To the question of existence of the «one-dimensional» hydrogen molecules.pdf Введение Атомы с пространственно-«одномерными» электронными структурами достаточно давно получены экспериментально [1, 2], а существование таких же водородоподобных или двухэлектронных с аналогичными «трехмерным» характеристиками подтверждено теоретически (в т.ч. в наших предыдущих работах [3-5]). В связи с этим возникает естественный вопрос о возможности существования «одномерных», т.е. «вытянутых» молекул, состоящих из двух таких же с соответствующим электронным распределением водородоподобных атомов (например, при это молекулярный водород H2). Эта проблема, которая не затрагивалась в доступной нам литературе, и является предметом рассмотрения в данной работе. В наших рассуждениях мы будем в основном ориентироваться на изложение материала для обычных «трехмерных» молекул H2, следуя традиционному курсу квантовой механики [6], или, в эквивалентной, более общей формулировке, - в классической работе [7]. Согласно [6], добавка к энергии двух «трехмерных» атомов водорода в молекуле H2 за счет их взаимодействия, рассматриваемого как малое возмущение, равна (1a) - для состояний, симметричных относительно перестановки координат электронов, и (1б) - для антисимметричных. Функции , , от расстояния между ядрами имеют вид , (2a) , (2б) , (2в) причем K представляет собой среднюю энергию кулоновского взаимодействия одного из ядер с другим нейтральным атомом (с ядром и «его» электроном), величина же A не имеет классического аналога и является так называемой обменной энергией; есть действительная волновая функция основного состояния электрона в водородоподобном атоме . Наша задача далее - модификация формул (2а), (2б), (2в) для случая «одномерных» молекул с последующим выяснением вида зависимости величин (1a), (1б) от расстояния R между ядрами на предмет наличия минимума этих функций в отрицательной области их значений при некотором значении , которое соответствует равновесному расстоянию между ядрами в устойчивой молекуле из двух атомов водорода. Сначала заметим, что модификация этих формул на случай в том числе пространства с размерностью , рассматриваемого как подпространство «трехмерного» (и также с действительной волновой функцией основного состояния - см. ниже (5)) с переходом в этих формулах к безразмерным переменным и функциям , , , , (3a) , , (3б) имеет вид , (4a) , (4б) , (4в) , где , включая и случай : . Величина (3б), которая при есть боровский радиус, фигурирует, как обычно [7], в нормировочном факторе при «размерной» функции . «Безразмерный заряд ядра» , обозначаемый как в используемом в п. 2 вариационном методе [6-9] при вычислении энергии молекулы водорода, введен в в качестве вариационного параметра, как это сделано, например, в [6]. Далее в п. 1 мы на основании общих формул (4а) - (4в) аналитически и в квадратурах вычисляем соответствующие функции в зависимости от безразмерного (в единицах боровского радиуса) расстояния между ядрами в «одномерной» молекуле водорода H2; последующий численный расчет энергии взаимодействия с графической иллюстрацией показал, что необходимые условия существования молекулы H2 - наличие «отрицательного минимума» с последующим убыванием до нуля значения на бесконечности - могут выполняться, несмотря на вычислительные проблемы, связанные с расходимостью «одномерных» кулоновских интегралов на малых расстояниях. Ситуация аналогична встречавшейся ранее в [4, 5] при вычислении энергии «одномерного» двухэлектронного атома. Отметим, кстати, что из-за невозможности выполнения граничных условий для решения безразмерного дифференциального уравнения в методе Томаса - Ферми в его приложении к «одномерному» многоэлектронному атому такие атомы, как указано в [10, 11], в отличие от «одномерной» молекулы H2 существовать не могут. В п. 2 с использованием результатов п. 1 показано, что в рамках применяемого в работе подхода и при помощи вариационного метода, в принципе, возможна экспериментальная проверка (с получением «одномерных» молекул H2) нашей теории с перспективой ее модификации с целью более полного соответствия с экспериментом. В заключении обсуждаются полученные результаты. 1. «Одномерная» молекула. Аналитические выражения для функций (4а), (4б), (4в) Безразмерная электронная волновая функция основного состояния «одномерного» водородоподобного атома, «вытянутого» вдоль оси z с началом координат в ядре, имеет вид , , (5) (значения отвечают четности состояния). Значение же энергии (6) совпадает с «трехмерным» [7, 12]. Переходя к вычислению функций (4а), (4б), (4в) в , заметим, что: 1) Формула (4а) в этом «одномерном» случае имеет вид , (7) где - координата одного ядра относительно другого, а . Обозначив, как и во введении, расстояние между ядрами и введя безразмерное расстояние , при это выражение с использованием (5) можно преобразовать к виду . (8) Элементарное вычисление дает . (8a) При аналогично можно получить , . (9) Так как величина , как и энергия взаимодействия (1a), (1б), не должна зависеть, разумеется, от знака , а только от , то должно быть , т.