Estimation of the unextendable dead time duration in the flow of physical events by the method of moments.pdf Введение Исследование физических процессов и явлений зачастую сопряжено с построением их математических моделей в виде случайных потоков событий. Потоки элементарных частиц, поступающие на регистрирующие приборы, а также информационные потоки сообщений, функционирующие в телекоммуникационных системах и сетях различной конфигурации, адекватно описываются дважды стохастическими потоками [1-4], к числу которых, в частности, относится обобщенный синхронный поток второго порядка при его полной [5, 6] или частичной [7] наблюдае- мости. Для реальных систем, таких, как, например, лазерные системы зондирования или оптические системы обнаружения и распознавания, параметры потока и состояния сопровождающего его процесса зачастую либо лишь частично известны, либо неизвестны, либо изменяются с течением времени, что приводит к использованию адаптивных подходов в управлении таким потоком согласно получаемых результатов оценивания неизвестных параметров. Таким образом, возникает необходимость оценки состояний входящего потока (фильтрации его интенсивности) [5, 7-9] и (или) его параметров [6, 10-12] по наблюдаемым моментам наступления событий. При решении сформулированных задач следует учитывать мертвое время регистрирующих приборов [13, 14], которое порождается зафиксированной частицей - событием потока. Последующие частицы (события), встречающиеся в течение обозначенного периода, не вызывают его продления (непродлевающееся мертвое время) [7, 8, 10] и теряются для наблюдения. С тем чтобы выявить потери событий, возникающих ввиду наличия искажающего фактора, требуется оценить значение длительности мертвого времени. В настоящей статье оценивается период ненаблюдаемости в обобщенном синхронном потоке второго порядка [5-7] методом моментов [15], а также устанавливается качество получаемой ММ-оценки в пределах выбранных критериев путем испытаний имитационной модели потока. Математическая модель потока Рассматривается функционирующий в стационарном режиме обобщенный синхронный поток второго порядка (далее - поток), сопровождающий процесс которого представлен принципиально ненаблюдаемым кусочно-постоянным случайным процессом с двумя состояниями и ; здесь и далее -е состояние процесса имеет место при , , . Длительность интервала между событиями дважды стохастического потока в -м состоянии определяется случайной величиной , где случайные величины и независимы и распределены по законам и соответственно. В момент наступления события потока процесс либо переходит из -го состояния в -е, , либо остается в -м состоянии, , с вероятностью или , , в зависимости от значения, принимаемого , ; , , , . В сделанных предположениях процесс является скрытым марковским [5], а матрицы инфинитезимальных характеристик имеют вид [5, 6] , . После каждого зарегистрированного в момент времени события наступает непродлевающееся мертвое время фиксированной длительности , в течение которого другие события исходного потока теряются, а по его истечении первое наступившее событие снова создает период ненаблюдаемости длительности и т. д. Вследствие предпосылок последовательность доступных наблюдению моментов порождает вложенную цепь Маркова . Отметим, что в соответствии с приведенной в [16] классификацией MAP-потоков событий обобщенный синхронный дважды стохастический поток второго порядка относится к классу MAP-потоков второго порядка, в то время как его частный случай при , синхронный дважды стохастический поток [11, 12], - к классу MAP-потоков первого порядка. Вывод совместной плотности вероятности длительностей интервалов в наблюдаемом потоке Определим плотность вероятности значений длительности -го интервала между соседними событиями и , , как , совместную плотность вероятности значений и - как , для которых, ввиду рассмотрения стационарного режима, соответственно справедливы равенства , , и , , , при любом . Последнее позволяет без ограничения общности положить равным нулю или, что эквивалентно, момент наступления события в наблюдаемом потоке есть : соответствует моменту наступления события, - моменту наступления следующего события; индекс подчеркивает зависимость плотности вероятности от длительности мертвого времени. Рассмотрим два смежных интервала длительностей и , где - значения длительностей интервалов между