Рассматривается гамильтонов формализм со связями расширенной теории Черна - Саймонса с высшими производными произвольного конечного порядка. Показано, что теория порядка n допускает ( n -1)-параметрическое семейство сохраняющихся тензоров. Выяснено, что такая теория допускает семейство канонически неэквивалентных гамильтоновых формулировок, причем в качестве гамильтониана может быть выбрана ноль-ноль-компонента любого сохраняющегося тензора. Каноническая гамильтонова формулировка Остроградского включена в это семейство. Мы также приводим пример взаимодействий с заряженным скалярным полем, сохраняющих выбранного представителя семейства гамильтоновых формулировок.
Stable interactions between extended Chern - Simons theory and charged scalar field with higher derivatives: Hamiltonian.pdf Введение Вопросы построения гамильтонова формализма в теориях с высшими производными исследуются на протяжении многих лет, начиная с работы Остроградского [1]. Для вырожденных теорий с высшими производными процедура построения гамильтонова формализма со связями была впервые предложена в работе [2]. На основе этой процедуры и ее различных модификаций изучались различные калибровочные теории, в том числе модели гравитации [3, 4]. Основной трудностью гамильтоновой теории, которая строится методом Остроградского и его обобщениями для вырожденных теорий, является неограниченность гамильтониана снизу, имеющая из-за этого известные трудности с устойчивостью динамики и последующим построением квантовой теории [5-7]. Альтернативные процедуры перехода в гамильтонов формализм, не опирающиеся на конструкцию Остроградского, были впервые рассмотрены в теории Пайса - Уленбека [8, 9]. В работе [10] показано, что каждая свободная теория с высшими производными допускает семейство канонически неэквивалентных гамильтонианов и скобок Пуассона, включающее канонического представителя. Явное построение семейства неканонических гамильтоновых формулировок в калибровочной полевой теории было впервые проведено в [11, 12], где изучалась расширенная теория Черна - Саймонса (ЧС) [13] третьего и четвертого порядков. В настоящей работе рассматривается гамильтонова формулировка для расширенной теории ЧС произвольного конечного порядка. Показывается, что свободная расширенная теория ЧС допускает (n-1)-параметрическое семейство гамильтоновых формулировок, причем в качестве гамильтониана может быть взята ноль-ноль-компонента произвольного представителя семейства сохраняющихся тензоров [14]. В работе также демонстрируется, что построенные ранее в [15] нелагранжевы вершины взаимодействия расширенной теории ЧС с заряженным скалярным полем сохраняют выбранный представитель в семействе гамильтонианов. Работа организована следующим образом: в п. 1 приводятся некоторые предварительные сведения о расширенной теории ЧС, в том числе выписывается явный вид уравнений движения и сохраняющихся тензоров. В п. 2 строится гамильтонова формулировка расширенной теории ЧС, вычисления здесь в значительной степени используют техники работы с матрицами Ганкеля и Безу, которые могут быть найдены, например, в [16]. В п. 3 рассматривается гамильтонова формулировка при наличии взаимодействий с заряженным скалярным полем. 1. Расширенная теория Черна - Саймонса порядка n Расширенной теорией Черна - Саймонса порядка n называется класс моделей векторного поля A = Aμ(x)dxμ, μ = 0, 1, 2, на трехмерном пространстве Минковского с функционалом действия: (1) где m - константа с размерностью массы; вещественные числа α1, …, αn - параметры модели, такие, что αn отлично от нуля; символы * и d обозначают оператор Ходжа и дифференциал де Рама. Сигнатура метрики Минковского принимается в основном отрицательной. Уравнения Лагранжа, вытекающие из функционала действия (1), имеют вид (2) Действие (1) и уравнения движения (2) инвариантны относительно стандартного градиентного калибровочного преобразования для поля A. Семейство сохраняющихся тензоров второго ранга в теории (1) построено в работе [14]. Наиболее общий представитель данного семейства записывается в следующем виде: (3) где числа α = (α1, …, αn) - параметры в лагранжиане; величины β = (β1, …, βn) - параметры семейства; использовано обозначение (4) при этом F(0)μ ≡ Aμ. Квадратная матрица Cr,s(α, β), r, s = 1, …, n, определяется производящим соотношением (5) где многочлены одной переменной M(z), N(z) степени n -1 имеют