассмотрим случай одинаковых по обе стороны от волновода линейных показателей преломления, когда 1 = 2 = . Тогда k1 = k2 = k. В такой системе могут реализовываться симметричные состояния, для которых A1 = A2. Такие состояния, как следует из (27), могут возникать в двух случаях: 1) Если 1 = 2, то из (28) получается амплитуда колебаний поля в плоскости дефекта: . (29) 2) Если 1 = 2 = , то (28) примет вид . (30) В частном случае при  = /4 из (30) в явном виде можно получить зависимость константы распространения от амплитуды колебаний поля в плоскости дефекта: . (31) Видно, что состояние (26) с фазами 1 = 2 = /4 лежит в диапазоне значений  симметрично локализованному состоянию (8) относительно уровня . Также в рассматриваемой системе возможны несимметричные состояния при 1 2. К примеру, для несимметричных состояний с 1 =  и 2 = 0, как следует из (27), только одна из амплитуд стоячей волны совпадает с амплитудой колебаний поля в плоскости дефекта: 0 = A1cos = A2. В частности, при 1 = /4 и 2 = 0 из (28) получается зависимость константы распространения от амплитуды колебаний поля в плоскости дефекта: . (32) Видно, что состояние (26) с фазами 1 = /4 и 2 = 0 и константой распространения (32) лежит в диапазоне значений  симметрично полулокализованному состоянию (20) с константой распространения (25) относительно уровня . Для различных значений показателей преломления по разные стороны от волновода при 1  2 для равноамплитудных колебаний при 1 = 2 =  дисперсионное соотношение (28) примет вид . (33) В частном случае при  = /4 из (33) в явном виде можно получить зависимость константы распространения от амплитуды колебаний поля в плоскости дефекта: . (34) Для малоамплитудных колебаний поля при J Ω решение уравнения (3) ищется в виде (37) где амплитуда r связана с коэффициентом отражения: , (38) а амплитуда колебаний поля в плоскости дефекта 0 - с коэффициентом прохождения: . (39) Для упругого рассеяния коэффициенты отражения и прохождения связаны известным условием: R + T = 1. Подставив (37) в граничные условия (6) и (7), можно получить систему алгебраических уравнений для амплитуд рассеяния: ; (40) . (41) Видно, что данная система имеет решение 0 = 1, r = 0 при условии J = J0 = U0 /W0 (где J0 = f(1)), которое можно назвать резонансным. Из этого условия следует, что параметры дефекта должны быть связаны: U0 = W0 J0. Сопоставляя данное резонансное условие с условием локализации волны J < J0, можно рассматривать значение U0 = W0 J0 как точку бифуркации в пространстве параметров дефекта. Получается, что при выполнении J < J0 стоячие волны преобразуются в локализованные интерфейсные волны. Решение 0 = 1, r = 0 при резонансном условии описывает полное отражение волны от дефекта, когда T = 1, R = 0. В случае дефекта без нелинейного отклика, когда W0 = 0, такое полное прохождение при ненулевой мощности дефекта U0, а следовательно, и при ненулевой энергии невозможно. Поэтому полное прохождение волны при ненулевых параметрах дефекта может возникать только при учете нелинейных свойств дефекта. В случае плоского дефекта без нелинейного отклика, когда W0 = 0, из системы (40), (41) можно получить хорошо известный коэффициент отражения для задачи рассеяния короткодействующим дельта-функционным потенциалом [31]: , где qL0 = mU0. Как видно, такой R = 0 только при U0 = 0. Следовательно, учет нелинейного отклика границы раздела сред позволяет моделировать ее управляющие свойства, регулирующие перераспределение интенсивности светового потока по разные стороны от нее асимметричным образом. Заключение В данной работе в рамках простой одномерной модели нелинейного интерфейса, разделяющего линейные оптические среды, проанализированы все возможные типы возникающих стационарных состояний. Математическая формулировка модели представляет собой краевую задачу для стационарного УШ с нелинейным граничным условием. Проанализировано взаимодействие светового поля в линейной оптической среде с одним плоским волноводом, представляющим собой тонкую оптически прозрачную прослойку из нелинейной среды, которая интерпретируется как плоский дефект. Нелинейность внутри волновода рассмотрена в общем виде без конкретизации формы зависимости показателя преломления от интенсивности светового поля. Приведены физические примеры нескольких различных форм функции нелинейности. В работе описаны три вида стационарных состояний, разграничиваемых диапазонами значений константы распространения. Таким образом, подбирая показатели преломления сред, можно получать переходы от одного типа стационарного состояния к другому. Для локализованной вдоль интерфейса волны получено выражение для сохраняющегося потока ее энергии в виде зависимости P = P(). При необходимости в случае фиксации значения потока Р ее можно представить в виде  = (P), определяющем фактически зависимость показателя преломления среды от фиксированного потока. Показана возможность полного прохождения волны через плоский дефект и указаны условия реализации резонанса. Показано, что в случае дефекта без нелинейного отклика полное прохождение при ненулевой мощности дефекта U0, а значит, и при ненулевой энергии невозможно. На основании этого можно сделать вывод о том, что полное прохождение волны при ненулевых параметрах дефекта может возникать только при учете нелинейных свойств дефекта. Показанное в данной работе существование состояний, несимметрично распределенных в пространстве относительно границы раздела сред, является важным при разработке квантовых систем, основанных на свойствах нелинейных поверхностных волн в слоистых структурах. Системы подобного вида обладают широким набором важных физических приложений, применяющихся как в нелинейной динамике твердого тела, так и в нелинейной оптике [2] при разработке устройств с использованием нелинейных фотонных кристаллов и периодических волноводных структур [3]. Кроме того, резонансные особенности рассеяния волн границами раздела сред следует учитывать при определении управляющих свойств таких интерфейсов, для которых возможны переключения режимов пропускания и запирания потоков поля [32, 33].

