Периодические орбиты и бифуркации колебательных мод молекулы озона при высоких энергиях | Известия вузов. Физика. 2019. № 10. DOI: 10.17223/00213411/62/10/154

Периодические орбиты и бифуркации колебательных мод молекулы озона при высоких энергиях

Изучение квантовых состояний молекул в области диссоциации необходимо для понимания процесса их образования и точного расчёта химических реакций. В настоящее время наряду с квантовыми расчётами энергий высоковозбуждённых состояний применяются методы нелинейной классической механики, позволяющие выявить устойчивые типы молекулярных движений и их качественные трансформации (бифуркации) в процессе возбуждения молекулы. В особенности, классический подход оказывается эффективным в области высоких энергий, где в результате увеличения плотности состояний наблюдается их сильное перемешивание и нарушение идентификации в терминах нормальных мод. Представлены первые результаты по моделированию периодических орбит основного изотополога молекулы озона (16O3), полученные с использованием ab initio поверхности потенциальной энергии. Наряду с основными семействами периодических орбит, соответствующих симметричному, антисимметричному и изгибному типам колебаний молекулы, выявлена точка бифуркации - переход к локально-модовому типу движения и резонансные орбиты в области высоких энергий, отвечающие новым типам колебательных движений. Обсуждаются классические траектории ядер и их соответствие волновым функциям квантовых состояний молекулы.

Periodic orbits and bifurcations of the vibrational modes of the ozone molecule at high energies.pdf Введение В настоящее время для изучения возбуждённых состояний молекул активно разрабатываются поверхности потенциальной энергии (ППЭ) из первых принципов квантовой теории (ab initio). Помимо детальных спектроскопических расчётов, ППЭ позволяют анализировать динамику ядерных движений в процессе возбуждения молекулы. В области высоких энергий возрастает плотность состояний и резонансные взаимодействия между ними. В результате сильного перемешивания волновых базисных функций высокоэнергетические состояния не могут быть описаны в терминах нормальных мод, например [1]. Между тем это приводит к сближению квантовых процессов с динамикой в её классическом пределе [2]. В колебательной спектроскопии хорошо известны случаи проявления бифуркаций при качественных изменениях типов траекторий. Термин «бифуркация» используется в широком смысле для обозначения всех возможных качественных реорганизаций различных объектов в результате изменения параметров, от которых они зависят [3]. Трансформация нормальных мод колебаний в локальныe моды связана с переходом системы через простейшую бифуркацию типа вилки в фазовом пространстве движения ядер. Результаты [4] являются одними из первых по исследованию фазового пространства колебаний трёхатомных молекул. Авторами [4] были построены бифуркационные диаграммы в рамках эффективного двухмодового гамильтониана с одним или двумя резонансными членами. Детальное понимание возникновения бифуркаций в нормальных колебаниях молекул возможно посредством построения карт катастроф, например [5, 6]. В первых работах анализ квантовых бифуркаций проводился в рамках модели гармонических либо связанных осцилляторов Морзе. Параметры таких эффективных гамильтонианов использовались в качестве варьируемых при построении карт катастроф. Молекула HCP была одной из первых, для которой бифуркация типа седло-узел была подтверждена экспериментальными уровнями энергии и поведением волновых функций [7 и ссылки в ней]. Дальнейшие исследования молекул HOCl, HOBr и HCN показали существование каскадов бифуркаций в направлении диссоциации или изомеризации [8]. Примером успешного применения аппарата нелинейной динамики к изучению молекулярных комплексов может служить поиск выделенных направлений в фазовом пространстве, вдоль которых возможны периодические