Cosmological and quantum solutions of Navier - Stokes equation.pdf Введение Известно, что формальным и содержательным аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера, так как многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях. Естественно ожидать, что классическое уравнение диффузии может иметь квантовое решение. Такое квантовое решение классического нелинейного уравнения диффузионного типа найдено в [1], а в работе [2] решено дифференциальное уравнение классической механики, описывающее первоатом Ньютона. Предварительный анализ показывает, что квантовое решение имеют и уравнения Максвелла - Лоренца. В работе [1] разработано совершенно новое направление, названное «диффузионно-шредингеровской квантовой механикой», основанное на существовании квантовых решений уравнений классической физики. В диффузионно-шредин¬геровской квантовой механике вместо постоянной Планка автоматически возникает ее диффузионный аналог . Разработанные теоретические основы нового научного направления представляют интерес для широкого круга исследователей и могут найти применение в различных областях науки и техники. Диффузионно-шредингеровская квантовая механика может стать базовым формализмом для квантовой биологии, синтетической биологии, медицины, квантовой теории сознания, биологической электроники, квантового компьютера, геометродинамики. Полученные результаты являются фундаментальной основой второй квантовой революции. Естественно ожидать, что и векторное уравнение Навье - Стокса также может иметь квантовые решения. Проблема сингулярности решений уравнения Навье - Стокса аналогична известной проблеме коллапса атома, которая была решена путем его квантования. Поэтому проблема существования и гладкости решений уравнения Навье - Стокса может быть решена путем поиска его квантовых решений. В этой связи найдем квантовые решения уравнения Навье - Стокса. 1. Однородное нестационарное решение уравнения Навье - Стокса Описывающее движение вязкой жидкости векторное уравнение движения Навье - Стокса имеет вид , (1) где - оператор набла; - векторный оператор Лапласа; - время; D - коэффициент кинематической вязкости, имеющий размерность коэффициента диффузии м2/с;  - плотность; P - давление; V - вектор скорости; f - вектор силы, действующей на частицу - элементарный объем; - масса частицы - элементарного объема. Найдем однородное нестационарное решение уравнения (1). Для такого решения уравнение (1) превращается в уравнение Ньютона , (2) где нестационарная потенциальная сила . Для потенциала уравнение (2) можно представить в форме уравнения на собственные значения (3) где безразмерный оператор эволюции , - безразмерная потенциальная функция; - безразмерная величина. Например, в случае потенциальной функции при решение уравнения (3) и условие квантования имеют известный вид , , (4) где , - полином Эрмита; - константа интегрирования; - постоянный единичный вектор; - гидродинамический аналог постоянной Планка. Решение (4) удовлетворяет условию сохранения тока , где . Уравнение (3) инвариантно относительно преобразования , где - произвольная константа. Поэтому константа интегрирования может иметь любую размерность и интерпретацию. Константу интегрирования найдем из дополнительных условий задачи Коши и задачи на собственные значения (3). Тогда, с одной стороны, решение уравнения (3) можно представить в виде , где имеющая размерность длины константа определяется начальным условием . При этом для каждой траектории пучка траекторий начальное значение Соответственно размерный коэффициент можно представить в виде . Каждая траектория является решением дифференциального уравнения со своим значением параметра . Поэтому любая траектория согласуется с теоремой существования и единственности дифференциального уравнения (3). С другой стороны, решение (4) можно представить в форме , где константа определена по квантовому правилу квадрата модуля , так что . Это означает, что функция является волновой функцией, которая в общем случае является комплексной функцией. Квадрат абсолютного значения волновой функции будем интерпретировать как плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке на траектории в данный момент времени . Тогда - вероятность того, что частица будет обнаружена на участке траектории на любом промежутке времени конечной величины . Следует отметить, что существование квантового решения уравнения Ньютона связано с тем, что в сечении пространственно-временной поверхности потенциальной энергии произвольной плоскостью потенциал является гармоническим относительно пространственной переменной: . По теореме Эренфеста для гармонического относительно пространственной переменной