About Schwarzschild solution based on a model of the dark energy.pdf Введение В отличие от метрики Вайдья [1] и Флоридеса [2, 3], на основе общей теории относительности А. Эйнштейна рассмотрим сферически-симметричное решение Шварцшильда с учетом изменяющейся модели темной энергии [4, 5]. Наша задача заключалась в теоретическом учете представлений в модели изменяющейся темной энергии функционала W(t). Задача сходна с записью уравнений ОТО с учетом электромагнитных сил, основанных на уравнениях Максвелла и Дирака. Рассмотрено важное с астрофизической точки зрения решение Керра (основы теории черной дыры) с аксиоматической гипотезой учета в ней темной энергии. 1. О решении Шварцшильда с учетом модели темной энергии Запишем квадрат интервала в пространстве-времени Минковского в сферических координатах в виде ds2 = (eν(r, t) - W(t)) c2dt2 - eλ(r, t)dr2 - r2dΩ2 . (1) Здесь (eν(r, t), W(t)) - коэффициенты стандартного времени; W(t) - функционал, зависящий от модели темной энергии и обоснованной в работах [4-6]. Определим, учитывая (1), тензор кривизны в римановой геометрии: Rνβ = Гλβν,λ - Гλβλ,ν + Гσβν Гλσλ - Гσβλ Гλσν . (2) Для ν = 0, β = 0: R00 = eν-λ{(d(dν / dr) / dr) / 2 + (dν / dr)2 / 4 + (dν / dr) / r} + (dλ / dt) [(dλ / dt)eν + dW / dt] / / 4(eν - W)] - (d(dλ / dt) / dt) / 2 - (dλ / dt)2 / 4 = 0. (3) Для ν = 1, β = 1: R11 = (eν/2(eν - W)){-(d(dν / dr) / dr) / 2 - (dν / dr)2 / 2 - (dν / dr)2 eν / (eν - W) + + (dν / dr) (dλ / dr) / 2} + (eν / 2(eν + W)) {(d(dλ / dt) / dt) + (dλ / dt)2 / 2 - - (dλ / dt) ((dν / dt) eν + (dW / dt)) / 2(eν - W)} + (dλ / dr) / r = 0. (4) Для ν = 2, β = 2: R22 = e-λ(-1 + r(dλ / dr) / 2 - r(dν / dr) eν / 2(eν - W)) + 1 = 0. (5) Для ν = 0, β = 1: R01 = (dλ / dt) / r = 0, (6) (совпадающее с теоремой Биркхофа о сферически-симметричном решении). Тогда имеем R00 = eν-λ{(d(dν / dr) / dr) / 2 + (dν / dr)2 / 4 + (dν / dr) / r} = 0; (7) R11 = (eν/2(eν - W)) {-(d(dν / dr) / dr) / 2 - (dν / dr)2 / 2 - (dν / dr)2 eν / (eν - W) + + (dν / dr) (dλ / dr) / 2} + (dλ / dr) / r = 0; (8) R22 = e-λ(-1 + r(dλ / dr) / 2 - r(dν / dr) eν / 2(eν - W)) + 1 = 0. (9) Умножим (7) на eλ-ν(eν - W) / eν и сложим с (8): Weν(dν / dr)2 / 4(eν - W) + ( dλ/dr)/r + eν(dν/dr) / r(eν - W) = 0. (10) Положим Weν(dν / dr)2 / 4(eν - W) →0, тогда имеем уравнение (dλ/dr) / r + eν(dν / dr) / r(eν - W) = 0. (11) Положим y = eν, тогда dν / dr = (dy / dr) / y. Перепишем (9) в виде e-λ(-1 + r(dλ / dr) / 2 - r(dy / dr) / 2(eν - W)) + 1 = 0. (12) Из (11) имеем dλ / dr = -(dy / dr) / (eν - W). (13) Интегрируя (13), получим eλ = 1 / (eν - W). (14) Наконец, подставляя (14) в (12), запишем уравнение