Estimation of the unextendable dead time random duration parameter in a recurrent generalized asynchronous flow of physi.pdf Введение Широко применяемой математической моделью реальных физических процессов являются случайные потоки событий. Изучаемый рекуррентный обобщенный асинхронный поток событий относится к классу дважды стохастических потоков [1, 2] и является одной из адекватных математических моделей потоков элементарных частиц (фотонов, электронов и т.д.), информационных потоков событий, функционирующих в цифровых сетях интегрального обслуживания, информационно-телекоммуникационных системах, спутниковых сетях связи и т.д. Задачи по оценке состояний и параметров случайных потоков событий возникают в оптических и лазерных системах, функционирующих в режиме счета фотонов, например при лазерном зондировании высотных слоев атмосферы, в оптических системах обнаружения, распознавания и сопровождения, работающих через атмосферу на предельно большие расстояния, а также в оптических системах загоризонтной связи. Большинство авторов рассматривают математические модели потоков событий, когда события потока доступны наблюдению. В реальности же зарегистрированное событие создает период мёртвого времени [3], в течение которого другие события потока становятся ненаблюдаемыми (теряются). При этом, чтобы оценить потери событий потока, необходимо оценить значение его длительности. Период ненаблюдаемости потока может продолжаться некоторое фиксированное время, а также может быть случайным. Задачи по оценке параметров и состояний потока событий в условиях отсутствия мёртвого времени рассматривались в статьях [4-6], в условиях непродлевающегося мёртвого времени фиксированной длительности рассматривались в работах [7-10]. Достаточно открытым остается вопрос изучения потоков событий, когда мёртвое время является случайной величиной. Здесь отметим работу [11], в которой решается задача оценки параметров асинхронного потока событий в условиях случайного мертвого времени, и работу [12], в которой находятся формулы для начальных моментов общего периода ненаблюдаемости в пуассоновском потоке событий при продлевающемся случайном мёртвом времени. В настоящей статье рассматривается рекуррентный обобщённый асинхронный поток событий (обобщённый MMPP-поток) в условиях непродлевающегося случайного мёртвого времени, распределённого по равномерному закону. Методом моментов находится параметр равномерного распределения, приводятся результаты статистического эксперимента. Постановка задачи Рассматривается рекуррентный обобщенный асинхронный дважды стохастический поток событий, сопровождающий процесс которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс λ(t) с двумя состояниями λ1 и λ2 (λ1 > λ2 ≥ 0). В течение временного интервала, когда λ(t) = = λi, имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью λi, i = 1,2. Переход из первого состояния процесса λ(t) во второе (из второго в первое) осуществляется в произвольный момент времени, не связанный с моментами наступления событий пуассоновского потока интенсивности λi, i = 1, 2 (свойство асинхронности потока). При этом длительность пребывания процесса λ(t) в i-м состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром αi, i = 1, 2. При переходе процесса λ(t) из первого состояния во второе инициируется с вероятностью p (0 ≤ p ≤ 1) дополнительное событие во втором состоянии. Наоборот, при переходе процесса λ(t) из второго состояния в первое инициируется с вероятностью q (0 ≤ q ≤ 1) дополнительное событие в первом состоянии. В сделанных предположениях λ(t) - скрытый марковский процесс (принципиально ненаблюдаемый процесс). После каждого зарегистрированного события в момент времени tk наступает период мёртвого времени случайной длительности, так что другие события исходного потока, наступившие в течение этого периода мёртвого времени (периода ненаблюдаемости), недоступны наблюдению и не вызывают его продления (непродлевающееся мёртвое время). Принимается, что случайная длительность мёртвого времени распределена по равномерному закону с плотностью p(T) = 1/T*, 0 ≤ T ≤ T*. В результате формируется наблюдаемый поток событий, отличный от исходного потока. Рассматривается стационарный режим функционирования наблюдаемого потока событий (переходными процессами на полуинтервале наблюдения (t0, t], где t0 - начало наблюдений, t - окончание наблюдений, пренебрегаем). Необходимо в момент времени t на основании выборки t1, t2,…, tn наблюдённых моментов наступления событий оценить методом моментов параметр T* (ММ-оценка). Отметим, что случай отсутствия мёртвого времени (T = 0) рассмотрен в статье [13]. ММ-оценка параметра T* Предварительно отметим, что в [14] получены результаты по оценке параметра T* для коррелированного обобщённого асинхронного потока событий при непродлевающемся мёртвом времени. Для того чтобы перейти от коррелированного потока к рекуррентному, необходимо установить условия рекуррентности, накладываемые на параметры потока, при которых коррелированный поток становится рекуррентным. В [7] получены условия рекуррентности для наблюдаемого потока: 1) , 2) , 3) , т.е при выполнении одного из этих условий коррелированный наблюдаемый поток становится рекуррентным. Обозначим , k = 1, 2, …, значение длительности k-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (τk ≥ 0). Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятности значений длительности k-го интервала есть , τ ≥ 0, для любого k в наблюдаемом потоке событий. В силу этого момент времени tk , без потери общности можно положить равным нулю, т.