On the possible role of nonlinear inflaton scalar field in the formation of astrophysical objects.pdf В настоящее время достаточно широко, детально и успешно проводятся исследования по описанию и объяснению причин происхождения Вселенной и её эволюции от самых ранних этапов до современного этапа и даже до характера будущих этапов её развития. Следует отметить, что для объяснения первого и второго этапов инфляционного (ускоренного) расширения Вселенной широко используются различные нелинейные скалярные поля, моделирующие инфлатонные поля, индуцирующие первичную и вторичную инфляцию на современной стадии расширения Вселенной [1]. В настоящее время, после обнаружения бозона Хиггса в экспериментах на Большом адронном коллайдере, получено дополнительное обоснование возможности использования скалярных полей для описания эволюции Вселенной, а также и в астрофизике для объяснения природы некоторых астрофизических объектов, невидимых в оптическом диапазоне, например космических струн, компонент тёмной материи, а может быть, и объектов, имитирующих «чёрные дыры». Кроме того, некоторые свойства нелинейных скалярных полей используются в космологии для объяснения ускоренного расширения Вселенной, например наличия отрицательного давления у таких полей и даже фантомных свойств. Но именно такие свойства материи в астрофизике способствуют образованию «кротовых нор». Поэтому в данной работе мы как раз и рассмотрим стационарные распределения самогравитирующих нелинейных скалярных полей с инфлатонными свойствами для исследования возможностей образования «кротовых нор», а также космических струн. Стационарные самогравитирующие скалярные поля, линейные и нелинейные, рассматриваются давно [2, 3]. Возможности образования «кротовых нор» с использованием самогравитирующего скалярного поля с неминимальной связью исследованы, например, в [4]. Часто для получения решений с «кротовыми норами» использовалось так называемое «фантомное» скалярное поле [4, 5] с отрицательным знаком при кинетическом члене в лагранжиане и тензоре энергии-импульса скалярного поля, что, с нашей точки зрения, не очень корректно. В настоящей работе мы используем нелинейное скалярное поле обязательно с положительным кинетическим членом и с нелинейным потенциалом V(φ) экспоненциального вида , , поскольку такой потенциал наиболее часто применяется в космологии для моделирования инфлатонного скалярного поля [1, 6]. Причём выбирались такие значения параметров , и других констант, которые могли бы обеспечить получение решений с «кротовыми норами». В работах [7-10], где мы рассматривали возможные астрофизические эффекты вихревого гравитационного поля, мы также учитывали возможное влияние нелинейного скалярного поля с потенциалом , но только лишь на асимптотику получающихся распределений полей. В данной работе самогравитирующее нелинейное скалярное поле является главным объектом исследования, и мы с максимальной полнотой, с учётом всех возможных определяющих это поле уравнений и комбинаций параметров, исследуем свойства его равновесных конфигураций. Рассмотрим стационарное пространство-время с цилиндрической симметрией, описываемое метрикой , (1) где координаты x, z, t являются безразмерными и соотнесены с соответствующими размерными координатами (x1, x3, x4) с помощью выбранного масштаба длины l формулами . (2) Совместная система уравнений Эйнштейна и скалярного поля с потенциалом V(φ) будет иметь следующий вид: (3) Здесь выбрано гармоническое координатное условие: . Из второго уравнения системы (3) для метрического коэффициента следует, что при отрицательном потенциале V(φ), а это является необходимым (но не достаточным) условием для существования решения, описывающего геометрию пространства-времени «кротовой норы». Как было указано выше, мы в данной работе исследуем свойства стационарных астрофизических конфигураций с нелинейным скалярным полем с экспоненциальным потенциалом: . (4) Для получения решений, описывающих геометрию «кротовых нор», необходимо, чтобы было отрицательным, так что, вводя обозначение и переходя к безразмерному скалярному полю и к безразмерному коэффициенту , уравнения системы (3) приведем к такому виду: (5) Здесь тоже выполняется гармоническое координатное условие: . Из системы (5) сразу получаем два первых интеграла: . (6) Далее, комбинируя второе, третье, четвёртое и пятое уравнения системы (5), получим уравнение . (7) Это уравнение Лиувилля для функции , решение которого известно. В данном случае возможны три варианта значений коэффициента при экспоненте: 1) ; 2) ; 3) . I. Рассмотрим сначала вариант, когда , тогда из уравнения (7) имеем . (8) Из (8) получаем уравнение для и его решение: . (9) После этого уравнение для функции φ(x) и его решение будут иметь следующий вид: , . (10) Из условия совместности системы (5) получим