Nonquasi-static p-n-junction model without user-defined recursion.pdf Введение Известно, что классическая SPICE-модель полупроводникового диода неудовлетворительно описывает процесс накопления и релаксации неравновесных носителей заряда, который происходит при открывании и обратном восстановлении диода соответственно [1]. Это связано с тем, что количество заряда неравновесных носителей qд рассчитывается по безынерционной (квазистатической) формуле qд = T i(t), (1) где i(t) - описываемый вольт-амперной характеристикой (ВАХ) ток электропроводности; T - время жизни неравновесных носителей заряда. Данная формула содержит внутреннее противоречие - с одной стороны, подвижность неравновесных носителей заряда полагается конечной, так как учитывается конкретное значение времени жизни. С другой стороны, по (1) получается, что при ступенчатом появлении тока i(t) заряд неравновесных носителей мгновенно достигает установившегося значения, а при ступенчатом исчезновении i(t) - мгновенно обнуляется. Последнее обстоятельство не соответствует действительному поведению p-n-переходов, в особенности в режиме обратного восстановления. Экспериментально установлено, что после ступенчатого возникновения или исчезновения тока i(t) (тока электропроводности, описываемого ВАХ) диффузионный заряд меняется экспоненциально [1]. Поэтому работающие в соответствии с (1) SPICE-модели дают большую погрешность в импульсных режимах работы диодов и биполярных транзисторов. Основная идея для усовершенствования модели (1), изложенная во многих работах, состоит в замене алгебраического уравнения (1) на дифференциальное следующего вида [2, 3]: qд(t) = T i(t) - τд dqд(t)/dt, (2) где τд - постоянная времени релаксации диффузионного заряда. Основной недостаток такого формального описания qд состоит в том, что последнее уравнение не является разрешенным относительно qд (в отличие от (1)). При компьютерной реализации модели p-n-перехода уравнение (2) разрешается при помощи рекурсивного алгоритма. Реализовать его на пользовательском уровне (без специального взаимодействия с симулятором) довольно сложно. Результатом изложенного недостатка является практическое отсутствие неквазистатических компьютерных моделей в библиотеках элементов, поставляемых крупными производителями полупроводниковых приборов. Кроме того, по индукции формула (2) может быть расширена только в классе линейных дифференциальных уравнений конечного порядка с соответствующим усложнением формы записи. Цель работы - предложить и исследовать компактное обобщение формулы (2) на класс линейных преобразований произвольного порядка, допускающее простой переход к соответствующей эквивалентной схеме без определяемых пользователем рекурсий. 1. Обобщенная модель заряда неравновесных носителей На наш взгляд, начальное обобщение формулы (2) целесообразно давать в форме свертки [4]: qд(t) = T h(t)  i(t), (3) где  - символ свертки; h(t) - импульсная характеристика, определяющая произвольное линейное преобразование тока электропроводности через диод в заряд неравновесных носителей. Такое соотношение в компактной форме охватывает дифференциальные уравнения любого порядка, а также учитывает возможные временные задержки между возникновением прямого тока диода и накоплением неравновесных носителей заряда. Отметим, что формула (1) является частным случаем формулы (3). Если h(t) будет представлять собой дельта-функцию, что соответствует безынерционному линейному преобразованию, то (3) сводится к (1). 