Ключевые слова

nonlinear Schrödinger equation, energy flow, interface waves, localized states, interface, planar defect, нелинейное уравнение Шредингера, поток энергии, интерфейсные волны, локализованные состояния, граница раздела, плоский дефект

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Савотченко Сергей ЕвгеньевичБелгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шуховад.ф.-м.н., доцент, профессор каф. высшей математикиsavotchenkose@mail.ru
Всего: 1

Ссылки

Lan S. and Ishikawa H. // J. Appl. Phys. - 2002. - V. 91. - P. 2573-2577.
Савотченко С.Е. // Конденсированные среды и межфазные границы. - 2018. - Т. 20. - № 2. - С. 255-262.
Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика. - М.: Физматлит, 2001. - 304 с.
Tocci M.D., Bloemer M.J., Scalora M., et al. // Appl. Phys. Lett. - 1995. - V. 66. - P. 2324-2326.
Савотченко С.Е. // Письма в ЖЭТФ. - 2018. - Т. 107. - Вып. 8. - С. 481-483.
Savotchenko S.E. // Mod. Phys. Lett. B. - 2018. - V. 32. - No. 10. - Р. 1850120-12.
Герасимчук И.В. // ЖЭТФ. - 2015. - Т. 121. - Вып. 4. - С. 596-605.
Gerasimchuk I.V. // J. Nano- and Electron. Phys. - 2012. - V. 4. - No. 4. - P. 04024-1-4.
Kivshar Yu.S., Kosevich A.M., and Chubykalo O.A. // Phys. Rev. A. - 1990. - V. 41. - No. 3. - Р. 1677-1688.
Кившарь Ю.С., Косевич А.М., Чубыкало О.А. // ЖЭТФ. - 1987. - Т. 93. - Вып. 3(9). - С. 968- 977.
Savotchenko S.E. // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulation. - 2018. - V. 63. - No. 10. - Р. 171-185.
Савотченко С.Е. // ЖТФ. - 2017. - Т. 87. - Вып. 12. - С. 1776-1781.
Савотченко С.Е. // Конденсированные среды и межфазные границы. - 2017. - № 2. - С. 291-295.
Савотченко С.Е. // Изв. вузов. Физика. - 2001. - Т. 44. - № 4. - C. 67-73.
Савотченко С.Е. // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. - 2018. - № 1. - С. 44-52.
Савотченко С.Е. // Конденсированные среды и межфазные границы. - 2017. - Т. 19. - № 4. - С. 567-572.
Герасимчук И.В., Горобец Ю.И., Герасимчук В.С. // J. Nano- and Electron. Phys. - 2016. - Т. 2. - С. 02020-1-7.
Борисов А.Б., Киселев В.В. Нелинейные волны, солитоны и локализованные структуры в магнетиках. Т. 1. Квазиодномерные магнитные солитоны. - Екатеринбург, 2009. - 512 с.
Горенцвейг В.И., Кившарь Ю.С., Косевич А.М., Сыркин Е.С. // ФНТ. - 1990. - Т. 16. - № 11. - С. 1472-1482.
Kartashov Y.V., Malomed B.A., and Torner L. // Rev. Mod. Phys. - 2011. - V. 83. - P. 247.
Bludov Y.V., Smirnova D.A., Kivshar Yu.S., et al. // Phys. Rev. B. - 2014. - V. 89. - P. 035406(6).
Ахмедиев Н.Н., Корнеев В.И., Кузьменко Ю.В. // ЖЭТФ. - 1985. - Т. 88. - Вып. 1. - С. 107-115.
Sukhorukov A.A. and Kivshar Yu.S. // Phys. Rev. Lett. - 2001. - V. 87. - P. 083901.
Федоров Л.В., Ляхомская К.Д. // Письма в ЖТФ. - 1997. - Т. 23. - Вып. 23. - С. 36-39.
Усиевич Б.А., Нурлигареев Д.Х., Сычугов В.А. и др. // Квантовая электроника. - 2010. - Т. 40. - № 5. - С. 437-440.
Коровай О.В., Хаджи П.И. // ФТТ. - 2010. - Т. 52. - № 11. - С. 2277-2282.
Савотченко С.Е. // Изв. вузов. Физика. - 2004. - Т. 47. - № 5. - С. 79-84.
Давыдов А.С. Солитоны в молекулярных системах. - Киев: Наукова думка, 1984. - 288 с.
Косевич А.М., Ковалев А.С. Введение в нелинейную физическую механику. - Киев: Наукова думка, 1989. - 304 с.
Михалаке Д., Назмитдинов Р.Г., Федянин В.К. // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1989. - Т. 20. - № 1. - С. 198-253.
Нелинейности в периодических структурах и метаматериалах: сб. статей под ред. Ю.С. Кившаря, Н.Н. Розанова. - М.: Физматлит, 2014. - 371 с.
Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов. - М.: Физматлит, 2005. - 648 с.
Паняев С., Санников Д.Г. // Компьютерная оптика. - 2017. - Т. 41. - С. 183-191.
 Взаимодействие волн с дефектом, характеризующимся нелинейностью общего вида | Известия вузов. Физика. 2019. № 1.

Взаимодействие волн с дефектом, характеризующимся нелинейностью общего вида | Известия вузов. Физика. 2019. № 1.