Изучено резонансное взаимодействие упругой пластины с обтекающим ее воздушным потоком, приводящее к развитию ветровой неустойчивости. Получено и исследовано дисперсионное уравнение изгибных колебаний. Найдены условия усиления и непропускания изгибных волн. Для имеющей конечные размеры и шарнирно опирающейся по краям пластины, находящейся в обтекающем ее воздушном потоке, определен спектр комплексных собственных частот колебаний. Получены оценки основных параметров ветровой неустойчивости.
Resonant interaction of air flow with bending vibrations of a finite elastic plate.pdf Введение Изучению взаимодействия упругой пластины с обтекающим ее дозвуковым или сверхзвуковым потоком газа, плазмы или жидкости посвящено большое количество работ [1-7]. Интерес к этому вопросу связан с проблемой панельного флаттера в аэродинамике летательных аппаратов, а также с некоторыми проблемами строительной механики и гидромеханики. Так, в работе [1] исследуется устойчивость бесконечной упругой пластины в сверхзвуковом потоке газа при наличии пограничного слоя, который образуется на поверхности пластины. Изучено влияние вязких и температурных возмущений пограничного слоя при больших, но конечных числах Рейнольдса на поведение бегущих волн. В [2] рассматривается вывод уравнения колебаний пластины, находящейся в ламинарном потоке. Форма характерных колебаний представлена в виде дуги окружности с изменяющейся кривизной. Работа [3] посвящена построению и исследованию математической модели автоколебаний аэродинамического профиля в потоке среды. Предложена программа, позволяющая проводить численные исследования устойчивости состояния покоя для исследуемой модели. При проведении теоретических расчетов авторы обычно рассматривают бесконечную пластину, обтекаемую однородным воздушным потоком [4]. Лишь в работах [1, 5, 6] предполагается, что вблизи поверхности бесконечной пластины формируется пограничный слой, а следовательно, течение носит сдвиговый характер. Колебания пластин, имеющих конечные размеры, ввиду существенной сложности данной задачи изучаются в основном численными методами [7]. В настоящей работе впервые построена и изучена математическая модель ветровой неустойчивости (ВН) изгибных колебаний конечной упругой пластины, находящейся в сдвиговом воздушном потоке. ВН возникает вследствие резонанса между изгибной волной и резонансным слоем в потоке , где его скорость совпадает с фазовой скоростью волны [5, 6]. Как будет показано ниже, существует глубокая аналогия между ВН и резонансным взаимодействием волн и частиц в плазме, содержащей электронный пучок. В работе также получено и исследовано дисперсионное уравнение для шарнирно опирающейся по краям пластины, находящейся в обтекающем ее воздушном потоке. Целью работы является определение спектра комплексных собственных частот колебаний пластины. Наличие хотя бы у одной собственной частоты положительной мнимой части означает неустойчивость состояния покоя пластины в потоке. Получены оценки основных параметров ВН. 1. Постановка задачи Предположим, что имеющая толщину и ширину пластина расположена перпендикулярно к оси Z, размеры вдоль оси Y не ограничены (рис. 1). В невозмущенном состоянии поверхность пластины совпадает с плоскостями . Уравнение, описывающее вынужденные колебания пластины, находящейся в натекающем на нее со скоростью несжимаемом воздушном потоке, имеющем плотность , имеет вид , (1) где - вертикальное смещение точек нейтральной поверхности пластины; - плотность материала; жесткость пластинки при изгибе; - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона [5, 6, 8]. Вынужденные колебания происходят под действием разности давлений воздуха на ее противоположные стороны. Компоненты смещения в плоскости XY являются величинами второго порядка малости по сравнению с и потому полагаются равными нулю [8]. Рис. 1 Предположим, что возмущенные величины в газе имеют вид волны , бегущей вдоль оси х и т.п., волновое число, - комплексная частота колебаний. При амплитуда колебаний пластины нарастает с течением времени, а величина представляет собой инкремент ВН. Воздушный поток считаем квазиламинарным. В такой модели движение воздуха является плоскопараллельным, а при исследовании его малых колебаний пренебрегается вязкостью и нелинейными эффектами, т.е. используется уравнение Рэлея [9]. В то же время профиль скорости невозмущенного течения вдали от края пластины выбирается такой, который реализуется для средней скорости турбулентного пограничного слоя над гладкой твердой поверхностью - так называемый логарифмический пограничный слой. На краях шарнирно опирающейся пластины выполняются условия Навье: при . 