вид (6) Величина Cr,s(α, β) (5) известна как матрица Безу полиномов M(z), N(u) [16]. Отметим также, что многочлен (7) получающийся формальной подстановкой переменной z вместо оператора ЧС *d в уравнениях Лагранжа (2), называется характеристическим многочленом теории (1) [14]. Сохраняющиеся тензоры в модели (1) определяются как коэффициенты при параметрах β1, …, βn в серии (3): (8) По построению, T(1)μν(α) совпадает с каноническим тензором энергии-импульса теории (1), в то время как T(r)μν(α), r = 2, …, n -1, - новые независимые сохраняющиеся величины. Величина T(n)μν(α) (7) является линейной комбинацией других сохраняющихся тензоров в силу тождества (9) Мы сохраняем T(n)μν(α) для удобства включения взаимодействия. Разложение произвольного представителя серии (3) по базису независимых генераторов T(r)μν(α), r = 1, …, n -1 (7) имеет вид (10) Канонический тензор энергии-импульса всегда включен в серию (3), и он соответствует значениям параметров (11) в то время как другие значения параметров β1, …, βn в серии (3) определяют неканоническую сохраняющуюся величину. Ноль-ноль-компонента T00(α, β) сохраняющегося тензора (3) имеет вид (12) где i = 1, 2, и суммирование по повторяющемуся индексу подразумевается. Данная величина представляет собой квадратичную форму переменных (4) и является положительно определенной, если матрица Cr,s(α, β) (5) положительно определена. Возможность существования ограниченного представителя в семействе (12) определяется структурой корней характеристического многочле¬на (7): ограниченный сохраняющийся тензор существует, если все ненулевые корни характерис¬тического многочлена вещественны и различны, а нулевой корнень имеет кратность один или два [14]. В терминах полинома M(z) (6) достаточно потребовать, чтобы все его корни были вещественны и различны. Каноническая энергия теории (1) включена в серию (12) при значениях параметров (11), и она всегда является неограниченной величиной, если n > 2. 2. Гамильтонова формулировка расширенной теории Черна - Саймонса Покажем, что теория (1) допускает n -1-параметрическое семейство канонически неэквивалентных гамильтоновых формулировок, причем в качестве гамильтониана может быть выбран почти любой представитель семейства сохраняющихся величин (12). Для достижения заявленного результата мы сначала понизим порядок уравнений (2) до первого по производным по времени t = x0, а потом предъявим скобку Пуассона и гамильтониан, приводящие эти уравнения к гамильтоновой форме. Введем новые переменные, поглощающие производные по времени исходного векторного поля Aμ, используя пространственные компоненты один-форм F(r)i, i = 1, 2, r = 1, ..., n -1 (4). Тогда формулировка первого порядка по времени для теории (2) примет вид (13) (14) (15) (16) Эквивалентность уравнений (2) и (13) - (16) прослеживается следующим образом. Формулы (13) и (14) выражают вспомогательные переменные F(r)i, i = 1, 2, r = 1, ..., n -1, в терминах производных A. После того как все вспомогательные переменные исключены, (15) и (16) воспроизводят пространственную и временную часть уравнений движения (2). Отметим также, что в формализме первого порядка величина Θ (16) не вовлекает производных по времени и может рассматриваться как связь. Система уравнений первого порядка (13) - (15) является гамильтоновой, если существуют гамильтониан системы H(α, β) и скобка Пуассона { , }α,β, такие, что (17) Знак « ≈ » обозначает равенство левой и правой части соотношения по модулю связи Θ (16). Введение параметров β учитывает возможность существования нескольких различных гамильтоновых формулировок для одних и тех же уравнений. Мы выбираем гамильтониан теории в виде (18) где T00(α, β) - ноль-ноль-компонента (11) общего сохраняющегося тензора (3), выраженная в терминах фазовых переменных: (19) а Θ есть связь (16). Константы k0, k1, …, kn-1 введены в гамильтониан (18) из соображений удобства и будут в дальнейшем определены. Скобка Пуассона определяется из условия, что уравнения (13) - (15) имеют вид (17) с гамильтонианом (18), что равносильно системе уравнений относительно неизвестной скобки Пуассона и параметров k0, k1, …, kn-1: (20) (21) (22) Соотношения (20) - (22) представляют систему линейных уравнений на неизвестные элементы матрицы скобок Пуассона фазовых переменных F(r)i, i = 1, 2, r = 0, ..., n -1. В классе независящих от полей пуанкаре-инвариантных скобок Пуассона