одномерного осциллятора квантовое уравнение движения Гейзенберга для величины, усредненной по начальному состоянию, тождественно уравнению Ньютона. Уравнение (3) инвариантно не только относительно преобразования , но и относительно преобразования , где - случайная величина. Например, случайная величина, распределенная по нормальному закону, моделируется выражением , где - математическое ожидание, - среднеквадратическое отклонение, - генератор случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке . Модель для нормального закона можно получить по методу обратной функции. Решая равенство относительно переменной, получим . Подставляя в это выражение , получим соответствующую модель. Для биномиального распределения , где индикатор - случайная величина числа появлений события в каждом отдельном испытании, - вероятность появления события А в каждом отдельном испытании, - число испытаний; случайное событие А состоит в том, что наугад поставленная на единичном отрезке точка окажется левее точки , единичная функция Для равномерного распределения на отрезке случайная величина . Такой подход может быть использован для моделирования хаотических течений, если определяемые через начальные условия константы интегрирования дифференциального уравнения связать со случайной величиной. Очевидно, однородная квантовая скорость удовлетворяет условию «несжимаемости» - непрерывности . Используя известное равенство , можно найти средний квадрат квантовой скорости , (5) где . Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что однородная квантовая скорость глобально определена, является глобально гладкой функцией и экспоненциально убывает при , а квантовая кинетическая энергия глобально ограничена . Для внешней силы , решение уравнения (3) имеет известный вид , где - обобщенный многочлен Лагерра порядка , - константа интегрирования. При , условие квантования определяется равенством , из которого следует условие квантования , которое при совпадает с условием квантования энергии частицы в кулоновском потенциале . Для ангармонического по временной переменной потенциала уравнение (2) в безразмерных переменных сводится к уравнению (6) где , . Делая замену переменной , из (6) найдем . (7) Решение уравнения будем искать в виде . Тогда для определения функции получим уравнение . Решение и условие квантования уравнения (7) имеют вид , . Здесь - обобщенный многочлен Лагерра порядка , . Таким образом, для функции окончательно имеем . (8) Пространственный аналог решения (8) возникает в квантовой геометродинамике и описывает первоатом Леметра - Фридмана [3], который является фундаментальной основой атомной модели квантовой теории гравитации и Большого взрыва. В макромире возможны и спиновые эффекты. Например, для силы уравнение (8) становится матричным , где ; - единичная матрица; - константа; , . Функции могут описывать два возможных состояния собственного момента: . Первое состояние соответствует случаю, когда спин направлен по оси z, второе - случаю, когда спин направлен против оси z. Математическая модель со спином может соответствовать жидкости в однородном магнитном поле, направленном по оси z . При этом , константа , где - напряженность магнитного поля, - величина собственного магнитного момента частицы. Существование квантовых решений и возможность спиновых эффектов в классической физике означает, что и для классической системы может нарушаться неравенство Белла. Квантовые эффекты ньютоновской механики могут быть исследованы экспериментально, например по излучению заряженной жидкости (ртути) либо плазмы (пылевой, газовой). Например, решение (4) при ( - поверхностная плотность энергии; - квант поверхностной плотности энергии) может соответствовать пульсирующей капле ртути [4]. Известно, что если каплю ртути поместить в сосуд с раствором серной кислоты H2SO4 с небольшим количеством дихромата калия K2Cr2O7 и коснуться поверхности ртути кончиком металлического стержня, то тогда капля ртути начинает пульсировать, напоминая бьющееся сердце. Механизм пульсаций объясняется следующим образом: когда ртуть помещают в раствор серной кислоты с дихроматом калия, капля ртути окисляется и на ее поверхности образуется пленка сульфата ртути Hg2SO4 (2Hg + SO42- => Hg2SO4 + 2e-). Положительно заряженные ионы хрома на поверхности капли ртути (Cr2O72- + 14H+ + 6e- => 2Cr3+ + 7H2O) вызывают уменьшение поверхностного натяжения. В результате капля растекается под действием силы тяжести. Как только капля ртути касается кончика металлического стержня, то ртуть, железо и раствор образуют гальваническую цепь, в которой течет ток, разряжающий каплю. При этом сульфат ртути восстанавливается до металла (Hg2SO4 + + 