2. Уравнение Рэлея Выражая из системы уравнений газодинамики давление в потоке через перпендикулярную к невозмущенному течению компоненту скорости , находим , . (2) Здесь - плотность газа; - вертикальное смещение точек, штрихом обозначена производная по . Величина , входящая в (2), удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка, называемому уравнением Рэлея: (3) где - малая добавка, определяющая правило Ландау - Линя обхода особой точки при [1, 5, 6]. Целью работы является определение спектра возможных комплексных частот колебаний пластины . В дальнейшем будем предполагать, что резонансные слои находятся на достаточно большом расстоянии от пластины, так что выполняются условия . 3. Дисперсионное уравнение изгибных колебаний бесконечной пластины Предположим вначале для простоты, что пластина имеет бесконечно большую ширину Считая, что и на возмущенной поверхности пластины выполняется граничное условие , из (1) и (2) получаем дисперсионное уравнение для поверхностных волн: . (4) Величины , которые входят в (4), могут быть записаны в виде . Из (4), учитывая, что плотность потока намного меньше плотности пластины , определяем вещественную и мнимую части частоты колебаний: (5) Для определения величин , входящих в (5), построим уравнение, комплексно сопряженное к уравнению Рэлея: (6) Умножая далее (3) на , а (6) на , вычитая (6) из (3) и интегрируя полученный результат по от до и от до , находим (7) Подставляя (7) в (5) и полагая в дальнейшем, что , для малых длин изгибных волн , амплитуда которых, согласно (3), убывает в основном экспоненциально с удалением от пластины, из (5) находим (8) Наличие у дисперсионного уравнения (4) корней в верхней -полуплоскости означает, что пластина неустойчива по отношению к малому начальному возмущению в виде плоской волны, которое возрастает с течением времени экспоненциальным образом. В реальности любое начальное возмущение представляет собой волновой пакет, имеющий конечные размеры в пространстве, с компонентами Фурье в виде плоских волн. 4. Усиление и непропускание изгибных волн Выше была рассмотрена задача о развитии во времени возмущения, заданного в пространстве в начальный момент времени. Компоненты Фурье такого возмущения характеризуются вещественными значениями волновых векторов и комплексными частотами , определяемыми из дисперсионного уравнения (4). В то же время существует и другая постановка задачи об устойчивости возмущения, которое создается в некотором участке пространства по заданному временному закону. Фурье-разложение такого возмущения содержит компоненты с вещественными частотами , а их распространение в пространстве определяется волновыми векторами , получающимися при решении дисперсионного уравнения относительно [9]. При этом комплексными оказываются не частоты, а волновые векторы. Комплексность может означать усиление волн потоком при их распространении от источника. Рассмотрим источник, локализованный вдоль оси Y, включаемый в момент времени и создающий затем монохроматическое возмущение с частотой . Найдем асимптотическое выражение для возмущения вдали от источника при . Если возмущение оказывается возрастающим, по крайней мере, по одну сторону от источника, то имеет место его усиление потоком. Предполагая, что вещественная часть правой части (4) определяется в основном первым слагаемым, находим (9) где . Подставляя в (9) получаем (10) Вертикальное смещение точек пластины (11) Как видно из (11), если , то имеет место экспоненциальный рост амплитуды волны с удалением от источника в области , что соответствует усилению изгибных возмущений пластины потоком. Заметим, что данное условие имеет простой физический смысл. Жидкие частицы, движущиеся в окрестности резонансной точки и обгоняющие волну, отдают ей энергию. Частицы, отстающие от волны, наоборот, ее отбирают. Усиление волны происходит при условии, что первых частиц будет больше, чем вторых. Для несжимаемой жидкости число частиц, приходящихся на элемент , будет пропорционально . Таким образом, на интервал скоростей [ , ] приходится частиц, где некоторая положительная постоянная. Видно, что роль функции распределения по скоростям играет [9]. Рост функции распределения вблизи точки , необходимый для развития ВН, осуществляется при выполнении условия . Обратим внимание на существенную аналогию между резонансным взаимодействием изгибных волн со сдвиговым течением жидкости и резонансным взаимодействием плазменных волн и частиц в плазме (резонанс Ландау). При наличии в плазме пучка электронов функция распределения по скоростям имеет дополнительный максимум. Волны, фазовая скорость которых лежит вблизи данного максимума, там, где , раскачиваются пучком электронов из-за преобладания частиц, движущихся быстрее волны. Очевидно, что если , то возмущение стремится к 0 при и имеет место непропускание. 