колебания. Такие направления называются периодическими орбитами (ПО), которые определяют своего рода базисные наборы колебательных движений конкретного молекулярного комплекса. Основные (фундаментальные) семейства ПО возникают в равновесных точках как стабильных, так и неустойчивых, и их существование было доказано в [9, 10]. Расчёт и анализ ПО проводился для многих трёхатомных молекул [11-16 и ссылки в них]. При этом особый интерес представляет то, как меняется период (или частота) колебаний по мере роста энергии в системе. Нелинейный характер поведения может существенно меняться как при увеличении полной колебательной энергии молекулярного комплекса, так и при изменении его параметров. В роли внутренних параметров могут выступать интегралы движения или массы атомов молекулы. В [15, 16] исследованы серии ПО молекул SO2 и H2O, полученные в результате последовательного замещения массы атомов кислорода и водорода соответственно на их изотопические модификации. В результате этого, наряду с ПО молекул 16OS16O, HOH, 16OS18O и HOD рассмотрен процесс трансформации ПО при понижении симметрии системы С2v → Сs. Методы нелинейной классической механики позволяют визуализировать колебательные движения в виде ПО или инвариантных торов в фазовом пространстве, а их пространственные траектории повторяют контуры волновых функций [4, 17]. Работы по построению ПО, например [15], показали, что квантовые волновые функции обертонных состояний лежат вдоль фундаментальных ПО. Для двух связанных осцилляторов Морзе характерен эффект локализации энергии симметричных и антисимметричных колебаний в одной моде при высоких энергиях. Согласно [18], данный эффект во многом обуславливается параметром взаимодействия двух осцилляторов: колебания являются близкими к нормальным, когда ангармоничность превышает величину параметра связи, в противном случае колебательные движения близки к локальному типу. В [19] показано, что для молекул типа ABA колебательные гамильтонианы в нормальных и локальных модах связаны между собой алгебраическим преобразованием при условии наличия взаимодействия между двумя продольными осцилляторами. Переход от нормальных колебаний к локальным может быть описан в терминах нелинейных классических резонансов (резонансы Дарлинга - Деннисона и Ферми). Молекула озона 16O3 (далее - O3) является объектом многочисленных исследований, так как озон играет важную роль в процессах, оказывающих влияние на химический состав атмосферы, качество воздуха и климат [20]. Вместе с этим, озон является нестабильной молекулой с коротким временем жизни и механизмы его формирования и изотопозамещения сложны и до сих пор до конца не поняты. Рельеф ППЭ молекулы O3 имеет три основные ямы «открытой» геометрической конфигурации ядер симметрии C2v, разделенные барьерами, и цикличный минимум симметрии D3h, который считается недостижимым в газовой фазе. Форма потенциальной поверхности в области диссоциационного предела и характер внутримолекулярных движений, связанный с ней, имеют критически важное значение для понимания масс-независимого фракционирования («MIF-эффект») и реакции формирования молекулы О3 [21]. В этой связи активно развиваются работы по анализам спектров озона в обертонных и комбинационных полосах [1, 22-24], а также по ab initio расчётам потенциальных функций, поверхностей дипольного момента и спектров из первых принципов квантовой теории [25-28 и ссылки в них]. В настоящей работе применяется ab initio ППЭ [29] молекулы озона, являющаяся на данный момент наиболее точной в широком диапазоне межъядерных расстояний. Эта поверхность уже неоднократно верифицировалась в рамках спектроскопических вариационных расчётов энергий колебательно-вращательных уровней O3 [1, 26, 27] и в задачах по динамике изотопических реакций обмена атомарного и молекулярного кислорода типа: 18O + 16O16O => O3* => 18O16O + 16O [30- 32], которые показали лучшее согласие с экспериментами по сравнению с другими потенциальными функциями. Текущая работа направлена на получение новой информации по характеру колебательных движений молекулы O3 в области низких и высоких энергий (вплоть до порога диссоциации и выше) в рамках нелинейной классической механики и связанной с ней теорией ПО. Важность работы обуславливается необходимостью интерпретации квантовых расчётов и экспериментов в области высоких энергий, направленных на поиск устойчивых типов колебательных движений, влияющих на процессы образования и распада молекулы О3. 