2e- => 2Hg + SO42-), а железо растворяется (Fe => Fe2+ + 2e-). Поверхностное натяжение возрастает, капля «собирается», разрывая контакт с металлическим стержнем. После этого процессы повторяются заново. Из описания эксперимента видно, что в эксперименте бьющегося сердца поверхностная энергия капли ртути является переменной величиной из-за нестационарности поверхностного заряда. Это означает, что пульсацию капли ртути можно осуществить, индуцируя переменный заряд на поверхности капли переменным внешним электрическим полем без использования химических процессов. Очевидно, одномерное дифференциальное уравнение классической механики описывает смещение частиц поверхности капли ртути от положения равновесия . Из (2) видно, что ускорение отлично от нуля и, следовательно, ускоренное движение заряженной частицы капли ртути должно сопровождаться излучением основного тона , интенсивность которого определяется соотношением , где , так что при . (9) Из (9) видно, что из-за квадратичной формы правой части ускорения излучение является квадрупольным и дискретным. При и радиочастотном значении частотного параметра излучение лежит в рентгеновском диапазоне . Следует отметить, что при уравнение (2) имеет трехмерное классическое решение спирального типа , где - константы. Существуют и другие двумерные спиральные решения. Записанное в полярных координатах с учетом закона сохранения момента импульса уравнение траектории движения частицы в центральном поле сводится к известному интегралу траектории , где , , - момент инерции. Для потенциала из интеграла траектории нетрудно получить, что при частица совершает движение по раскручивающейся спирали: Здесь ; ; . Нетрудно показать, что при возможно неустойчивое движение по окружности радиуса , а при траектория представляет собой спираль ( - константа интегрирования), приближающуюся с внешней стороны к окружности радиуса При траектория является спиралью приближающейся с внутренней стороны к окружности радиуса 2. Неоднородное стационарное решение уравнения Навье - Стокса Для того чтобы уравнение (1) свести к уравнению от одной безразмерной переменной, решение уравнения (1) будем искать в виде , имеет размерность волнового числа . Тогда . (10) Для того чтобы избавиться от нелинейного члена в уравнении (1), используем логарифмическую производную. Тогда с помощью логарифмической производной и с учетом (10) уравнение (1) на функцию сводится к уравнению , (11) где вместо постоянной Планка автоматически возникает ее гидродинамический аналог , а стационарная сила является потенциальной: . Здесь - безразмерная функция; - константа размерности энергии; давление ; функция может иметь любую размерность и любой физический смысл (например, вероятностный смысл), так как уже величина имеет размерность скорости. При , , уравнение (11) на координатную функцию принимает вид стационарного уравнения Шредингера , (12) которое можно представить в безразмерном виде , (13) где . Уравнение (1) имеет множество квантовых решений, так как для каждой потенциальной функции существует свое квантовое решение уравнения (13). Например, в случае неограниченной потенциальной ямы описывающее ограниченное движение частицы решение уравнения (13) и условие квантования имеют известный вид , , (14) где - полином Эрмита, константа интегрирования может быть определена по квантовому правилу квадрата модуля , так что , а волновая функция является безразмерной функцией. При условие квантования энергии принимает стандартный вид , где - частотный параметр внешнего поля. Тип энергетического спектра определяется видом потенциальной функции . Решение (14) показывает, что во внешнем поле каждый элементарный объем сплошной среды может быть атомом, линейный размер которого при кинематической вязкости , равен а его масса . Это означает, что в определенном внешнем поле сплошная среда может быть совокупностью таких экзотических атомов. Такие экзотические атомы можно обнаружить, например, на заряженной поверхности ртути либо в ее парах по их излучению в диапазоне . На этой основе может быть создан квантовый преобразователь радиочастот внешнего поля (возможно, упругого происхождения) в рентгеновское и γ-излучение. Источником такого излучения могут быть пылевые и газовые облака во Вселенной, Солнце и другие звезды различного типа. В рассмотренной математической модели имеет место квантовое уравнение непрерывности , где квантовые плотности тока и вероятности , , , сопряженное решение является решением аналога комплексно-сопряженного уравнения обычной квантовой механики . Если в соответствии с уравнением непрерывности плотность вероятности переопределить как , то решение уравнения (11) может быть нормируемым