решение этой системы имеет следующий вид: (23) (24) (25) Параметры k0, k1, ..., kn-1 определяются формулами (26) В (23) - (26) величина γ является свободным параметром; M r,s(α, β) обозначает присоединенную матрицу к матрице Безу Cr,s(α, β) (5): (27) Решение (23) - (26) уравнений (20) - (22) хорошо определено, если (28) Условия совместности (28) уравнений (20) - (22) имеют простую физическую интерпретацию. Первое соотношение равносильно невырожденности квадратичной формы гамильтониана (18). Второе соотношение гарантирует, что связь Θ (16) генерирует калибровочные симметрии для векторного потенциала A. Проверка решения (23) - (26) уравнений (20) - (22) использует соотношения (29) (30) Эти условия выполнены, так как присоединенная матрица к матрице Безу Cr,s(α, β) (5) является матрицей Ганкеля, построенной по полиномам (6). Доказательство этих утверждений может быть найдено в [16]. Формулы (17), (18), (23) - (26) определяют семейство гамильтоновых формулировок для расширенной теории ЧС (1). Произвольный представитель этого семейства определяется 2n +1 параметрами α1, …, αn, β1, …, βn, γ. Величины α1, …, αn определяют параметры модели (1), числа β1, …, βn-1 задают представителя в семействе законов сохранения (3), который будет назначен гамильтонианом. Величины βn, γ являются вспомогательными: βn всегда может быть поглощена переопределением параметров β1, …, βn-1, константа γ определяет конкретного представителя в классе экивалентности скобок Пуассона (23) - (25). Скобки Пуассона физических наблюдаемых не зависят от значения γ. Общее количество независимых параметров, приводящих к неэквивалентным гамильтоновым формулировкам в модели (1), равно n -1, так что раширенная теория ЧС допускает (n -1)-параметрическое семейство гамильтоновых формулировок. Для всех допустимых значений параметров в гамильтониане скобка Пуассона есть невырожденный тензор: (31) В этом случае уравнения Гамильтона (13) - (16) следуют из принципа наименьшего действия для функционала: (32) Симплектическая форма Ωr,s(α, β) определяется производящим соотношением (33) где M (z) есть характеристический многочлен (7) теории (1) n, а N (z) дается формулой (34) Для получения соотношений (33), (34) нужно использовать формулу обращения матрицы Ганкеля скобок Пуассона из [16]. Совокупность формул (32) - (34) позволяет систематически восстанавливать симплектическую структуру при условии, что задан гамильтониан теории. Каноническая гамильтонова формулировка Остроградского [1] воспроизводится формулами (18), (32) - (34) при следующих значениях параметров в гамильтониане: (35) Действие первого порядка при этом имеет вид (36) где T(0)00(α) - ноль-ноль-компонента канонического тензора энергии-импульса, и по умолчанию подразумевается, что αr = 0 для всех r > n. Каноническое гамильтоново действие (36), очевидно, не эквивалентно общему представителю семейства (32), так как канонический гамильтониан всегда не ограничен снизу, в то время как в общем случае ограниченные представители допустимы. 3. Взаимодействия с заряженным скалярным полем В работе [16] были предложены следующие вершины взаимодействия расширенной теории ЧС (1) с заряженным скалярным полем φ = Re φ(x) + i Im φ(x) с высшими производными: (37) Здесь β1, …, βn, e1, ..., eN - константы взаимодействия, а также использованы следующие обозна¬чения: (38) Параметры ρa, a = 1, ..., N, теории комплексного скалярного поля неотрицательны и попарно различны. Ковариантная производная определена неминимальным образом: (39) Действие ковариантной производной на комплексно сопряженное скалярное поле дается комплексным сопряжением этого выражения. Калибровочнная симметрия теории (37) имеет вид (40) Сохраняющийся тензор в теории (37) определен соотношением (41) где Tμν(α, β) обозначает величину (3). Формулировка первого порядка для теории (37) имеет следующий вид: (42) (43) (44) ; (45) ; (46) (47) Здесь величины F(r)i, i = 1, 2, r = 1, ..., n -1 (4), φ(a), a = 1, ..., N (38), и π(a), a = 1, ..., N, есть новые вспомогательные переменные, поглощающие производные исходных векторного и скалярного полей. Все вспомогательные переменные исключаются из уравнений (42) - (47), после чего полученная система совпадает с исходными уравнениями с высшими производными. Отметим также, что в формализме первого порядка величина Θ (47) не вовлекает производных по времени и может рассматриваться как