1. Моделирование периодических орбит Один из эффективных методов исследования структуры фазового пространства нелинейных динамических систем основывается на построении ПО в зависимости от энергии или любого другого заданного параметра. Пусть для многоатомной молекулы, имеющей N степеней свободы, фазовые переменные (координаты q и импульсы p) задаются обобщённым вектором x: , (1) тогда поиск ПО связан с нахождением решения краевой задачи вида (2) где Т - период, в течение которого траектория, полученная интегрированием классического уравнения движения, возвращается в исходную точку фазового пространства. С учётом введённых обозначений, уравнение движения для динамической системы примет вид , (3) где J - симплектическая матрица: , (4) в которой 0N и IN - нулевая и единичная N × N-матрицы соответственно. Для нахождения ПО в молекуле О3 применялся программный код POMULT [12], в котором реализован метод последовательных пробных запусков траекторий для решения краевой задачи (2). Данный код подходит для молекулярных комплексов с произвольным числом степеней свободы и неоднократно применялся ранее (см., например, [15, 16]). Метод последовательных пробных запусков траекторий преобразует краевую задачу в m-задач Коши (m-задач с начальными условиями), численное решение которых производится, в частности, методами Ньютона - Рафсона и секущих. Стабильность ПО определяется собственными значениями (λ) так называемой матрицы монодромии [12]. Для системы с N степенями свободы N-1 пара собственных значений двигаются в комплексной плоскости при изменении параметров системы и могут сближаться и образовывать новые ПО. При варьировании энергии системы с тремя степенями свободы и выше собственные значения стабильных ПО находятся на комплексной единичной окружности. Если собственные значения выходят за пределы единичной окружности, но являются вещественными, ПО является одиночной или двойной неустойчивой. И наконец, четыре комплексных собственных значения могут быть за пределами единичной окружности, что соответствует нестабильной комплексной ПО. Столкновение собственных значений может приводить к возникновению бифуркаций типа вилки, седло-узел и бифуркаций двойного периода. Для ПО с параметром стабильности λ = exp(iσT) при рождении новой орбиты с периодом nT выполняется соотношение T/(2π/σ) = m/n, где m и n - целые числа. Уравнение движения (3) рассматривалось с колебательным гамильтонианом (J = 0) трёхатомной молекулы в координатах Якоби: , (5) где pR, pr и pth - импульсы, канонически сопряжённые с координатами R, r и th; µR и µr - редуцированные массы; V(R, r, th) - ППЭ. В качестве ППЭ нами применялась наиболее точная функция [29], полученная с применением ab initio метода MRCI с атомными базисами, включающими диффузные орбитали (AVXZ) с экстраполяцией кардинальных чисел (X = T, Q, 5, 6, …) до полных наборов при X  . Первые и вторые частные производные от ППЭ, необходимые для реализации метода последовательных пробных запусков, были вычислены аналитически. 