первое условие для констант С, С1, С2, С3, С4: . (11) Далее, подставляя решения (8) и (9) в первое уравнение системы (5) - уравнение первого порядка, определяющее граничные условия для рассматриваемой системы физических полей, - получим ещё одно ограничение на значения констант интегрирования: . (12) Решение для самих метрических коэффициентов будет иметь следующий вид: (13) Здесь, когда и , нигде не равно нулю во всём интервале и при и , то есть имеем две пространственные бесконечности на концах указанного интервала. Следовательно, решение (13) описывает геометрию «кротовой норы». Аналогичную геометрию «кротовой норы» имеем и в противоположном случае, когда и , главное, чтобы константы и имели противоположные знаки. Но когда и имеют одинаковые знаки, то на одном конце интервала имеем пространственную бесконечность, а на противоположном , то есть будем иметь ось симметрии. Далее для исследования физических свойств полученной «кротовой норы» рассмотрим её асимптотику на одном из её концов, например на правом, и гравитационную силу внутри неё. При этом достаточно исследовать первый вариант существования «кротовой норы», когда и , так как во втором варианте ( и ) асимптотические свойства будут аналогичными, но с заменой правого конца на левый и наоборот. Поэтому будем исследовать только случай и . Тогда удобно переобозначить эти константы: , . (14) Рассмотрим сначала возможность плоской асимптотики на правом конце интервала , так как такая возможность на его левом конце ( ) при условии (14), как видно из решения (13), исключается. Для существования плоской асимптотики необходимо выполнение условий и при . Это возможно, когда выполняются равенства и , то есть справедливы соотношения , . (15) Подставляя эти значения констант (14) и (15) в условия (11) и (12), получим соответственно следующие соотношения: . (16) При подстановке формул (16) в первое уравнение системы (3) получаем, что и , то есть , а это противоречит поставленной исходной задаче. Следовательно, нельзя добиться того, чтобы существовала плоская асимптотика хотя бы с одной стороны получившейся «кротовой норы». Тогда ослабим условие и при , оставим только при , то есть только и , , . При этом константа С, влияющая на асимптотику метрического коэффициента , остаётся неопределённой и в границах выполнения условий (11) и (12). Для константы C получаем соотношение , . (17) Для исследования физических свойств получившейся «кротовой норы» удобно использовать выражение для гравитационной силы внутри неё, которая определяется формулой, справедливой в невращающейся системе отсчёта: . (18) С учётом полученного решения (13) и условий на константы (при ), получим . (19) Так что в асимптотике при формула для будет иметь такой вид: . (20) Здесь - это единичный направляющий вектор оси OX, а m - масса пробной частицы. Из формулы (20) для следует, что так как коэффициент при направляющем векторе оси OX положителен, то сила направлена вдоль вектора , то есть наружу из «кротовой норы». Таким образом, на правом выходе из «кротовой норы» действует антигравитация! При этом внутри «кротовой норы» по всей её длине направление не меняется, но величина этой силы увеличивается по мере движения к левой асимптотике ( ) и на этой асимптотике, а сила и направлена внутрь «кротовой норы», то есть на левом конце данной «кротовой норы» действует бесконечно большая сила гравитационного притяжения. Следовательно, любая материя, падая с левого конца в «кротовую нору», под действием большой силы притяжения будет двигаться к правому выходу и будет вытолкнута из «кротовой норы». И наоборот, если материальный объект с правого конца под действием собственной движущей силы войдёт внутрь, он будет двигаться к левому концу «кротовой норы», встречая нарастающее сопротивление гравитационного поля вплоть до полной остановки. Таким образом, получившаяся «кротовая нора» не является проходимой для случая, когда в уравнении (7). II. Рассмотрим теперь случай, когда в уравнении (7) . В этом случае оно примет вид , (21) где . Первый интеграл этого уравнения следующий: . (22) Интегрируя далее, найдём функцию : . (23) Теперь можно выписать остальные первые интегралы системы уравнений (5) при и получить решение для метрических коэффициентов: , , , ; (24) , . (25) Здесь при решение (25) будет описывать пространство-время «кротовой норы». Как и для предыдущего случая , выпишем соотношения между константами интегрирования q, C, С1, С2, С3, которые следуют из условия совместности уравнений и граничных условий: (26) Теперь опять исследуем возможность плоской асимптотики хотя бы на одной стороне получившейся «кротовой норы», например справа при . Необходимым условием для этого является условие конечности значений для и в асимптотике, то есть , при . Для этого необходимо, чтобы при