5. Неустойчивость конечной пластины Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости пластины, имеющей конечную ширину, когда спектр ее собственных колебаний определяется граничными условиями на краях. Спектр частот в этом случае дискретен, и если хотя бы одна из них имеет положительную мнимую часть, то имеет место неустойчивость системы. Пусть решение дисперсионного уравнения для колебаний неограниченной пластины (10). Собственные колебания конечной пластины можно рассматривать как результат наложения бегущих волн, отраженных от двух ее краев. Волна, распространяющаяся в положительном направлении оси X от левого края , имеет вид . После отражения от правого края изгибная волна распространяется против оси X. Здесь коэффициент трансформации зависит от закона трансформации изгибных волн на правой границе. После второго отражения от левой границы получаем волну, распространяющуюся вправо , где коэффициент трансформации волны на левой границе. Ввиду однозначности функции , приравнивая и , находим (12) Равенство (12) определяет спектр частот колебаний конечной пластины [10] и представляет собой их дисперсионное уравнение. Представляя собственные частоты колебаний пластины в виде , где , и заменяя , из (10) получим (13) Для волны, распространяющейся в обратном направлении, усиление потоком отсутствует . Кроме волновых чисел существуют, очевидно, еще два корня дисперсионного уравнения (9): так что в общем случае вертикальное смещение точек пластины может быть представлено в виде (14) Отражение, вообще говоря, сопровождается взаимным превращением колебаний, относящихся к различным ветвям спектра. Поэтому бегущая волна заданной частоты представляет собой суперпозицию всех ветвей. Но вдали от границ основной вклад в каждую волну дает лишь один из членов суперпозиции [10]. Заметим, что вклад последних двух слагаемых в (14) вдали от краев пластины является несущественным. Подставим далее и в (12): (15) Соотношение (15) служит для определения вещественной и мнимой частей частоты изгибных волн, которые зависят от значения коэффициентов трансформации и , определяемых граничными условиями. Рассмотрим для примера шарнирно опирающуюся по краям пластину, для которой, как известно, выполняются краевые условия Навье: при В этом случае деформация пластины определяется суперпозицией только первых двух слагаемых в (14): , (16) где (17) Предположим, что вблизи поверхностей пластины вдали от ее края в потоке формируется логарифмический пограничный слой [9]. Данное выражение справедливо для ( - вязкость жидкости, , - сила трения, действующая на единицу площади поверхности пластинки). Непосредственно к пластине прилегает тонкая прослойка жидкости ( ), называемая вязким подслоем, в котором профиль скорости линейный: . Резонансный слой, определяемый условием , находится внутри логарифмического слоя. Вычисляя производные в (17), находим (18) Соотношение (18) справедливо, когда инкремент неустойчивости , т.е. для достаточно больших n. 6. Оценки основных параметров ветровой неустойчивости Для оценки частоты и инкремента колебаний алюминиевой пластины, помещенной в воздушный поток, воспользуемся следующими значениями параметров: , предполагая, что , , . Находим жесткость пластинки при изгибе , частоту изгибных колебаний для волновое число длину волны положение резонансного слоя инкремент неустойчивости ; частоту изгибных колебаний для волновое число длину волны положение резонансного слоя инкремент неустойчивости . С ростом номера инкремент быстро убывает, так что развитие ветровой неустойчивости определяется тремя первыми модами Заключение В работе исследовано резонансное взаимодействие упругой пластины со сдвиговым течением газа, приводящее к нарастанию ее изгибных колебаний вследствие развития ветровой неустойчивости. Получены следующие основные результаты: 1. Найдены условия усиления и непропускания изгибных волн. 2. Впервые исследована ветровая неустойчивость упругой пластины, имеющей конечные размеры. 3. В общем виде получено дисперсионное уравнение изгибных колебаний конечной пластины. 4. Определен спектр комплексных собственных частот колебаний для шарнирно опирающейся по краям пластины, находящейся в обтекающем ее воздушном потоке. 5. Получены оценки вещественной и мнимой частей частот изгибных колебаний.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. Х. Физическая кинетика. - М.: Наука, 1979. - 527 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986. - 736 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. - 246 с.
Культина Н.Ю., Новиков В.В., Панченко Ю.Ю. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2013. - № 3(1). - С. 155-158.
Гестрин С.Г., Сергеева Е.К. // Изв. вузов. Физика. - 2011. - T. 54. - № 3. - С. 89-94.
Miles J.W. // J. Aerospace Sci. - 1959. - V. 26. - No. 2. - P. 81-93.
Гестрин С.Г., Сальников А.Н. // Изв. вузов. Физика. - 2007. - Т. 50. - № 7. - С. 77-80.
Беляков Д.В. // Int. J. Open Inform. Technol. - 2016. - V. 4. - No. 4. - Р. 54-57.
Бунякин А.В., Егорычев О.О., Ковальчук О.А., Дорошенко С.А. // Вестник МГСУ. - 2010. - № 4. - С. 207-211.
Бондарев В.О., Веденеев В.В. // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2017. - № 6. - С. 89- 107.