2. Анализ периодических орбит Молекула O3 - трёхатомная, имеющая в «открытой» геометрической конфигурации основного электронного состояния группу симметрии С2v. Как и у других трёхатомных молекул этой группы симметрии (H2O, SO2, H2S и др.), O3 имеет в гармоническом приближении три колебательные степени свободы, соответствующие симметричному (ss), антисимметричному (as) и изгибному (b) типам движений. С повышением энергии возбуждения антисимметричный тип нормальных мод трансформируется в локальные моды колебаний, которые могут осуществляться вдоль любой из двух валентных связей (loc1 и loc2). Подобный переход от нормальных к локальным модам происходит и в других молекулах, но в отличие от O3 трансформируется симметричный тип колебательных движений. Особенностью O3 является то, что нормально-локальный переход происходит при сравнительно низких энергиях (рис. 1). Согласно результатам предыдущих моделирований ПО для H2O и SO2 [15, 16], бифуркация типа вилки в молекулах H2O и SO2 происходит при энергиях 3000 и 17000 см-1 соответственно. Более поздний переход к локально-модовым движениям в SO2 объясняется тем, что в SO2 нормально-модовый характер колебательных движений сохраняется вплоть до высоких энергий возбуждения из-за слабой резонансной связи между симметричной и антисимметричной модами. Это позволяет в большинстве случаев оперировать обычным набором квантовых чисел (V1, V2, V3) при идентификации спектров SO2 (см., например, [33]). Рис. 1. Периодические орбиты O3, соответствующие симметричному ss, антисимметричному as, локально-модовому loc1 и loc2 и изгибному b типам колебательных движений (а). Резонансные орбиты loc-b1 и loc-b2 в области высоких энергий (б) В H2O, напротив, локализация энергии в OH-связях наблюдается уже с более низких обертонов мод V1 и V3, соответствующих квантовым состояния [n, 0]+,0 и [n, 0]-,0 в терминах локальных мод. Однако расстояние между энергиями дублетных уровней dEn = E([n, 0]-,0)-E([n, 0]+,0) убывает неравномерно из-за случайных резонансов между локальными и изгибными модами. Это приводит к возникновению новых ПО, соответствующих бифуркациям удвоенного периода [16]. Исследование «относительных точек равновесия» в редуцированном фазовом пространстве колебательных полиад озона проводилось в [34], где анализ бифуркаций основывался на эмпирической потенциальной функции [35] (определенной из экспериментальных уровней до 5000 см-1) и полиномиальных разложений канонической теории возмущений. Этот подход, использующий элегантный математический формализм, позволил глубже понять трансформацию колебаний в озоне по сравнению с первыми двумерными моделями [4], игнорирующими роль изгибных колебаний, но при этом имеет ограниченную область применимости в области высоких энергий, в особенности в районе порога диссоциации. Наше исследование основывается на точной форме кинетической энергии ядерных движений и полноразмерной ab initio ППЭ [29], которая адекватно описывает эксперименты по энергии диссоциации и динамику столкновительных процессов [30-32]. Проведенные нами моделирования ПО молекулы O3 в значительной части подтверждают результаты [34], но вместе с этим показывают более реалистичный характер колебаний около диссоциации. Так выявлено наличие ПО из-за бифуркаций удвоенного периода в области энергий 7470 см-1 (loc-b1 и loc-b2 на рис. 1). Классические траектории ядер данных ПО представляют собой комбинацию валентных и изгибных колебательных движений (см. далее). Каждая точка ПО на диаграммах рис. 1 отвечает колебаниям ядер с фиксированной амплитудой, соответствующей полной энергии, отложенной на горизонтальной оси. С ростом энергии возбуждения частота колебаний уменьшается (а их период возрастает), что соответствует ангармонической форме ППЭ. Наши моделирования были ограничены энергией около 11000 cм-1, соответствующей метастабильным состояниям, исследованным в [27], что примерно на 2500 см-1 выше порога диссоциации De ~ 8450 см-1 [29, 36]. Как следует из рис. 1, в O3 бифуркация типа вилки возникает при ещё более низких энергиях возбуждения по сравнению с H2O. В следующих наших работах планируется проведение вариационных расчётов уровней энергий O3 и наложение уровней обертонных состояний