dy / dr + (y - W) / r - 1 / r = 0. (15) Мы имеем уравнение с разделяющими переменными: dy / dr = (1 - y - W) / r. (16) Решение имеет вид eν = 1 - C0 / r + W, eλ = 1 / (1 - C0 / r). (17) Из принципа соответствия с теорией Ньютона находится константа интегрирования C0 = 2GM/c = α. Итак, обобщенное решение имеет вид ds2 = (1 - α / r + W) c2dt2 - dr2 / (1 - α / r) - r2dΩ2. (18) Для частицы, согласно (18), запишем функцию Лагранжа ₤ (θ = π / 2): ₤ = k = 1 = (1 - α / r + W) (dx0 / ds)2 - (dr / ds)2 / (1 - α / r) - r2(dφ / ds)2. (19) Для (19) имеем интегралы энергии и углового момента: (dx0 / ds) (1 - α / r + W) = ε0 = const; (20) (dφ / ds) = -L / r2 = const. (21) С учетом (20), (21) получим (dr / ds)2 = (1 - α / r) (ε0)2 / (1 - α / r + W) - (1 - α / r) (1 + L2 / r2). (22) Эффективный потенциал запишется тогда в виде U( r ) = (1 - α / r) (ε0)2 / (1 - α / r + W) - (dr / ds)2 = (1 - α / r) (1 + L2 / r2). (23) Теперь для частицы в поле коллапсара, согласно С.А. Каплана (1949), можно найти радиусы круговых орбит. Для этого определим экстремумы функции U: dU / dr = 0, r1 = (L2 / α) [1 + (1 - 3 α2 / L2)1/2] - для устойчивых орбит; (24) r2 = (L2 / α)[1 - (1 - 3 α2 / L2)1/2] - для неустойчивых орбит. (25) Учитывая (23), получим ε0 = {[U(1 - α / r + W)] / (1 - α / r)}1/2. (26) Ближайшая к центру устойчивая круговая орбита тогда имеет следующие параметры: r = 3 α, L = 31/2 α, ε0 ≈ [8/9 + 4W/3]1/2 . (27) В (26), (27) видно, что к решению Каплана через W добавляется темная энергия; из (25) определяется радиус неустойчивой орбиты r = 3 α/2. При изучении внутренней задачи рассматривается сфера, заполненная стандартной плотностью ρ00 и плотностью темной энергии ρ*00D = 0.673∙10-29 г/см3, ρ = ρ00 + ρ*00D ; компоненту тензора энергии-импульса можно записать в виде (G8π / c4) T00 = -(eν - W) ((dν / dr) (eλ+ν / r) - 1 / r2) + 1 / r2. (28) Параметр λ тогда можно записать, с одной стороны, как λ = -ln(1 - ((G8π / c4) / r ∫a*0 T00 r2dr)), (29) с другой стороны, (18) как λ = -ln(1 - α / r + W). (30) Сравнив (29) и (30), получим α = Wr + (G8π / 4) ∫a*0 T00 r2dr)). (31) Но α = 2MG / c2, тогда М, определяющая полную массу тела, включающая массу субстанции темной энергии mD, будет равна M = m + mD = Wr c2 / 2G + (4π / c2 )∫a*0 T 00 r2dr)). (32) Интересно, что для параметра W = 0.006 [6] и радиуса вновь открытой черной дыры M87 a* ≈ ≈ 212∙109 км масса первого члена (32) равна 84.8 кг! Уравнение состояния рассматриваемой сферы может удовлетворить уравнению гидростатического равновесия Толмена - Оппенгеймера - Волкова ОТО [7]: -dp / dr = {ρ + p) [M(r) - 4πr3p(r)]} / r[r - 2M(r)]. (33) 2. Определение энергии