условием . Решение (14) не зависит от постоянной Планка , так как она не входит в уравнение (12). Поэтому в данном теоретическом исследовании принцип соответствия квантовой механики не имеет смысла. В квантовой физике наблюдаемой величиной является не решение уравнения Шредингера , а ее квадратичная форма либо выступающий в роли скалярного произведения определитель Вронского в случае непрерывного спектра. Аналогично, при вероятностной интерпретации функции наблюдаемой величиной является не решение уравнения (1), а являющаяся квадратичной формой квантовая скорость , удовлетворяющая граничным условиям по пространственной переменной при любом и конечному условию по временной переменной . Квантовая скорость имеет нужную размерность , так как волновая функция является безразмерной. Из уравнения непрерывности следует, что квантовая скорость удовлетворяет квантовому аналогу так называемого условия «несжимаемости» - непрерывности , где ток вероятности . Это означает, что решение описывает несжимаемую жидкость. С учетом разделения переменных в решении средний квадрат квантовой скорости не зависит от времени и равен . Здесь . Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что квантовая скорость глобально определена, является глобально гладкой функцией и экспоненциально убывает при , а квантовая кинетическая энергия глобально ограничена . В случае потенциального барьера энергетический спектр является непрерывным, а решениями уравнения (12) являются функции параболического цилиндра . Квантовые явления имеют место и в этом случае. В работе [2] показано, что вероятность туннелирования сквозь потенциальный барьер совпадает с вероятностью туннелирования планковской частицы в квантовой геометродинамике. Поэтому возможна геометродинамическая интерпретация этой вероятности. Например, при планковских значениях параметров г и , вероятность туннелирования с точностью до третьего знака после запятой совпадает с постоянной тонкой структуры , так что эту постоянную можно интерпретировать как вероятность, определяемую математическими константами . Константу же можно интерпретировать как величину, учитывающую небольшое отличие значения числа в сверхсильном гравитационном поле черных дыр или в ранней Вселенной от его современного значения . Соответствующее относительное отклонение равно . Это означает, что постоянная тонкой структуры «голого» электрона является вероятностью рождения заряда без заряда и реальной массы и в так называемой тонкой структуре математических констант может содержаться информация о взаимодействиях материи, что может быть использовано для решения проблемы потери информации в черных дырах. В случае глобально ограниченной силы и соответствующей потенциальной функции решение уравнения (11) и условие квантования энергии имеют вид , , где . Для такой потенциальной функции существует решение с непрерывным спектром . При этом возникает аналог квантового эффекта прохождения над «потенциальной ямой» с вероятностью . При определенном значении параметра прохождение над ямой происходит без отражения . В случае периодической функции энергетический спектр может иметь зонную структуру. Следует отметить, что при уравнение (11) имеет нестационарное решение броуновского типа , удовлетворяющее граничным условиям и начальному условию (т.е. при ). Относительно броуновского решения уравнение (11) является уравнением непрерывности где ; - плотность вероятности перехода из начального положения в точку в момент времени ; . Так как то это означает, что броуновское решение описывает сжимаемую жидкость. 3. Космологическое решение уравнения Навье - Стокса В космологии, основанной на релятивистской теории гравитации, космологическая среда (звезды, галактики, скопления галактик, космическая пыль, космический газ…) интерпретируется как жидкость. Поэтому естественно ожидать, что уравнение Навье - Стокса может иметь космологическое решение. Будем искать классическое решение уравнения (1) в хаббловском виде для гравитационной силы: где - объемная плотность массы. Для такого решения , . Чтобы избавиться от нелинейного члена , представим временную функцию через логарифмическую производную , . Тогда при уравнение (1) примет простой вид , (15) где . Дополним уравнение (1) уравнением непрерывности . Из уравнения непрерывности следует, что . Тогда из уравнения (15) с учетом нетрудно получить уравнение . (16) Если функцию отождествить с масштабным фактором, то уравнения (15) и (16) совпадают с уравнениями Фридмана, описывающими на современном этапе эволюцию однородной изотропной и пространственно-плоской Вселенной. Решение уравнений (15), (16) имеет вид . Решение не является всегда непрерывным, так