е., во всяком случае, четность электронных состояний в «одномерной» молекуле H2 должна быть одинакова: . Таким образом, с учетом (8а), (9) получаем . (10) 2) Выражение (4б) после некоторых преобразований в «одномерном» случае в области записывается в виде . Принципиальное отличие от пп. 1) заключается в наличии логарифмически расходящихся интегралов (последние два слагаемых в квадратных скобках), вследствие чего для получения конечного результата во втором выражении в соответствующих интегралах в пределах интегрирования введен малый параметр , физический смысл которого будет выяснен ниже. После проведения интегрирования по частям и полагая, где это можно, , находим . Как можно убедиться, вид зависимости в области совпадает с ее видом в области , определяемым этими формулами, т.е. значения , фактически одинаковы, являясь функцией только , как это и должно быть в соответствии с их физическим смыслом аналогично значениям в этих областях (см. пп. 1). В результате достаточно громоздких преобразований предыдущего выражения имеем (11) . При получении этого выражения использовано значение интеграла 2.441.2 из [13] ( … - постоянная Эйлера), а также введены обозначения аналитически «не берущихся» интегралов: , . (11а) Похожая ситуация в смысле «борьбы» с расходимостью интегралов аналогична встречающейся при расчете энергии «одномерного» двухэлектронного атома [4] или релятивистских поправок к энергии «двумерного» водородоподобного [14], в которых расходимость в принципе устранялась при учете отклонения от закона Кулона на малых расстояниях из-за поляризации электронно-позитронного вакуума, причем в практически реализуемой ситуации «одномерного» ортогелия она вообще сокращалась [4]. В нашем же случае такого сокращения нет, а отклонение от кулоновского потенциала с необходимостью введения параметра обрезания может быть в совокупности обусловлено следующими причинами: a) Конечными размерами «водородоподобных ядер» со значением . Здесь см есть порядок величины радиуса ядра, а в наших обозначениях Подставляя численные значения, получаем оценку  , и с логарифмической точностью можно считать, что значение фигурирующей в формуле (11) величины по порядку равно . Для целей данной работы бóльшая точность оказывается и ненужной, так как мы ставим своей задачей лишь доказательство существования «одномерных» молекул, что сводится, как было уже указано, к наличию минимума энергии взаимодействия в области отрицательных ее значений и физических асимптотик в нуле и на бесконечности (см. ниже). Как будет видно, эти условия при разумных значениях выполняются. б) При учете также и поляризации вакуума следует производить обрезание на значении безразмерной переменной интегрирования равном [14]. в) Существует и еще одна, достаточно экзотическая причина, по которой необходимо производить указанное обрезание для получения конечного результата, а именно: в истинно одномерном пространстве решение уравнения Пуассона для потенциала , как известно (см., например, работу [15]), имеет вид , и в силу его нефизического характера, если оно действительно будет реализовываться в экспериментах типа вышеупомянутых, должно трансформироваться в «кулоновскую зависимость» для одномерного пространства как подпространства трехмерного, на достаточно малых (и к тому же нам, естественно, неизвестных) расстояниях от ядра, что вносит еще одну неопределенность в значение параметра обрезания. Однако, как следует из наших численных расчетов с графическими представлениями «безразмерной энергии взаимодействия» (см. ниже (13)) вида изображенных на рис. 1 , значения в достаточно широком диапазоне (5-50) практически не влияют на наши результаты (и соответствующие выводы) относительно наличия физических минимумов энергии взаимодействия атомов в молекуле и существования в некоторых случаях «правильной» и аналогичной «трехмерной» [6, 7] убывающей физической асимптотики на : , что позволяет надеяться на их адекватность при любой физической причине отклонения от «кулоновской» зависимости на малых расстояниях от ядра. Рис. 1. Графики функций , (a) и (б), фигурирующих в общей формуле (13), в зависимости от безразмерного расстояния для частного значения параметра обрезания с величиной 3) Вычисление значения вообще не вызывает каких-либо затруднений, если учесть, что в «одномерном» варианте вклад 1-го слагаемого в (4в) есть просто , а 2-го - пропорционален выражению (8) для с обратным знаком и опусканием первого фактора в подынтегральных выражениях в (8). Простое вычисление с учетом установленных выше значений приводит к следующему результату: . (12) Окончательно, объединяя формулы (1a) и (1б) в одну, имеем для энергии взаимодействия атомов в «одномерной» молекуле в зависимости от типа симметрии (нижний индекс координатной части волновой функции обоих электронов в молекуле и при одинаковых значениях четности (верхний индекс электронных состояний в атоме: , , (13) , (13а) (13б) , , . (13в) Как можно убедиться, в асимптотике для «одномерной» молекулы водорода во всех вариантах взаимодействия имеем , в асимптотике же «безразмерная энергия» должна «достаточно быстро» стремиться к нулю, как это и должно быть из физических соображений [6] (на малых расстояниях взаимодействуют только ядра, а на больших энергия взаимодействия нейтральных атомов, естественно, и должна стремиться к нулю). Представленные на рис. 1 графики функций показывают, что физическая асимптотика при вида одновременно с необходимым условием наличия минимума в области отрицательных значений для «одномерной» молекулы H2 имеет место для вариантов взаимодействия , . При этом в целях большей наглядности использовано конкретное значение ; в более реальных, по-видимому, случаях возникают технические затруднения при размещении пар графиков «с одинаковым верхним индексом» на одном рисунке. Варианты же и , как и в «трехмерном» случае вариант [6, 7], по-видимому, следует отбросить, так как правые ветви графиков попадают в нефизическую область с асимптотикой , на бесконечности. Анализ графического представления этих физических вариантов взаимодействия , показывает также, что значение параметра обрезания в упомянутом выше достаточно широком диапазоне его значений влияет на «величину отрицательного минимума», но не на сам факт его наличия и сохраняет упомянутую выше «правильную» асимптотику на для этих вариантов взаимодействия. Это означает, что в рамках нашего метода можно лишь утверждать, что «одномерная» молекула H2 существует, но численные оценки значения ее энергии и энергии связи в рамках нашего подхода к проблеме на данной стадии невозможны. 2. Вариационный метод расчета энергии «одномерной» молекулы водорода Полная энергия находящейся в основном состоянии «одномерной» молекулы в функции от параметра варьирования и для установленных физических вариантов взаимодействия, очевидно, равна . (14) Здесь , - вычисленные по функциям (3а), (5) средние значения кинетической и потенциальной энергии в основном состоянии электрона в «одномерном» водородоподобном атоме, равные, согласно одному из результатов работы [4], , , (15) а значения , определены формулой (13) с заменой в ней , т.е. , . Таким образом, получаем . (15а) Стандартная процедура варьирования [6, 7] (16) приводит к следующему результату для энергии «одномерной» молекулы: . (17) При этом существенно, что в основном состоянии молекулы в (17) следует взять значения , в точках минимума соответствующих графиков на рис. 1 при равновесных «безразмерных расстояниях» между ядрами , в которых . Однако, как отмечено в п. 1, эти значения зависят от параметра обрезания и на самом деле при наличии (пока несуществующих) данных эксперимента, следует делать оценки величины этого параметра с выяснением его физического смысла в соответствии с пп. а, б, в этого п. 1, что необходимо для законченности нашей теории «одномерных» молекул H2. Как видно из графиков на рис. 1, значение > , поэтому и энергия связи со значением из (6), а из (17) при , в состоянии, описываемом функцией , больше ее значения в состоянии ; это имеет место при любых значениях из указанного выше диапазона и не коррелирует, следовательно, с конкретным значением параметра обрезания. Заметим также, что при проведении процедуры варьирования вместо следует, вообще говоря, использовать более общее условие . Однако это, включая учет зависимости от (т.е. и от в рамках вариационного метода), не влияет на результат (17), поскольку, как отмечено, в упомянутой точке минимума Заключение Таким образом, используя процедуру «обрезания» расходящихся интегралов, мы с помощью аналитических и численных методов продемонстрировали возможность существования «одномерных» молекул водорода H2 c зависимостью от расстояния между ядрами, аналогичной «трехмерной» молекуле [6, 7]. Данный вывод о существовании «одномерных» молекул может быть проверен в экспериментах, подобных проведенным авторами работ [1, 2]; в принципе, на основании измеренных значений это позволило бы также установить величину и физическую природу параметра обрезания в соответствии с результатами п. 1 и 2. Заметим также, что, согласно результатам п. 2, «одномерная» фаза из молекул H2 должна образовываться преимущественно в состоянии с вариантом взаимодействия , которому соответствует, как констатировано в п. 2, наименьшая энергия и наибольшая энергия связи «одномерной» молекулы H2. Автор выражает благодарность В.П. Красину и С.И. Союстовой за помощь в численных расчетах.

Скачать электронную версию публикации