Entropy group in the parastatistics of quantum non-extensive systems.pdf Введение Исследования в области неэкстенсивной статистической механики с параметрическими энтропиями, зависящими от полунормы распределения, приобретают все большую значимость в связи с новизной возникающих здесь теоретических проблем и важностью приложений [1-4]. В работах [5-7] на основе метода квантовых состояний Бозе [8] в парастатистике [9] изучаются спонтанные и вынужденные переходы в неэкстенсивных системах и эволюция параметрических энтропий и информаций различия. В дополнение этих работ представляется необходимым подробно исследовать свойства группы неэкстенсивных энтропий, дать алгебраическое и матричное представления, приводящие к закону композиции с квадратичной нелинейностью. Также в развитие метода квантовых состояний Бозе возникает возможность его расширения, что и является целю настоящей работы. 1. Квантовая энтропия в расширенной парастатистике Следуя методу квантовых состояний Бозе [8], рассмотрим совокупность частиц с состояниями , где - число состояний. Система описывается статистикой состояний с и , означающей, что в i-состоянии находятся частиц, количество которых ограничено снизу и сверху. Для неэкстенсивных систем справедливы следующие соотношения для i-состояния [5]: , (1) соответственно среднее число частиц запишется так: . (2) Взвешенные (или полные) значения произвольной дискретной физической величины и для совокупности частиц даются равенствами ; (3) . (4) Для каждого i-состояния в методе Бозе имеет место нормированное распределение . (5) Квантовая энтропия представляется в виде [5] , (6) где определена микроскопическая энтропия , (7) свойства которой приводятся в работе [6]. При из (7) - (10) вытекают аддитивные логарифмические меры ; (8) (9) с известными выражениями в методе Бозе [8] ; (10) . (11) Запишем полунорму произвольной физической величины , (12) где усреднение производится ненормированным распределением с весом . Тогда среднее взвешенное значение энтропии является функцией полунормы распределения: . (13) Не останавливаясь на свойствах полунормы распределения , рассмотрим равновесное состояние системы. Для краткости вычислений остановимся на аддитивных системах. Нормированное равновесное распределение (14) вытекает из экстремума энтропии (8) при вариации с условиями сохранения общего значения энергии, числа частиц и числа состояний: . (15) Здесь - температура; - химический потенциал. Используем равенство , (16) в итоге среднее значение частиц имеет следующее значение: . (17) При из (17) вытекает известное выражение [9] . (18) При других значениях имеют место другие формулы для среднего значения частиц. 2. Группа энтропий и их свойства Пусть общая система описывается распределением для двух независимых систем. Тогда из (6) следует неаддитивный закон композиции группы энтропий с квадратичной нелинейностью (19) для , , с . Закон композиции (14) обладает свойством коммутативности , ассоциативности , имеется единичный элемент и обратный элемент . Единичному элементу абелевой группы соответствует значение , а обратный элемент обозначается как . Из свойства вытекает выражение для обратного элемента , , (20) не равного противоположному элементу . Подставим в определение сопряженного элемента значение для обратного элемента и получим . Это свойство означает, что элементы группы энтропий являются самосопряженными. Используя закон композиции и приведенные свойства, находим ряд равенств для элементов группы: (21) Определение n-й степени элемента в виде позволяет получить квадрат элемента: . (22) Решая уравнение (22), находим «квадратный корень» элемента : . (23) Взаимосвязь этих элементов определяется соотношением . (24) В общем случае справедлив закон композиции энтропий . (25) Приведем простой абстрактный вывод явного вида закона композиций элементов энтропий. Запишем закон в виде (26) и, используя условие коммутативности в (26), получим соотношение , (27) накладывающее ограничение на функции (28) с постоянным числом . Подставляем значение в (26) и получаем закон композиции (19). Значение энтропии не является элементом группы, так как обратный элемент неопределенный ввиду нарушения определения (20). Однако выполняется формальное соотношение , (29) что подтверждает инвариантность величины для всех независимых систем. При из приведенных результатов вытекают свойства энтропии (8) для аддитивных систем с законом композиции . 3. Представления группы энтропий Для алгебраического представления абелевой группы средних энтропий рассмотрим комформно-обобщенное гиперкомплексное число [10] , (30) где вещественные числа 1 и есть компоненты, базисные элементы и и комформный множитель . В (25) базисный элемент не выписан. Закон композиции базисных элементов определяется следующим образом: (31) и имеет свойства коммутативности и ассоциативности. Запишем композицию двух чисел (32) и групповые свойства комформного множителя (33) Из (32) следует закон композиции (19), который также представляется в виде равенства . (34) Сопряженный элемент и модуль комформно-обобщенного гиперболического числа имеют следующий вид: ; (35) . (36) Из равенства вытекает обратное число . (37) Для чисел и справедливы соотношения , (38) а для нормированных чисел с обратное число равняется сопряженному . Далее дифференцируем функцию и с учетом закона композиции (19) и свойств комформного множителя (33) находим исходное уравнение , (39) которое имеет одинаковый вид для энтропий , и . Поэтому вводится постоянная , которая может зависеть от постоянной . Интегрируя уравнение (39) с условием при , получаем значение функции и соответствующие соотношения ; (40) ; (41) . (42) Равенство (34) позволяет ввести гиперболический угол и найти среднее взвешенное значение энтропии . (43) С учетом (13) и из (43) получим выражение гиперболического угла , (44) равного квантовому аналогу энтропии Реньи в парастатистике [11]. Из (41) и (42) вытекают формулы для гиперболического числа, его модуля и обратного элемента: ; (45) . (46) В обратном элементе числа угол меняется на противоположный . Для независимых систем имеем сумму . Перейдем к краткому описанию матричного представления абелевой группы средних энтропий. Каждой энтропии из множества энтропий сопоставляется матрица из множества матриц второго порядка, и, следовательно, группа матриц изоморфна представляемой группе. Не останавливаясь на подробном выводе, запишем, согласно [10], матрицу в виде , (47) которая сопоставляется конформно-обобщенному числу (30). Умножение матриц дает закон композиции энтропий (19) (48) Умножение матриц коммутативно и ассоциативно . Из равенства вытекает обратная матрица . (49) Для нормированных чисел из (46) вытекает равенство и соответственно имеем следующую матрицу: . (50) Заключение В работе определена абелева группа квантовых параметрических средних энтропий, зависящих от полунормы распределения. Даются геометрическое и матричное представления данной группы с законом композиции с квадратичной нелинейностью. Рассмотрено некоторое обобщение парастатистики аддитивных систем, которое в частном случае приводит к известному выражению для среднего значения частиц в i-состоянии.

Скачать электронную версию публикации