On ”two-dimensional” hydrogen molecule.pdf Введение Атомы с «пространственно-двумерными» электронными структурами достаточно давно получены экспериментально [1] (конкретно, это были атомы Na), а существование таких же водородоподобных или двухэлектронных с аналогичными «трехмерным» характеристиками подтверждено теоретически (в т.ч. в предыдущих работах одного из авторов [2, 3]), многоэлектронные же «двумерные» атомы, как это показано им же в работе [4], по-видимому, нереализуемы. В связи с этим возникает естественный вопрос о возможности существования «двумерных» (т.е. «плоских») молекул, состоящих из двух таких же с соответствующим электронным распределением водородоподобных атомов. Эта проблема, которая вообще не рассматривалась в доступной нам литературе, и является темой настоящей работы. Ссылки на другие источники, имеющие в упомянутом аспекте косвенное отношение к данному вопросу, можно найти в работах, приведенных в литературе. В наших рассуждениях мы будем ориентироваться на изложение материала для обычных «трехмерных» молекул , следуя традиционному курсу квантовой механики [5], или, в эквивалентной, более общей формулировке в классической работе [6]. Согласно [5], добавка к энергии обычных «трехмерных» атомов водорода в молекуле за счет их взаимодействия, рассматриваемого как малое возмущение, равна , (1a) для состояний, симметричных относительно перестановки координат электронов, и (1б) - для антисимметричных. При этом функции , , от расстояния между ядрами определены следующим образом: , (2a) , (2б) , (2в) где R - радиус-вектор одного из ядер относительно другого; представляет собой среднюю энергию его кулоновского взаимодействия с ионом водорода [5] (т.е. с другим ядром и «его» электроном); величина не имеет классического аналога и соответствует так называемой обменной энергии; есть действительная волновая функция основного состояния электрона в водородоподобном атоме, в наших последующих рассуждениях, касающихся «двумерной» молекулы, она также действительна (см. далее формулу (7)). Нашей задачей будет являться модификация формул (2a), (2б), (2в) для случая «двумерных» молекул с последующим выяснением вида зависимости величин (1a), (1б) от расстояния между ядрами на предмет наличия минимума этих функций в отрицательной области их значений при некотором значении , которое соответствует равновесному расстоянию между ядрами в «двумерной» молекуле из двух «двумерных» атомов водорода. Сначала заметим, что обобщение этих формул на общий случай пространства с размерностью (в т.ч. и ), рассматриваемого как подпространство «трехмерного» , имеет вид , (3a) , (3б) , (3в) причем в интересующем нас далее случае , а с получением выражений (2а), (2б), (2в). В этих формулах удобно перейти к безразмерным переменным и функциям , , , , (4a) с условием нормировки . (4б) Тогда выражения (3a), (3б), (3в) запишутся как , (5a) , (5б) , (5в) где - постоянная тонкой структуры. В нормировочный фактор (4а) при функции (см., например, [6]), который при есть просто боровский радиус, введен для общности «безразмерный заряд ядра» (обозначаемый обычно как в качестве вариационного параметра в простейшей интерпретации вариационного метода [5-8] с перспективой дальнейшего развития применяемого в данной работе метода вычислений по теории возмущений (п. 2). Как известно [5], при вычислении энергии взаимодействия (1a), (1б) в «трехмерной» молекуле вариационный метод дает более точный результат, чем метод теории возмущений. Параметр и фигурирует с этой целью в , т.е. и в , как это имеет место, например, в [5]. В конечном же результате в случае применения вариационного метода (это мы планируем сделать в последующих работах) следует тогда положить . В п. 1 на основании общих формул (5а), (5б), (5в) приводится вид «двумерных» функций в квадратурах, а также и соответствующей им «безразмерной энергии взаимодействия» (11) в зависимости от «безразмерного расстояния» между ядрами в «двумерной» молекуле с последующим выполнением численного расчета и графическим представлением зависимости функций от . В заключении мы намечаем перспективы экспериментальной проверки полученных результатов и, в связи с этим, возможности дальнейшего развития метода вычислений. 