на соответствующие ПО: ss - (V1, 0, 0); as, loc - (0, 0, V3) →[n, 0]+,0 и (1, 0, V3-1) →[n, 0]-,0; b - (0, V2, 0). Квантовые состояния, претендующие на новые резонансные ПО, будут установлены посредством сравнения нодальной структуры волновых функций с классическими траекториями ядер. Из анализа собственных значений матрицы монодромии следует, что ПО, отвечающие симметричному типу колебаний, являются стабильными вплоть до энергии диссоциации. Между тем ПО антисимметричных колебаний становятся нестабильными начиная с 1365 см-1 и вплоть до энергии диссоциации. Эта нестабильность соответствует бифуркации типа вилки и появлению ПО двух локальных мод с одинаковой энергией и частотой (рис. 1, а). Переход на локально-модовые ПО возможен при незначительном варьировании фазовых координат антисимметричных ПО. Рис. 2. Фазовые портреты локализованных периодических орбит (рис. 1) при Е = 9000 см-1: а - ss; б - as; в - loc1; г - b; д - loc-b1; е - loc-b2 Как известно, в фазовом пространстве колебательные движения гармонического или слегка ангармонического осциллятора имеют эллиптическую форму. Это видно из рис. 2, а-г. Далее при перескоке на резонансную орбиту эллипс трансформируется в более сложную по форме фигуру (рис. 2, д и е). Новые резонансные орбиты имеют уникальные фазовые портреты только начиная с энергий 7470 см-1, когда происходит бифуркация удвоенного периода. До этой точки фазовые портеры близки по своей форме невозмущенным орбитам. 3. Проекции периодических орбит на координатное пространство Рис. 3. Проекции локализованных ПО (рис. 1) на пространство валентных координат (r12, r13 и Θ) (см. также с. 160) Каждой из ПО, локализованной в фазовом пространстве (см. рис. 1), соответствуют определённые траектории движения ядер в координатном пространстве. Как видно из рис. 3, амплитуда колебаний ядер возрастает по мере повышения энергии возбуждения молекулы. Рис. 3 демонстрирует классические траектории для трёх фундаментальных колебаний: O3 - симметричные и антисимметричные движения ядер и изгибные колебания - деформация валентного угла. В O3 антисимметричный тип колебательных движений перестаёт быть устойчивым начиная с энергий 1365 см-1 и трансформируется далее в новый смешанный тип движений, в котором присутствуют характерные черты локальных мод (рис. 3, в), что подтверждается поведением волновых функций [4]. Характер колебательных движений для ПО loc-b1 и loc-b2 вновь качественно меняется, и траектории в конфигурационном пространстве геометрических смещений приобретают новые формы после бифуркации удвоенного периода (7470 см-1), а до этого момента данные орбиты соответствуют локально-модовому типу движения. Очевидно, что приведённые на рис. 3, д и е траектории Рис. 3. Окончание представляют собой сложную комбинацию валентных и изгибных колебательных движений молекулы. Из рис. 3, д, в частности, видно, что начальный характер колебательных движений близок к локально-модовому (loc2) - длина связи r13 увеличивается примерно на 1 ат. ед. длины (Bohr, Бор). В то же время одновременно при растяжении длины связи r13 изгибный угол уменьшается примерно на 30, а длина связи r12 - на 0.4 Бор (случай для энергии возбуждения 10000 см-1). Далее в течение короткого времени увеличивается только длина связи r12 (примерно на те же 0.4 Бор), что близко к локально-модовому типу движения loc1. После этого начинается обратный процесс - доминирующей чертой колебательных движений является уменьшение длины связи r13 примерно на 1 Бор (loc2), увеличение изгибного угла на 30 и уменьшение длины связи r12 на 0.4 Бор. Таким образом, при колебательных движениях вдоль ПО loc-b1 происходят резонансные взаимодействия между локально-модовыми и изгибными колебаниями в соответствии с условием ωs ≈ 2 ωb. В ПО loc-b2 присутствуют черты антисимметричного типа колебательных движений (рис. 3, е). Так, при первом «витке» длина связи r12 уменьшается