2. Аппроксимация линейного преобразования тока электропроводности в заряд неравновесных носителей Формула (3) дает общую модель линейного преобразования тока электропроводности в заряд неравновесных носителей. В принципе, ей можно пользоваться и непосредственно, если определить из эксперимента и табулировать функцию h(t). Однако для построения эффективных компьютерных моделей лучше использовать некоторую параметризованную аналитическую аппроксимацию h(t), соответствующую физике накопления и релаксации неравновесных носителей заряда. Для физического анализа и аппроксимации динамики заряда неравновесных носителей проще использовать режим обратного восстановления, когда ток электропроводности через p-n-переход ступенчато прерывается. Ток через p-n-переход в этом режиме обусловлен только разрядом барьерной и диффузионной емкостей диода. Известно, что неравновесные носители заряда либо экстрагируются из областей, где они накапливались в прямом смещении (электроны из p-области, дырки из n-области), либо рекомбинируют в них [5, 6]. Экспериментально в процессе обратного восстановления наблюдаются две фазы: быстрая начальная и медленная завершающая [6]. Обе фазы имеют простой экспоненциальный характер. В [6] быструю фазу связывают с процессом экстракции, а медленную - с процессом рекомбинации. Основная часть неравновесных носителей заряда (по нашим наблюдениям примерно 70- 80 %) релаксирует в течение начальной фазы. Поскольку завершающая фаза еще и на порядок медленнее, то ток на завершающей фазе составляет примерно 2-3 % от тока на начальной фазе восстановления. Поэтому достаточно хорошая неквазистатическая модель p-n-перехода получается уже при аппроксимации процесса релаксации неравновесных носителей заряда единственной экспоненциальной функцией. В работе [6] такие модели называются моделями уровня 2 (уровню 1 соответствуют квазистатические SPICE-модели). Для использованного в настоящей работе формализма экспоненциальная аппроксимация применяется к функции h(t). В этом случае получается h(t) = (1/τэ) exp(-t/τэ), (4) где τэ - постоянная времени экстракции неравновесных носителей заряда. 3. Представление неквазистатической модели диода в виде эквивалентной схемы Эквивалентные схемы неквазистатических моделей диода в соответствии с формулой (2) приводятся в некоторых работах [3, 7]. Однако эти схемы носят чисто формальный характер - в параллельной схеме замещения диода включается источник тока величиной dqд(t)/dt. Если данную эквивалентную схему «собрать» в какой-либо системе автоматизированного проектирования, то ее симуляция будет невозможной, поскольку средствами самой эквивалентной схемы не указан способ вычисления qд(t). Работоспособную эквивалентную схему можно получить, если реализовать h(t) как импульсную характеристику некоторой линейной электрической цепи. Передаточные свойства линейных электрических цепей проще анализировать в частотной области. Формула (4) в частотной области будет иметь вид H(ω) = 1/(1 + jωτэ). Для того чтобы формальная эквивалентная схема была ближе к существу формулы (3), под входным параметром линейной цепи лучше понимать ток i(t). Откликом линейной цепи (двухполюсника) при этом будет напряжение на нем. Безразмерная H(ω) при этом записывается в виде H(ω) = Z(ω)/R, где R - сопротивление двухполюсника на постоянном токе. Не уменьшая общности эквивалентной схемы, всегда можно принять R = 1 Ом. Таким образом, эквивалентная электрическая цепь должна иметь импеданс Z(ω) = R/(1 + jωτэ). Такой импеданс имеет параллельная RC-цепь, емкость конденсатора в которой с точностью до размерности равна τэ, если R = 1 Ом. В итоге неквазистатическая эквивалентная схема p-n-перехода (уровень 2) имеет вид, представленный на рис. 1. На схеме введен источник тока, управляемый током (ИТУТ), в качестве развязывающего буфера. Реализующая неквазистатические свойства модели параллельная RC-цепь состоит из резистора сопротивлением 1 Ом и конденсатора емкостью, численно равной τэ. Так как откликом RC-цепи является напряжение на ней, далее включен источник заряда, управляемый напряжением (ИЗУН). Коэффициент преобразования ИЗУН (Кл/В) устанавливается численно равным времени жизни неравновесных носителей заряда. На выходе ИЗУН получается значение заряда неравновесных носителей. Далее выходной заряд ИЗУН подается