выполнялись следующие условия: , . (27) Соотношения (26) между константами также не должны нарушаться. Поскольку условием существования геометрии «кротовой норы» в полученном решении (25) является выполнение неравенства , то удобно ввести новые обозначения для константы : , . (28) Тогда из (27) получим выражения для констант и , соответствующих существованию плоской асимптотики с правой стороны «кротовой норы»: . (29) Подставляя теперь (28) и (29) в соотношения (26), найдём остальные константы и соотношения между исходными параметрами: , , . (30) Подставляя полученные значения констант в решение (25), получим для метрического коэффициента выражение . (31) Из этой формулы видно, что при , но при , то есть геометрию «кротовой норы» получившаяся формула для не описывает. Следовательно, как и в предыдущем случае, когда выполнялось условие , требование (25) существования плоской асимптотики хотя бы на одном конце полученной геометрии «кротовой норы» не выполняется. Тогда, как и в случае , ослабим условие и при и оставим лишь одно условие при , для того чтобы в асимптотике справа масштаб длины вдоль оси симметрии OZ оставался конечным. Это выполняется при условии , . Подставляя это условие в соотношения между константами (26), получим для констант и такие соотношения: , . (32) Поэтому , и при . Теперь для исследования физических свойств получившейся «кротовой норы» удобно использовать, как и в предыдущем случае, когда выполнялось условие , выражение для гравитационной силы , определяемой формулой (20). В данном случае , . (33) В асимптотике с правой стороны «кротовой норы» при для имеем предельное значение: . (34) Но поскольку , то получается, что направлена вдоль вектора , то есть на выход из «кротовой норы», и опять получается антигравитационное отталкивание конечной величины на правом выходе из «кротовой норы», то есть антигравитация, как и в случае . При для силы получается предельное выражение: , . (35) Из (35) видно, что поскольку , то множитель при положителен и сила , как и справа, направлена вдоль вектора , то есть внутрь «кротовой норы». Следовательно, на асимп¬тотике слева получается гравитационная сила притяжения, направленная в «кротовую нору», то есть с левого конца получившаяся «кротовая нора» представляется как невидимый космический объект конечной массы. В результате материальный объект, падающий с левого конца в получившуюся «кротовую нору», будет вылетать из неё с другого конца, то есть она для такого объекта является прохо- димой. III. Теперь перейдём к третьему возможному случаю для величины параметра , когда Тогда уравнение (7) будет иметь следующий первый интеграл: , . (36) Здесь - знаковая функция: при , при , при . Рассмотрим сначала первый вариант, когда , тогда формула (36) будет иметь вид . (37) Далее из (37) находим функцию : . (38) И находим первые интегралы для остальных искомых функций при : . (39) В результате для метрических коэффициентов получаем решение при : , , . (40) Одновременно с данным решением, как и в предыдущих случаях, получаем условия на константы интегрирования и исходные параметры: (41) Здесь при угловой метрический коэффициент нигде в области существования решения не обращается в нуль, и при и , то есть на концах этого интервала имеем две пространственные бесконечности. Следовательно, решение (40) при описывает геометрию «кротовой норы». Координата горловины «кротовой норы», то есть её самого узкого места, определяется из уравнения , . (42) Тогда радиус горловины определяется выражением . Здесь следует отметить, что при получается, что при , то есть горловина находится в бесконечно далёкой точке. Такая геометрическая конфигурация получила название «рог». Если же , то при , и, учитывая, что на оси симметрии , имеем ось симметрии рассматриваемой конфигурации самогравитирующего нелинейного скалярного поля на бесконечном расстоянии по координате . Теперь опять рассмотрим вопрос о возможности существования плоской асимптотики для полученной «кротовой норы» - сначала на правом конце интервала . Для этого необходимо выполнение неравенств и при . Это возможно при следующих условиях на константы и : , , . (43) Также должно сохраняться условие существования «кротовой норы» и условия на все константы (41). Сделаем преобразования констант C, С1, С2 в соответствии с условиями (43): , . (44) Подставив эти выражения в соотношения (42) между константами, получаем такие соотношения: , . (45) Противоречий не оказалось. Так что необходимые условия для существования плоской асимптотики, а может быть и струнной, при могут быть выполнены. Напомним, что цилиндрически-симметричный астрофизический объект для удалённого наблюдателя будет выглядеть как космическая струна, если азимутальный угол будет изменяться не как обычно , а в следующих пределах: , где дефект угла . При этом геометрические коэффициенты и в асимптотике должны быть, как и для плоской асимптотики, ограничены. Достаточными условиями существования плоской или струнной асимптотики, кроме и , является ещё и дополнительное условие: , , . (46) В рассматриваемом случае при имеет место равенство , то есть должно выполняться соотношение . (47) Отсюда для дефекта угла получаем . (48) Если , то , и при получается плоская асимптотика. Если , то получается струнная асимптотика, и получившаяся «кротовая нора» издалека, при больших значениях координаты будет выглядеть как космическая струна. Как известно, космические струны могли образоваться на ранней стадии эволюции Вселенной из конденсата тяжёлых бозонов. Они имеют экстремальные характеристики по толщине, длине и линейной плотности массы. Так, например, длина предположительно существующей струны порядка диаметра Галактики. Теперь надо исследовать поведение гравитационной силы в полученной «кротовой норе»: , . (49) Из (49) видно, что при гравитационная сила . Далее, при уменьшении координаты гравитационная сила начинает увеличиваться и действует вдоль оси x, навстречу движению к точке , то есть работает как сила сопротивления. При гравитационная сила , то есть , и сила гравитационного сопротивления неограниченно возрастает. Таким образом, данная «кротовая нора» является непроходимой. Однако, как показано выше, при больших значениях x она будет выглядеть как космическая струна. Перейдём к рассмотрению второго варианта: (при ). Тогда первые интегралы системы уравнений (3) при условии можно представить в виде , , , , . (50) Из этих первых интегралов получаем выражения для метрических коэффициентов: , , , . (51) Также получаем соотношения между константами интегрирования C, С1, С2, С3: (52) Из (51) видно, что при опять получаем геометрию пространства-времени «кротовой норы» в интервале существования решения , так как угловой метрический коэффициент нигде в этом интервале в нуль не обращается и при и , что соответствует наличию двух пространственных бесконечностей на концах этого интервала. Также из (51) следует, что нет плоской асимптотики на обоих концах получившейся «кротовой норы», поскольку в числителе и знаменателе метрических коэффициентов и стоят экспоненты и степенные функции соответственно, которые несопоставимы при больших значениях координаты и не может получиться конечных значений для функций и при и . Рассмотрим поведение гравитационной силы внутри полученной «кротовой норы». В данном случае для получаем выражение . (53) Отсюда следует, что при имеем неограниченно сильное гравитационное притяжение внутрь «кротовой норы», которое ослабевает при увеличении координаты . Так что материальное тело, двигаясь в сторону и пытаясь пройти через центр, будет встречать всё более сильное гравитационное сопротивление вплоть до непреодолимого, то есть данная «кротовая нора» опять является непроходимой. К этому надо ещё добавить, что в правой асимптотике при гравитационная сила при , а если , то получается конечная сила притяжения внутрь «кротовой норы», которая по мере движения к точке сменяется силой отталкивания. Если же , то имеем опять антигравитацию и при . Осталось рассмотреть третий вариант при , когда . Тогда первые интегралы исходной системы (3) и условия на константы интегрирования будут иметь вид (54) . (55) Выражения для метрических коэффициентов примут следующий вид: , , . (56) Из (54) видно, что это решение существует в интервале , а также в других периодически повторяющихся через интервалах: , и т.д. Выберем первый интервал . Нигде в этом интервале , а на его концах то есть имеем две пространственные бесконечности. Всё это соответствует пространству-времени «кротовой норы», но получить плоскую асимптотику на концах этого интервала невозможно. Об этом свидетельствует и поведение гравитационной силы на концах интервала: . (57) Видно, что при и величина , и на обоих концах получается бесконечно сильное притяжение внутрь «кротовой норы». Поэтому этот вариант значений параметров нелинейного скалярного поля при и вряд ли может представлять интерес. Таким образом, здесь мы рассмотрели равновесные распределения самогравитирующего нелинейного скалярного поля, которое в космологии часто рассматривается как инфлатонное поле, с учётом всех возможных вариантов определяющих его уравнений и комбинаций параметров и констант. Показано, что всегда найдутся комбинации параметров, соответствующие решениям с геометрией пространства-времени «кротовых нор», среди которых существуют и проходимые. При этом существуют варианты с плоской асимптотикой хотя бы на одной стороне получающихся «кротовых нор» и варианты, соответствующие асимптотике космической струны, с различными значениями величины дефекта азимутального угла.

Скачать электронную версию публикации