соответствующими моментами окончания мертвого времени и моментами наступления следующих событий наблюдаемого потока, , . Для исследуемого потока справедливы леммы 1-3 и теорема 1. Лемма 1. Переходные вероятности , , того, что за мертвое время длительности процесс перейдет из состояния (в момент ) в состояние (в момент ), , в обобщенном синхронном потоке второго порядка с мертвым временем имеют вид (1) где , , , , , . Лемма 2. Плотности вероятностей , , того, что без наступления события на интервале , когда поток вновь наблюдаем, и наступления события в момент процесс перейдет из состояния в состояние , , определяются формулами [6] , , (2) где , . Лемма 3. Условные стационарные вероятности , , того, что процесс в момент времени пребывает в состоянии , , при условии, что есть момент наступления события и порождения мертвого времени длительности , задаются выражениями (3) где и заданы в (1) и (2). Теорема 1. Одномерная плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями потока при непродлевающемся мертвом времени имеет вид (4) где ; и заданы в (1) и (2). Отметим, что в случае удовлетворения равенства плотность (4) сводится к , и поток вырождается в простейший; в дальнейшем принимается . Поскольку представляет собой вложенную цепь Маркова, совместная плотность вероятности значений длительностей смежных интервалов запишется в виде (5) На основании вышеприведенного сформулируем следующую теорему. Теорема 2. Обобщенный синхронный поток событий второго порядка, функционирующий в условиях непродлевающегося мертвого времени длительности , в общем случае является коррелированным потоком, и совместная плотность вероятности имеет вид (6) где и заданы в (1) и (2); определены в (4) для , . Доказательство. Подставляя в (5) сначала и , определенные в (2) для и , затем и , определенные в (1), и, наконец, , , определенные в (3), проделывая необходимые достаточно трудоемкие преобразования, приходим к (6). Из вида (6) следует коррелированность потока с мертвым временем. Теорема доказана. Условия рекуррентности наблюдаемого потока Опишем ситуации, при которых наблюдаемый поток событий становится рекуррентным. 1. Если , где и заданы в (1) и (2), то совместная плотность (6) факторизуется, т.е. , и из (4) в результате преобразований следует, что , , , т.е. , (7) где , ; и заданы в (1) и (2). Теорема 3. Если выполняется , то , где , и заданы в (1), (2) и (7); определены в (7) для , , . Доказательство основано на применении установленного условия рекуррентности 1 для и учитывает тот факт, что есть вложенная цепь Маркова. Следующие условия факторизации обнаруживаются путем анализа . 2. Если , то при условии невыполнения единовременного равенства нулю , (в такой постановке поток во втором состоянии не существует), и, согласно (4), , , , т.е. . (8) 3. Если , то, согласно (4), , т.е. . (9) Замечание 1. Плотности вероятности вида (8), (9) совпадают с плотностью вероятности длительности интервала между событиями функционирующего при непродлевающемся мертвом времени стационарного пуассоновского потока с параметрами , соответственно. Далее сосредоточимся на рассмотрении , найденной в виде (7). Оценка длительности мертвого времени в наблюдаемом потоке Пусть за время наблюдения реализовалось независимых интервалов длительностей , (здесь доступны наблюдению событие). Введем статистику , являющуюся оценкой - теоретического начального момента первого порядка. Тогда, согласно методу моментов [15], чтобы найти , необходимо решить уравнение моментов , преобразованное к виду , (10) где заданы в (2); величина определена в (7). Решение (10) возможно только с привлечением численных методов. Замечание 2. Для при и , заданных в (2) и (7), справедливо: , . Следовательно, является возрастающей функцией переменной , . Согласно замечанию 2, оценка длительности мертвого времени (ММ-оценка) в исследуемом потоке событий как численное решение уравнения (10) на полуинтервале , где , , является состоятельной [15] и определяется единственным образом: , если ; , если ; , если . Замечание 3. Применение при оценивании дает улучшенную оценку метода мо- ментов. Результаты численных расчетов Численные значения получены с использованием имитационной модели обобщенного синхронного потока второго порядка, учитывающей наличие искажающего фактора. Для установления качества получаемых результатов оценивания по независимым реализациям при фиксированных , , , , , , , , вычислялись выборочное среднее , оценка смещения и выборочная квадратическая ошибка как корень квадратный из выборочной вариации для каждого значения времени моделирования (времени наблюдения) и (табл. 1), (табл. 2), (табл. 3), (табл. 4). Результаты эксперимента (табл. 1-4), проведенного при различных значениях входных параметров, определяющих поток событий, свидетельствуют о существенной зависимости оценки длительности мертвого времени от времени моделирования реализаций потока, а именно: с увеличением качество оценивания улучшается в смысле уменьшения оценки смещения и выборочной квадратической ошибки ; при обнаруживается установление стационарного режима функционирования потока. Такие выводы вполне естественны и характерны вследствие применения метода моментов, основывающегося на значениях статистики, в которой содержатся сведения о задаваемых плотностью вида (7) интервалах между наблюдаемыми моментами, соответственно, чем больше их число в реализации, тем больше информации будет накоплено в и, следовательно, точность оценивания параметра плотности будет выше. Таблица 1 Результаты статистического эксперимента ( ) 30 50 70 90 … 500 600 700 800 900 1000 0.2937 0.2961 0.2966 0.2975 … 0.2988 0.2991 0.2993 0.2992 0.2993 0.2994 0.0063 0.0038 0.0034 0.0025 … 0.0012 0.0009 0.0007 0.0008 0.0007 0.0006 0.0101 0.0071 0.0048 0.0035 … 0.0020 0.0013 0.0010 0.0010 0.0009 0.0008 Таблица 2 Результаты статистического эксперимента ( ) 30 50 70 90 … 500 600 700 800 900 1000 0.4893 0.4947 0.4933 0.4961 … 0.4989 0.4989 0.4988 0.4991 0.4989 0.4990 0.0107 0.0053 0.0067 0.0039 … 0.0011 0.0011 0.0012 0.0009 0.0011 0.0010 0.0142 0.0090 0.0092 0.0053 … 0.0021 0.0019 0.0017 0.0018 0.0016 0.0016 Таблица 3 Результаты статистического эксперимента ( ) 30 50 70 90 … 500 600 700 800 900 1000 0.6889 0.6926 0.6923 0.6957 … 0.6971 0.6972 0.6986 0.6987 0.6989 0.06985 0.0111 0.0074 0.0077 0.0043 … 0.0029 0.0028 0.0014 0.0013 0.0011 0.0015 0.0161 0.0112 0.01210 0.0059 … 0.0040 0.0034 0.0028 0.0021 0.0018 0.0020 Таблица 4 Результаты статистического эксперимента ( ) 30 50 70 90 … 500 600 700 800 900 1000 0.8804 0.8915 0.8942 0.8944 … 0.8983 0.8980 0.8984 0.8985 0.8987 0.8984 0.0196 0.0085 0.0058 0.0056 … 0.0017 0.0020 0.0016 0.0015 0.0013 0.0016 0.0227 0.0153 0.0110 0.0079 … 0.0031 0.0024 0.0025 0.0022 0.0021 0.0026 Анализ данных табл. 1-4 показывает, что увеличение периода отрицательно сказывается на качестве ММ-оценки. Последнее объясняется потерей событий, обладающих полезной информацией. По плотности вида (7) находятся выражения для среднего числа событий в единицу времени в потоке в условиях полной наблюдаемости и при непродлевающемся мертвом времени и на их основе выписывается среднее число потерянных событий в единицу времени: где ; ; , , заданы в (1), (2), (7). В табл. 5 приведены значения средних , и , вычисленные для отдельной реализации при , а также их статистические оценки - выборочные средние - для демонстрации корректности модели и, как следствие, применимости выбранного аппарата исследования. Таблица 5 Результаты статистического эксперимента 0.3 7.7190 7.7011 0.002319 2.1206 2.1110 0.004527 5.5983 5.5701 0.005037 0.5 7.7068 0.001581 1.4759 1.4690 0.004675 6.2434 6.2121 0.005013 0.7 7.7167 0.000298 1.1369 1.1411 0.003694 6.5821 6.5757 0.000972 0.9 7.7004 0.002410 0.9257 0.9258 0.000108 6.7932 6.7747 0.002723 Заключение В данной работе для функционирующего при непродлевающемся мертвом времени обобщенного синхронного дважды стохастического потока второго порядка, являющегося математической моделью потока физических событий, найден явный вид совместной плотности вероятности значений длительностей двух смежных интервалов, позволяющий выписать условия рекуррентности. Для рекуррентного потока на основании одномерной плотности определена ММ-оценка периода ненаблюдаемости и аналитически получены потери событий при наличии мертвого времени. Выводы статистических исследований, проведенных на реализованной в виде графического пользовательского интерфейса модели, отвечают физической интерпретации и указывают на то, что метод моментов позволяет в достаточной мере эффективно оценивать параметр плотности в смысле малости выбранных показателей качества, однако в данном рассмотрении проведение вычислений сопровождается необходимостью применения численных методов.

Скачать электронную версию публикации