связь. Уравнения (42) - (46) являются гамильтоновыми в смысле (17) по отношению к гамильтониану (48) где T00(α, β) определено в (18). Скобка Пуассона фазовых переменных определяется соотношением (49) (50) (51) (52) Выражения (49) - (52) хорошо определены, если (53) Первая пара соотношений гарантирует невырожденность гамильтониана в свободном приближении, в то время как третье условие обепечивает наличие калибровочного U(1)-преобразования для скалярного поля. Возможность β1 = 0 представляется специальной и не рассматривается в дальнейшем. Таким образом, показано, что почти все построенные в [15] взаимодействия допускают гамильтонову формулировку. Данная гамильтонова формулировка не является канонически эквивалентной формулировке Остроградского, так как исходные уравнения нелагранжевы. Проиллюстрируем общую конструкцию гамильтоновой формулировки на примере расширенной теории ЧС порядка 3, взаимодействующей с заряженным безмассовым скалярным полем. В этом случае уравнения движения (37) имеют вид (54) где e = e1 - константа взаимодействия; ковариантная производная определена соотношением (55) Формулировку первого порядка (42) - (47) для уравнений (54) можно записать так: (56) (57) (58) ; (59) ; (60) (61) Тогда гамильтониан (48) примет следующий вид: (62) Скобки Пуассона (49) - (52) фазовых переменных определяются соотношениями (63) (64) (65) (66) (67) (68) Здесь использовано обозначение (69) Гамильтониан (62) и скобки Пуассона (63) - (66) хорошо определены всякий раз, когда (70) При φ = π = e = 0 динамика векторного поля отщепляется и формулы (56) - (58), (62) - (67) воспроизводят один из допустимых представителей в семействе гамильтоновых формулировок для свободной расширенной теории ЧС третьего порядка [11]. Таким образом, устанавливается соответствие с ранее полученными результатами. Заключение В настоящей работе показано, что свободная расширенная теория Черна - Саймонса поряд¬ка n является мультигамильтоновой и допускает (n-1)-параметрическое семейство канонически неэквивалентных гамильтоновых формулировок, причем в качестве гамильтониана может быть выбрана ноль-ноль-компонента любого представителя семейства сохраняющихся тензоров. Для некоторых параметров модели среди допустимых гамильтонианов содержатся ограниченные, в то время как в других случаях гамильтониан всегда не ограничен. В компактном виде условие ограниченности гамильтониана эквивалентно требованию положительной определенности матрицы Cr,s(α, β) (5). Каноническая гамильтонова формулировка содержится в построенном семействе, и её гамильтониан всегда снизу не ограничен. На взаимодействующем уровне показано, что класс нелагранжевых вершин взаимодействия с заряженным скалярным полем, найденный в [15], сохраняет уникальный представитель семейства симплектических структур, чьи параметры фиксированы значениями констант связи. Это позволяет сохранить устойчивость динамики и возможность последовательного квантования теории на взаимодействующем уровне.
Ehrhardt T. and Rost K. // Linear Algebra and Its Applications. - 2013. - V. 439. - P. 621-639.
Abakumova V.A., Kaparulin D.S., and Lyakhovich S.L. // arXiv: 1811.10019 [hep-th].
Kaparulin D.S., Karataeva I.Yu., and Lyakhovich S.L. // Eur. Phys. J. C. - 2015. - V. 75. - P. 552.
Deser S. and Jackiw R. // Phys. Lett. B. - 1999. - V. 451. - P. 73-76.
Абакумова В.А., Капарулин Д.С., Ляхович С.Л. // Изв. вузов. Физика. - 2017. - Т. 60. - № 12. - С. 40-47.
Kaparulin D.S., Lyakhovich S.L., and Sharapov A.A. // Eur. Phys. J. С. - 2014. - V. 74. - P. 3072.
Abakumova V.A., Kaparulin D.S., and Lyakhovich S.L. // Eur. Phys. J. С. - 2018. - V. 78. - P. 115.
Bolonek K. and Kosinski P. // Acta Phys. Polon. B. - 2005. - V. 36. - P. 2115-2131.
Damaskinsky E.V. and Sokolov M.A. // J. Phys. A. - 2006. - V. 39. - P. 10499.
Smilga A.V. // Int. J. Mod. Phys. A. - 2017. - V. 32. - P. 1730025.
Tomboulis E.T. // Mod. Phys. Lett. A. - 2015. - V. 30. - P. 1540005.
Pavsic M. // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. - 2016. - V. 13. - P. 1630015.
Kluson J., Oksanen M., and Tureanu A. // Phys. Rev. D. - 2014. - V. 89. - P. 064043.
Ohkuwa Y., Ezawa Y., and Templeton S. // Eur. Phys. J. Plus. - 2015. - V. 77. - P. 130.
Ostrogradski M.V. // Mem. Acad. St. Petersburg. - 1850. - V. 6. - P. 385-517.
Гитман Д.М., Ляхович С.Л., Тютин И.В. // Изв. вузов. Физика. - 1983. - Т. 26. - № 3. - С. 61- 66.