как точка является точкой разрыва второго рода для плотности . Если учесть релятивистские эффекты, то в уравнении следует сделать замену , а в уравнении непрерывности - . Тогда система уравнений (15), (16) имеет всегда гладкое решение: , [5]. Для такого решения Это решение показывает, что «темная» энергия с положительной плотностью и с отрицательным постоянным давлением изменяет изотропное условие энергодоминантности и устраняет космологическую сингулярность ( при ), так как для такой космологической среды не работает теорема Пенроуза [6] и при , при . Такое решение согласуется с данными наблюдений, свидетельствующими о том, что величина Хаббла увеличивается со временем . Аналогичное решение существует и в релятивистской теории гравитации (РТГ) со связями Логунова [3]. Это означает, что с учетом релятивистских эффектов уравнение Навье - Стокса может иметь глобально гладкое классическое решение. Это решение является физически осмысленным, так как оно согласуется с данными астрономических наблюдений темной энергии, но для такого решения кинетическая энергия глобально не ограничена, так как соответствующий интеграл расходится лишь из-за бесконечности объема, который не может быть таковым в конечной Вселенной, ограниченной горизонтом событий. Поэтому условие глобальной ограниченности кинетической энергии в общем случае не является корректным, так как оно не согласуется с данными астрономических наблюдений. Более того, в ограниченной Вселенной само понятие пространственной и временной бесконечности и соответственно бесконечного предела не определены. В случае космологической жидкости частотный параметр можно отождествить с величиной Хаббла , где - выраженная в единицах массы объемная плотность потенциальной энергии вакуумно-подобного скалярного поля (плотность темной энергии в потенциальной форме); - гравитационная постоянная Ньютона. Если при этом функцию связать с приращением радиуса сферы , то при уравнение (15) имеет квантовое решение (9), удовлетворяющее вместо уравнения (16) квантовому условию непрерывности [2]. При современном значении выраженной в единицах измерения массы плотности темной энергии линейный размер космологического атома , время жизни квантового состояния , эффективная масса атома . Если вместо постоянной Планка использовать ее диффузионный аналог , то выраженный в единицах массы квант энергии такого атома [2] совпадает с массой Вселенной , где . Эти значения совпадают с наблюдаемыми значениями параметров Вселенной, так что Вселенная в целом может быть квантовым объектом, а человечество существует внутри такого экзотического атома. При ядерной плотности радиус сферы , эффективная масса имеет звездный масштаб , время жизни состояния . Таким образом, в зависимости от значения параметра экзотический атом может как располагаться в центре звезд, так и включать в себя звезды, галактики, скопления галактик и наблюдаемую Вселенную в целом. Следует отметить, что если из астрономических наблюдений удастся обнаружить зонную структуру плотности темной энергии , то это будет означать, что Вселенная может быть периодичной во времени. Если Вселенная одна, то ее временная периодичность противоречит второму началу термодинамики. В противном случае периодичность Вселенной может соответствовать второму началу термодинамики. Поэтому по наблюдениям различных эффектов (излучение), связанных с межзонными квантовыми переходами между различными вселенными, можно будет судить о существовании других вселенных. Зонная структура плотности темной энергии может иметь место и внутри одной Вселенной. Заключение Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что при произвольном однородном давлении уравнение Навье - Стокса имеет квантовые решения. Квантовые решения не зависят от постоянной Планка. Показано, что однородная квантовая скорость глобально определена, является глобально гладкой функцией и убывающей по экспоненте, а кинетическая энергия глобально ограничена . Квантовая скорость удовлетворяет квантовому условию «несжимаемости» - непрерывности. Квантовые решения уравнения Навье - Стокса обладают всеми атрибутами квантовой механики: корпускулярно-волновой дуализм, принцип неопределенности, принцип суперпозиции, квантовая интерференция, принцип причинности как по отношению к волновой функции, так и по отношению к скоростям, излучение с дискретным спектром, туннелирование, спиновые эффекты [7]. Можно показать, что параболическое, гиперболическое и эллиптическое уравнения математической физики имеют подобные различные квантовые решения. Экзотический атом в гидродинамике может генерировать рентгеновское и γ-излучение с дискретным спектром. На этой основе может быть