Spontaneous gauge symmetry breaking in Bianchi type III and VIII metrics.pdf Введение Эффект спонтанного нарушения калибровочной симметрии в искривлённом пространстве-времени представляет интерес тем, что даёт механизм возникновения ненулевых масс элементарных частиц, являющийся следствием кривизны пространства-времени, обусловленной существованием материи во Вселенной [1-3]. Кроме того, данный эффект позволяет связать единые калибровочные теории слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий с возможным изменением геометрии на малых расстояниях. В большинстве из этих теорий спонтанное нарушение симметрии вводится искусственно путем приписывания мнимого значения голой массы хиггсовской частице. При этом существенно, что скалярное поле описывается уравнением с конформной связью, а слагаемое со скалярной кривизной играет роль, аналогичную квадрату мнимой массы и собственно приводит к спонтанному нарушению симметрии. Сам эффект связан не столько со знаком кривизны, сколько с отрицательностью чисто пространственной кривизны открытых космологических моделей. Например, несмотря на спонтанное нарушение симметрии имеет место в открытой фридмановской модели с веществом, удовлетворяющим ультрарелятивистскому уравнению состояния В [1] описано самодействующее комплексное скалярное поле в открытой модели Фридмана с плотностью лагранжиана (1) обладающей калибровочной инвариантностью при В моделях закрытого типа спонтанное нарушение симметрии происходит при Если, как обычно, обозначить за |0> основное вакуумное состояние в картине Гейзенберга в начальный момент то из пространственной однородности следует отличное от нуля вакуумное среднее, которое может зависеть лишь от времени. Вследствие С-инвариантности состояния |0> величина g вещественна. Отличие q от нуля означает спонтанное нарушение калибровочной симметрии. В [1] показано, что такое нарушение действительно происходит в открытом пространстве Фридмана. Слабая, но всё же существующая анизотропия излучения реликтового фона, а также другие обстоятельства, рассмотренные рядом авторов в [4-6], вызывают интерес к анизотропной космологии. В данной работе исследованы условия возникновения данного эффекта в однородных, но не изотропных моделях. Нарушение симметрии в метрике III типа Бьянки Метрика данного типа имеет следующий вид: (2) Рассмотрим самодействующее комплексное скалярное поле в искривленном пространстве с метрикой (2), удовлетворяющее уравнению , (3) где - скалярная кривизна, которое получается из плотности лагранжиана (1), инвариантной относительно калибровочных преобразований вида Обозначим |0> гейзенберговское вакуумное состояние, определенное при t = tpl. Из пространственной однородности (2) вытекает, что если вакуумное среднее отлично от нуля, то оно может зависеть только от t: q(t). (4) Вследствие С-инвариантности состояния |0> величина q - вещественна. Отличие q от нуля означает спонтанное нарушение калибровочной симметрии. При этом в ходе усреднения (3) по состоянию |0> предполагается в древесном приближении . (5) Усредненное уравнение (3) для метрики (2) примет следующий вид: (6) Исследуем эффект спонтанного нарушения симметрии скалярного поля в пространстве-времени с метрикой (2) в двух случаях: 1) При R(t) = const, а следовательно, и постоянном q из (6) получаем (7) Предпочтительность выбора решений q2,3  0 из соображений минимума энергии дает возможность выявить спонтанное нарушение калибровочной симметрии. В этом случае несимметричное вакуумное состояние |0> энергетически более выгодно, чем симметричный вакуум. Используем метрический тензор энергии-импульса для скалярного поля : (8) где - тензор Риччи; - единичный тензор. Вакуумная плотность энергии для данной модели равна (9) (10) (11) Так как рассматривается космологическая модель, где R и M - постоянные, то за счет варьирования параметров источников гравитационного поля можно менять , тогда эффект спонтанного нарушения симметрии будет при условии (12) Таким образом, энергетически более выгодным будет несимметричное вакуумное состояние 0> (q  0), что означает спонтанное нарушение симметрии вакуума. 2) При R(t) = vt, M = 0 (13) (14) Тогда из уравнения (6) получаем , (15) которое после замены имеет вид (16) Замена даёт уравнение Дюффинга (17) с неустойчивым решением и устойчивыми Им соответствуют вакуумные средние и (18) Обсудим теперь вопрос о предпочтительности вакуумного состояния |0> с энергетической точки зрения. Подставив (18) в выражение (8) и учитывая также, что R(t) = vt, M = 0, получим (19) При выполнении условия (20) вакуумная плотность энергии E(q2;3) отрицательна. Таким образом, так же как и в предыдущем случае, энергетически более выгодным будет несимметричное вакуумное состояние |0>, и ненулевые решения (18) соответствуют перестройке вакуума в состояние с нарушенной калибровочной симметрией. Нарушение симметрии в метрике VIII типа Бьянки Метрика имеет вид (21) где - элементы диагональной лоренцевой матрицы; - ортонормированные 1-формы при этом 1-Формы представляют собой следующие выражения: (22) Если в рамках общей теории относительности построить космологическую модель с расширением и вращением с метрикой типа VIII по Бьянки и в качестве источника взять анизотропную жидкость, то, как было показано в работах [7, 8], кинематические характеристики модели принимают следующий вид: - параметр расширения, - ускорение, - параметр вращения. Аналогично случаю, рассмотренному выше, введем тогда в древесном приближении полевое уравнение (3) примет вид . (23) Исследуем эффект спонтанного нарушения симметрии скалярного поля в пространстве-времени с метрикой (21) в двух случаях: 1) При R(t) = const, а следовательно, и постоянном q из (23) получаем (24) При усреднении тензора энергии-импульса (8) по состоянию |0> вакуумная плотность энергии Е для метрики (21) будет аналогична (9). Для R(t) = const имеем (25) при условии также для существования действительных q2,3 должно быть т.е. (26) 2) При R(t) = vt, M = 0 (27) (28) Из (23) получаем уравнение , (29) которое имеет неустойчивое решение q1 и устойчивые q2, q3: и (30) Энергия устойчивого состояния (31) Если то условие нарушения симметрии имеет вид . (32) Таким образом, так же как и в предыдущем случае, энергетически более выгодным будет несимметричное вакуумное состояние |0>, и ненулевые решения (30) соответствуют перестройке вакуума в состояние с нарушенной калибровочной симметрией.

Скачать электронную версию публикации