примерно на 1.0 Бор, а связь r13 увеличивается примерно на 0.7 Бор. При этом данное «антисимметричное движение» сопровождается примерно 30-градусным изменением изгибного угла. Во втором «витке» начинают проявляться черты локально-модовых движений (в особенности на завершающей стадии колебаний), энергия которых также частично передается изгибным колебаниям вследствие резонансных взаимодействий. Заключение В работе выполнено моделирование периодических орбит для основного изотопа молекулы озона на основе наиболее точной из известных в литературе ab initio поверхности потенциальной энергии. Наряду с основными семействами периодических орбит выявлены резонансные орбиты, возникающие в результате бифуркаций удвоенного периода, в области высоких энергий (≈ 7470 см-1). Данные периодические орбиты являются следствием сильных резонансных взаимодействий в молекуле О3 между валентными и изгибными типами колебательных движений. В отличие от результатов упрощенной двумерной модели [4], текущий анализ, использующий полноразмерную поверхность потенциальной энергии и точную форму кинетической энергии ядер, показывает, что пространственные траектории ядер для периодических as-орбит после первичной классической бифуркации типа вилки не имеют полной локализации в валентных связях: локально-модовое движение сопровождается сильными изгибными колебаниями (∆Θ ≈ 45○ при E = 10000 см-1). Полученные результаты будут в ближайшее время сопоставлены с вариационными расчётами энергий квантовых состояний молекулы O3. Также планируется исследовать характер трансформаций периодических орбит озона в результате изотопических замещений для интерпретации лазерных спектроскопических экспериментов при сильных колебательных возбуждениях в переходных состояниях около порога диссоциации.

Ключевые слова

озон, периодические орбиты, диссоциация, нелинейные эффекты, бифуркации, фазовый портрет, резонансные взаимодействия, локализация волновых функций, эффект нарушения симметрии, ozone, periodic orbits, dissociation, nonlinear effects, bifurcations, phase portrait, resonance coupling, localization of wave functions, symmetry breaking effect

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Егоров Олег ВикторовичНациональный исследовательский Томский государственный университет; Институт оптики атмосферы им. В.Е. Зуева СО РАНк.ф.-м.н., науч. сотр. НИ ТГУ, науч. сотр. ИОА СО РАНegrvoleg@gmail.com
Могьер ФредерикRoméo Computing Center, Université de ReimsPh.D., инженер вычислительного центраfrederic.mauguiere1@univ-reims.fr
Тютерев Владимир ГригорьевичНациональный исследовательский Томский государственный университет; Groupe de Spectrométrie Moléculaire et Atmosphérique, Université de Reimsд.ф.-м.н., гл. науч. сотр. НИ ТГУ, профессор Université de Reimsvladimir.tyuterev@univ-reims.fr
Всего: 3

Ссылки

Barbe A., Mikhailenko S., Starikova E., et al. // J. Quant. Spectr. Radiat. Transfer. - 2013. - V. 130. - P. 172-190.
Pavlov-Verevkin V.B. // Russ. Chem. Rev. - 1992. - V. 61. - No. 1. - P. 1-14.
Arnold V.I. Catastrophe Theory. - Berlin: Springer, 1984. - 79 p.
Xiao L. and Kellman M.E. // J. Chem. Phys. - 1989. - V. 90. - No. 11. - P. 6086-6098.
Tyng V. and Kellman M.E. // J. Chem. Phys. - 2009. - V. 130. - P. 144311.
Zhilinskii B. // Encyclopedia of Complexity and Systems Science / ed. R. Meyers. - N.Y.: Springer, 2009. - P. 7135-7154.
Ishikawa H., Field R.W., Farantos S.C., et al. // Annu. Rev. Phys. Chem. - 1999. - V. 50. - P. 443-484.
Joyeux M., Grebenshchikov S.Y., Bredenbeck J., et al. // Adv. Chem. Phys. - 2005. - V. 130. - P. 267-303.
Weinstein A. // Inv. Math. - 1973. - V. 20. - P. 47-57.
Moser J. // Commun. Pure Appl. Math. - 1976. - V. 29. - P. 727-747.
Ezra G.S. // Advance in Classical Trajectory Methods. - Greenwich, Connecticut: JAI Press, 1998. - V. 3. - P. 35-72.
Farantos S.C. // Computer Phys. Commun. - 1998. - V. 108. - P. 240-258.