параллельным образом в схему замещения p-n-перехода. Кроме того, в схеме учитывается барьерная емкость p-n-пере¬хода Cб и его последовательное сопротивление Rs. Рис. 1. Неквазистатическая эквивалентная схема p-n-перехода (уровень 2) Все элементы представленной на рис. 1 эквивалентной схемы имеются в библиотеках современных систем автоматизированного проектирования (САПР). Поэтому данная схема может быть реализована на пользовательском уровне в виде подсхемы без специального взаимодействия с внутренней структурой САПР. Отметим, что обнуление постоянной времени τэ (емкости соответствующего конденсатора) на рис. 1 приводит к обычной квазистатической SPICE-модели p-n-перехода (уровень 1). 4. Экстракция параметров неквазистатической модели p-n-перехода Большинство параметров неквазистатической модели p-n-перехода определяется обычным образом из ВАХ и вольт-фарадной характеристик (ВФХ) p-n-перехода [8]. Из ВАХ определяются параметры нелинейного источника тока на рис. 1: ток насыщения Is и коэффициент неидеальности N, входящие в известную формулу , где q - заряд электрона; k - постоянная Больцмана; T - температура. Для примера эти параметры определены для быстровосстанавливающегося диода 2Д510 производства АО «НИИПП» (г. Томск). Для него получается Is = 1.9 нА, N = 1.7. Кроме того, из ВАХ определяется последовательное сопротивление Rs как дифференциальное сопротивление в области больших токов. Для выбранного диода 2Д510 оно составляет 0.59 Ом. Из ВФХ определяются параметры барьерной емкости Cб: емкость при нулевом смещении Cj0, контактная разность потенциалов Vj и градиентный коэффициент M, входящие в формулу . Для диода 2Д510 перечисленные параметры получились следующими: Cj0 = 1.78 пФ, Vj = 0.97 В, M = 0.06. Время жизни неравновесных носителей заряда определяется в соответствии с (1). Для этого через p-n-переход пропускается прямой постоянный ток (10 мА для выбранного диода 2Д510). Затем ток ступенчато прерывается и на p-n-переход подается обратное напряжение (-10 В) по цепи с заданным общим сопротивлением (100 Ом). Ток в этой цепи регистрируется. На рис. 2 кривая 1 изображает ток диода 2Д510 в описанном тесте, зарегистрированный осциллографом Agilent DSO9254A. Интегрированием данной кривой (от момента нулевого тока) определено изменение заряда диода в течение представленного переходного процесса. Для выбранного диода 2Д510 оно составило -77 пКл. Часть этого заряда обусловлена зарядом барьерной емкости. Барьерная емкость Cб выбранного диода при напряжении U = -10 В составляет 1.5 пФ. Отсюда заряд барьерной емкости qб = CбU = -15 пКл. Оставшаяся часть заряда (-62 пКл) обусловлена экстракцией неравновесных носителей заряда. Таким образом, qд = 62 пКл. Теперь по формуле (1) определяем время жизни неравновесных носителей заряда с учетом того, что прямой ток составлял 10 мА. Получаем T = 6.2 нс. Рис. 2. Ток обратного восстановления диода 2Д510: кр. 1 - эксперимент; кр. 2 - неквазистатическая модель (уровень 2); кр. 3 - квазистатическая модель Параметр неквазистатической модели τэ в принципе можно определить из постоянной времени экспоненциального спада тока, представленного кривой 1 на рис. 2. Сделать это, однако, проблематично, поскольку на эту же постоянную времени влияет и заряд барьерной емкости. Поэтому τэ определена путем минимизации невязки экспериментальной кривой 1 на рис. 2 и результатов расчета на компьютерной модели, реализованной по представленной на рис. 1 схеме. Для выбранного диода 2Д510 минимальная невязка получилась при τэ = 0.45 нс. 5. Реализация неквазистатической модели p-n-перехода в системе автоматизированного проектирования Представленная на рис. 1 эквивалентная схема реализована в САПР NI AWR Design Environment (рис. 3), имеющей все необходимые элементы для данной схемы. Элемент PNCAP реализует нелинейную барьерную емкость p-n-перехода, элемент PNIV - вольт-амперную характеристику. Представленный