создан квантовый преобразователь радиочастот внешнего поля (возможно, упругого происхождения) в рентгеновское и γ-излучение. Источником такого излучения могут быть пылевые и газовые облака во Вселенной, Солнце и другие звезды различного типа. Показано, что с учетом релятивистских эффектов уравнение Навье - Стокса может иметь физически осмысленное классическое глобально гладкое космологическое решение, которое изменяет условие энергодоминантности и устраняет космологическую сингулярность, так как для такой космологической среды не работает теорема Пенроуза. Такое решение согласуется с данными наблюдений, свидетельствующими о том, что величина Хаббла увеличивается со временем. В тонкой структуре математических констант может содержаться информация о взаимодействиях материи, что может быть использовано для решения проблемы потери информации в черных дырах. Разработанный квантовый подход может быть использован для решения проблемы существования и гладкости решений уравнения Навье - Стокса, которая была сформулирована Институтом Клея (Clay Mathematics Institute) как шестая проблема задачи тысячелетия (The Millennium Prize Problems) [8], либо может быть признан ее решением. Полученные результаты могут быть использованы в термоядерной энергетике, геофизике (для описания течений в мантии Земли), геометродинамике [9-35], биологии и медицине (гидродинамика кровяных потоков, газодинамика процесса дыхания). Синтез ньютоновской механики и квантовой физики может представлять особый интерес для биологии и медицины. Механизм пульсаций капли ртути может быть использован при разработке механизмов управления работы живого и искусственного сердца. Согласно разработанному подходу, заряженные микроорганизмы либо отдельные клетки во внешнем поле могут быть биологическими атомами. Биологический атом может генерировать спонтанное и вынужденное излучение, заряженные биологические частицы могут генерировать синхротронное излучение. В этой связи возникает задача исследования влияния участия биологических частиц в классических и квантовых процессах излучения на процессы жизнедеятельности таких частиц. Для решения такой задачи требуется сконструировать ускоритель биологических частиц. Для подзарядки биологических объектов можно использовать диффузионный механизм [1], согласно которому из-за разной подвижности положительных и отрицательных ионов ионизованной плазмы присутствующие в ней биологические объекты могут заряжаться преимущественно отрицательно и этот заряд , выраженный в единицах заряда электрона, равен , где - постоянная Больцмана; - температура; - коэффициент диффузии ионов среды; - заряд микроорганизма, - заряд электрона; - радиус биологической частицы. Следует отметить, что система заряженных микроорганизмов во внешнем поле способна к самоорганизации и образованию упорядоченных структур, кристаллизации и фазовым переходам. На этой основе могут быть созданы живые кристаллы и организмы, в которых в роли скелета может выступать внешнее поле. Особый интерес могут представлять возникающие во внешнем поле пространственные структуры заряженных нейронов, что позволит создать искусственный интеллект с каркасом полевого типа. Можно будет создавать новые формы жизни плазменного типа. Интерференционные эффекты, характерные для квантовых явлений, могут иметь место для живой материи. Например, универсальность стволовых клеток может быть следствием квантового параллелизма, в соответствии с которым несколько различных процессов должны рассматриваться как происходящие одновременно в виде квантовой линейной суперпозиции. Так как , то в мозге могут существовать такие клетки-атомы (молекулы в целом), чувствительные к отдельным квантам большой энергии, энергия которого с учетом механизма усиления может преобразоваться в энергию движения клеток либо в упругие колебания спирали молекулы ДНК, которые могут приводить к ее механическим, электрическим, магнитным и химическим трансформациям. Квантовая интерференция макроскопических объектов (молекул хлорофилла) может играть важную роль для повышения КПД фотосинтеза в клетках растений и бактерий, которые умеют превращать энергию света в питательные вещества при помощи фотосистем I и II. Вторая система преобразует фотоны в свободные электроны, а первая расщепляет молекулы воды на кислород и ионы водорода и использует последние для сборки молекул питательных веществ. Согласно квантовому принципу суперпозиции, две молекулы хлорофилла, способные реагировать на поляризованный свет и являясь общим квантовым целым, могут одновременно генерировать свободные электроны. При этом внутри них могут возникнуть характерные осцилляции.

Скачать электронную версию публикации