Joyeux M., Farantos S.C., and Schinke R. // J. Phys. Chem. - 2002. - V. 106. - P. 5407-5421.
Farantos S.C., Schinke R., Guo H., and Joyeux M. // Chem. Rev. - 2009. - V. 109. - P. 4248-4271.
Mauguiere F., Tyuterev Vl., and Farantos S.C. // Chem. Phys. Let. - 2010. - V. 494. - P. 163-169.
Mauguiere F., Rey M., Tyuterev Vl., et al. // J. Chem. Phys. A. - 2010. - V. 114. - P. 9836-9847.
Gutzwiller M.C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. - N.Y.: Springer, 1990. - 432 p.
Child M.S., and Lawton R.T. // Faraday Discussions of the Chemical Society. - 1981. - V. 71. - P. 273-285.
Kellman M.E. // J. Chem. Phys. - 1985. - V. 83. - No. 8. - P. 3843-3858.
Fabian P., and Dameris M. Ozone in the Atmosphere: Basic Principles, Natural and Human Impacts. - Heidelberg; New York; Dordrecht; London: Springer, 2014. - 137 p.
Gao Y.Q. and Marcus R. // Science. - 2001. - V. 293. - P. 259-263.
Campargue A., Kassi S., Romanini D., et al. // J. Mol. Spectrosc. - 2006. - V. 240. - P. 1-13.
Campargue A., Barbe A., De Backer-Barilly M.-R., et al. // Phys. Chem. Chem. Phys. - 2008. - V. 10 - P. 2925-2946.
Babikov Y.L., Mikhailenko S.N., Barbe A., and Tyuterev V.G. // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. - 2014. - V. 145. - P. 169-196.
Alijah A., Lapierre D., and Tyuterev V. // Mol. Phys. - 2018. - V. 116 - P. 2660-2670.
Tyuterev V. G., Kochanov R., Campargue A., et al. // Phys. Rev. Lett. - 2014. - V. 113. - 143002.
Lapierre D., Alijah A., Kochanov R., et al. // Phys. Rev. A. - 2016. - V. 94. - P. 042514
Tyuterev V.G., Kochanov R.V., and Tashkun S.A. // J. Chem. Phys. - 2017. - V. 146. - P. 064304.
Tyuterev V.G., Kochanov R.V., Tashkun S.A., et al. // J. Chem. Phys. - 2013 - V. 139. - P. 134307.
Guillon G., Honvault P., Kochanov R., and Tyuterev V. // J. Phys. Chem. Lett. - 2018. - V. 9. - P. 1931-1936.
Honvault P., Guillon G., Kochanov R., and Tyuterev V. // J. Chem. Phys. - 2018. - V. 149. - P. 214304.
Yuen C.H., Lapierre D., Gatti F., et al. // J. Phys. Chem. A. - 2019. - V. 123. - P. 7733-7743.
Lawton R.T., and Child M.S. // Mol. Phys. - 1981. - V. 44. - P. 709-723.
Kozin I.N., Sadovskii D.A., and Zhilinskii B.I. // Spectrochimica Acta Part A. - 2004. - V. 61. - P. 2867-2885.
Tyuterev Vl.G., Tashkun S.A., Schwenke D.W., et al. // Chem. Phys. Lett. - 2000. - V. 316, No. 3/4. - P. 271-279.
Holka F., Szalay P.G., Müller T., and Tyuterev V.G. // J. Phys. Chem. A. - 2010. - V. 114. - P. 9927-9935.
 Периодические орбиты и бифуркации колебательных мод молекулы озона при высоких энергиях | Известия вузов. Физика. 2019. № 10. DOI: 10.17223/00213411/62/10/154

Периодические орбиты и бифуркации колебательных мод молекулы озона при высоких энергиях | Известия вузов. Физика. 2019. № 10. DOI: 10.17223/00213411/62/10/154