на рис. 1 резистор сопротивлением 1 Ом на рис. 3 отнесен к элементу CCCS (управляемый током источник тока, резистор R2). Источник заряда, управляемый напряжением, реализует элемент DYN_VCQS. Параметры изображенной на рис. 3 модели соответствуют вышеприведенным параметрам диода 2Д510. В целом, схема реализована в САПР в виде подсхемы и устанавливается в схемы верхнего уровня с обычным условным графическим обозначением диода. Результат компьютерного моделирования по представленной на рис. 3 схеме приведен на рис. 2 (кривая 2). Тестовое воздействие выбрано максимально близким к условиям физического эксперимента: прямой ток составлял 10 мА, обратное напряжение -10 В, сопротивление тестовой цепи 100 Ом. Длительность переключения от прямого тока к обратному напряжению составляла 350 пс (близко к параметрам использованного в эксперименте генератора тестовых сигналов). Рис. 3. Неквазистатическая модель диода (уровень 2) в системе NI AWR Design Environment Сопоставляя кривые 1 и 2 на рис. 2, можем видеть хорошее соответствие модели и эксперимента. Экспоненциальный характер модельного тока обратного восстановления говорит о корректном функционировании неквазистатической модели. Для примера кривой 3 на рис. 2 показана форма тока, которую дает квазистатическая модель того же диода. Данная кривая получается, если емкость СAP на рис. 3 приравнять к нулю. Видно, что форма и длительность тока обратного восстановления представляются квазистатической моделью с большой погрешностью. Судя по рис. 2, в отношении быстровосстанавливающегося диода 2Д510, как правило, будет достаточно неквазистатической модели уровня 2, учитывающей только быструю фазу релаксации неравновесных носителей заряда. При необходимости учесть еще и медленную фазу, на схеме рис. 3 достаточно между ИТУТ и ИЗУН включить не одну параллельную RC-цепь, а две последовательно включенных параллельных RC-цепи. Это может быть полезно, например, в целях диагностики качества технологического процесса изготовления диода. Заключение Существующие неквазистатические модели p-n-переходов представляют заряд неравновесных носителей в виде дифференциального уравнения, не разрешенного относительно этого заряда. Численно решение такого уравнения ищется с использованием рекурсивного алгоритма, реализовать который в готовых САПР на пользовательском уровне весьма затруднительно. В данной работе исследована модель заряда неравновесных носителей, представленная в форме свертки тока электропроводности диода с некоторой функцией, характеризующей динамику изменения заряда неравновесных носителей. На электрической эквивалентной схеме это соответствует пропусканию тока электропроводности через определенную линейную цепь. Такая эквивалентная схема легко реализуется в современных САПР на уровне пользователя (в виде подсхемы). Большинство параметров в рассмотренной эквивалентной схеме экстрагируются из результатов измерения обычным образом (как и в квазистатических моделях). В неквазистатической модели уровня 2 (учитывающей только быструю фазу обратного восстановления) только один параметр (постоянная времени экстракции) требует специфического алгоритма экстракции. Непосредственное определение этого параметра из результатов измерения затруднительно, так как сопоставимую постоянную времени дает взаимодействие барьерной емкости p-n-перехода с сопротивлением внешней цепи. Целесообразно и эффективно определять постоянную времени экстракции заряда, минимизируя невязку экспериментального и модельного тока обратного восстановления p-n-перехода. Реализованная в САПР NI AWR Design Environment неквазистатическая модель показывает хорошее качество моделирования тока обратного восстановления p-n-перехода. Представленная модель может быть легко модифицирована таким образом, чтобы отражать несколько экспоненциальных процессов релаксации в p-n-переходе.

Скачать электронную версию публикации