круговой орбиты в предельной метрике Керра (параметр вращения a→α/2) Для вращающейся системы (метрики Керра - теории черной дыры) можно аксиоматически обобщить влияние функционала W с учетом в модифицированной метрике Boyer, Lindquist (1967), представленной для экваториального случая в [8, ф. (46), с. 241] и в [9, ф. (9), с. 422): dx2 = (1 - α/r + W) c2dt2 - dr2 / (1 - α / r + a2 / r2) - r2 (1 + a2 / r2 + α a2 /r3)dφ2 + + 2(αa / r) (1 + W)1/2cdtdφ, θ = π / 2. (34) При отсутствии вращения a = 0 имеем полученную метрику (18). Функция Лагранжа ₤ для частиц равна ₤ = k = 1 = (1 - α / r + W) (dxo / ds)2 - (dr / ds)2 / (1 - α / r + a2 / r2) - - r2 (1 + a2 / r2 + α a2 / r3) (dφ / ds)2 + 2(αa / r) (1 + W)1/2 (dxo / ds) (dφ / ds). (35) Из (29) имеем интеграл энергии (1 - α/r + W) (dxo / ds) + (αa / r) (1 + W)1/2 (dφ/ds) = ε0 ; (36) интеграл углового момента (r2 + a2 + α a2 / r) (dφ / ds) - (αa / r) (1 + W)1/2 (dxo / ds) = L. (37) Решая (36) , (37), получим dxo / ds = -L(αa / r) (1 + W)1/2 / (∆ + r2W) + ε 0 (r2 + a2 + α a2 / r) / (∆ + r2W), (38) ∆ = r2 - α r + a2 ; dφ / ds = L(1 - α / r + W) / (∆ + r2W) + (αa / r) ε 0 (1 + W)1/2 / r(∆ + r2W). (39) Далее имеем (dxo / ds)2 = {-L(αa / r) (1 + W)1/2 + ε0 (r2 + a2 + α a2 / r)}2 / (∆ + r2W)2; (40) (dφ / ds)2 = {L(1 - α / r + W) + (αa / r) ε0 (1 + W)1/2 / r}2 / (∆ + r2W)2 ; (41) (dxo / ds) (dφ / ds) ={-L(αa / r) (1 + W)1/2 + ε0 (r2 + a2 + α a2 / r)}   {L(1 - α / r + W) + (αa / r) ε0 (1 + W)1/2 / r} / (∆ + r2W)2. (42) Подставим (40), (41) в (35): (dφ / ds)2 = -(1 - α / r + a2 / r2) + (1 - α / r + W) (1 - α / r + a2 / r2) {-L(αa / r) (1 + W)1/2 + + ε0 (r2 + a2 + α a2 / r)}2 / (∆ + r2W)2 - r2(1 - α / r + a2 / r2) (1 + a2 / r2 + α a2 / r3)   {L(1 - α / r + W) + (αa / r) ε0 (1 + W)1/2 / r}2 / (∆ + r2W)2 + 2(αa / r) (1 + W)1/2   {-L(αa / r) (1 + W)1/2 + ε0 (r2 + a2 + α a2 / r)}  {L(1 - α / r + W) + (αa / r) ε0 (1 + W)1/2 / r} / (∆ + r2W)2 = 0. (43) Мы получили выражение, позволяющее определить «эффективный потенциал» U(r) и по аналогии с (23) - (27) для dU/dr = 0, U = ε0 оценить учет темной энергии: при L < 0 известно решение Руффини и Уилера [9] rmin / α = 9/2, L = 11/33/2; полученное решение для полной энергии имеет вид ε0 = 5 / 33/2 + f(W), f(W) ≤ 1.05W. (44) Заключение 1. На основе общей теории относительности предложено решение сферически-симметрич¬ного поля с учетом модели темной энергии; рассмотрены внешняя и внутренняя задачи. 2. Для частицы в поле коллапсара на основе полученного решения, а также решения предельного поля Керра найден радиус круговых орбит также с учетом модели темной энергии.

Скачать электронную версию публикации