1. Двумерная молекула. Общие интегральные соотношения В варианте «одномерной» молекулы, как, например, и «одномерного» двухэлектронного атома, возникают принципиальные проблемы, связанные с логарифмической расходимостью «одномерных» интегралов на малых расстояниях (предварительные соображения по этому последнему поводу были высказаны в работе [2] одного из авторов, а окончательное решение проблемы применительно к атому гелия было дано в [9]). Этот случай «одномерной» молекулы требует специального рассмотрения, подобно проведенному в работе [9], и не является предметом обсуждения здесь. В «двумерном» же случае отсутствуют вычислительные проблемы аналитического характера при получении нижеследующей общей формулы (11) в квадратурах для энергии взаимодействия атомов в молекуле , поскольку практически возможными, в отличие от «трехмерного» [5], оказываются только являющиеся достаточно стандартными численные расчеты. Исходим далее из вида «безразмерной волновой функции» «двумерного» водородоподобного атома в полярных координатах в выражении через вырожденную гипергеометрическую функцию [10, 11]: , , (6) , (6а) , ; , (6б) , (6в) со значением энергии . (6г) При этом в основном состоянии волновая функция действительна, как и в : . (7) 1. Выражение в квадратурах в случае «плоской» молекулы при этом, очевидно, равно , (8) , . (8а) 2. Величина записывается в виде . (9) 3. Выражение также может быть представлено в аналогичной (9) форме: . (10) Окончательный результат для энергии взаимодействия атомов в «плоской» молекуле можно записать в удобном для численных расчетов виде, с объединением формул (1a), (1б): , , (11) где теперь , (11а) , (11б) . (11в) Как легко видеть, в асимптотике с учетом значения (см. также (4б)) для молекулы водорода ( ) имеем , (12) как и должно быть [5], поскольку на малых расстояниях взаимодействуют только ядра. Из графика на рис. 1 можно видеть также, что другие необходимые для существования «двумерной» молекулы условия - наличие минимума в области отрицательных значений и «быстрое убывание» на до нуля для функции (т.е. и - также выполняются, как и в «трехмерном» случае [5, 6]. Это означает, что «двумерная» молекула водорода с симметричной волновой функцией электронов может существовать, как, естественно, и «трехмерная» для такого же электронного состояния [5, 6]. Рис. 1. Зависимость «безразмерной энергии взаимодействия» (11) от «безразмерного расстояния» между ядрами (4а) Из рис. 1 также следует, что функция , как и в случае «трехмерной» молекулы [5, 6], в совокупности этим требованиям не удовлетворяет по причине отсутствия минимума и «правильной» асимптотики на , т.е. возможно только состояние с симметричной волновой функцией в «двумерной» (как и в «трехмерной») молекуле водорода. Предварительные оценки показывают, что в «одномерной» молекуле также возможны варианты взаимодействия с наличием минимума энергии взаимодействия в функции от расстояния между ядрами в молекуле и «правильных» асимптотик в нуле , и на бесконечности . Таким образом, вполне вероятно, что «одномерная» молекула водорода также существует, хотя этот вопрос, как упоминалось, и требует более детального исследования. 2. Энергия связи и полная энергия «двумерной» молекулы водорода В рамках теории возмущений энергия связи «двумерной» молекулы водорода, очевидно, равна , (13) причем в основном состоянии молекулы следует взять значение в точке минимума соответствующего графика на рис. 1 при , которое в результате численного расчета оказывается равным , так что для энергии связи находим эВ, (14) что примерно в раза больше, чем экспериментальное значение для «трехмерной» молекулы [5] ( эВ). Полная же энергия молекулы , т.е. с учетом энергии находящихся в основном состоянии атомных электронов, равна , (15) или, с учетом выражений (6г), (11): . (16) Подставляя указанное значение , находим энергию молекулы в основном равновесном состоянии: эВ. (17) В «трехмерном» варианте результаты расчета более точным вариационным методом [7, 8] и по теории возмущений дают весьма близкие результаты [5]. В данном же случае предварительные оценки с применением обозначенной во введении методики и с использованием общих соотношений работ [12, 13] показывают, что результат расчета в простейшем варианте вариационного метода с параметром варьирования в несколько раз больше, чем в (14). Таким образом, в любом случае энергия связи в «двумерной» молекуле, по крайней мере, на порядок больше, чем в «трехмерной». Заключение Как следует из результата п. 2, значение энергии связи атомов в «двумерной» молекуле на один-два порядка больше, чем в «трехмерной». Поскольку в эксперименте авторов работы [1] наблюдался переход «трехмерного» бозе-конденсата Na в «двумерную» фазу, то при постановке такого же эксперимента с молекулами является весьма вероятным получение «двумерного» бозе-конденсата из молекул , так как состояние с большим количеством «двумерной» фазы будет отвечать меньшей энергии конденсата. Ситуация с «одномерными» молекулами на настоящий момент является не вполне ясной из-за отмеченных в п. 1 и пока не решенных проблем с расходимостью «одномерных» кулоновских интегралов.

Скачать электронную версию публикации