е. момент наступления события есть τ = 0. В [7], с учётом первого условия рекуррентности, получено выражение для условной плотности вероятности p(τ|T), когда длительность мёртвого времени является детерминированной величиной: , ; , τ ≥ T; ; ; (1) , ; , ; , . Тогда плотность примет вид (2) Подставляя в (2) выражение (1), учитывая, что p(T) = 1/T*, находим , 0≤ τ < T*; (3) , τ ≥ T*. (4) Отметим, во-первых, что , т.е. для имеет место условие нормировки, во-вторых, при , т.е. в точке плотность является непрерывной функцией переменной τ, в-третьих, при , т.е. в точке плотность претерпевает излом. Получим оценку параметра T* методом моментов [15]. Математическое ожидание длительности τ интервала между соседними событиями есть . (5) Подставляя в (5) выражения (3), (4), получаем , (6) где , , при . Пусть , …, - последовательность измеренных в течение полуинтервала наблюдения (0, t] значений длительностей интервалов между соседними событиями наблюдаемого потока. Тогда статистика есть оценка математического ожидания (6), и тогда уравнение моментов для нахождения оценки выпишется в виде , . (7) Теорема. Решение уравнения моментов (7) обеспечивает состоятельность оценки параметра T*. Доказательство. Покажем, что уравнение моментов (7) удовлетворяет условиям [15], обеспечивающим состоятельность оценки . Во-первых, в силу рекуррентности наблюдаемого потока величины независимы в совокупности, во-вторых, начальный момент (5) существует (формула (6)). Остается показать единственность решения уравнения моментов (7). Рассмотрим как функцию переменной T*. Производная по переменной T* от математического ожидания (6) выпишется в виде , (8) , . Знак производной (8) определяется знаком функции f(T*). Исследуем функцию f(T*) как функцию переменной T*. Имеем f(T* = 0) = 0, при ; , . Тогда имеем для , при этом , при . Отсюда следует, что является возрастающей функцией переменной T* и, как следствие, уравнение моментов (7) имеет единственное решение. Теорема доказана. Замечание. Уравнение моментов (7) может не иметь решение только в одном единственном случае, когда ; тогда принимается = 0. Нахождение оценки из уравнения моментов (7) возможно только численно. Рассмотрим второе условие рекуррентности: . В [7] получено выражение для условной плотности вероятности , когда T - детерминированная величина: , ; , τ ≥ T, . (9) Тогда, аналогично предыдущему случаю, находим , 0≤ τ < T*; , τ ≥ T*. (10) Используя (5) получаем . Из уравнения моментов (7) находится явный вид состоятельной [15] оценки параметра T*: . Для третьего условия рекуррентности: в [7] получено выражение для условной плотности вероятности , когда T - детерминированная величина, в виде (9), где . Тогда и сохраняют вид (10). Из уравнения моментов (7) находится явный вид состоятельной [15] оценки параметра T*: . Результаты статистических экспериментов С целью установления качества получаемых методом моментов оценок параметра T* поставлены статистические эксперименты. Статистические эксперименты поставлены для рекуррентного наблюдаемого потока, для которого справедливо первое условие рекуррентности: . Первый статистический эксперимент (установление стационарного режима). Отдельный j-й эксперимент (j = 1, …, N) заключается в следующем: 1) при заданных значениях параметров потока λi, i = 1, 2, α1, α2 = λ1 λ2 / (p q α1), p, q, T* и заданном времени моделирования Tm единиц времени (Tm - время наблюдения за потоком) осуществляется имитационное моделирование наблюдаемого потока; выходом имитационной модели в отдельном j-м эксперименте является последовательность значений τ1, τ2, …, τn; 2) численно решается уравнение (7), т.е. находится оценка ; 3) осуществляется повторение N раз шагов 1, 2. Результатом работы алгоритма является выборка ( ), на основании которой вычисляются , . T*- известное из имитационной модели значение параметра. После этого время моделирования Tm увеличивается на и алгоритм переходит на выполнение первого шага отдельного j-го эксперимента. При проведении первого статистического эксперимента выбраны следующие параметры имитационной модели: λ1 = 3, λ2 = 2, α1 = 0.5, α2 = 48, p = 0.5, q = 0.5, T *= 1. В табл. 1 приведены результаты первого статистического эксперимента (N = 100; Tm = 100, 200, …, 1000). Таблица 1 Результаты первого статистического эксперимента Tm 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0.9921 0.9968 0.9973 1.0019 0.9986 1.0048 0.9931 0.9954 1.0012 0.9980 0.0046 0.0019 0.0019 0.0012 0.0013 0.0008 0.0011 0.0007 0.0005 0.0007 Анализ численных результатов показывает, что в смысле введённого критерия (выборочная вариация оценки ) стационарный режим устанавливается при Tm ≥ 400 ед. времени. При этом отклонение оценок от истинного значения параметра T*=1 вполне удовлетворительное. Второй статистический эксперимент (исследование влияния параметра T* на качество оценок). Второй статистический эксперимент организован аналогично первому и поставлен при фиксированном времени моделирования Tm = 500 времени, что соответствует времени установления стационарного режима, и при тех же значениях параметров потока, что и первый статистический эксперимент, за исключением значений T*. Сначала второй статистический эксперимент реализуется для T* = 1, затем для T* = 2, …, затем для T* = 5. В табл. 2 приведены результаты второго статистического эксперимента (N = 100, Tm = 500). Таблица 2 Результаты второго статистического эксперимента T* 1 2 3 4 5 1.0043 1.9966 3.0027 4.0210 4.9880 0.0013 0.0046 0.0100 0.0254 0.0495 Анализ численных результатов показывает, что в смысле введённого критерия увеличение параметра T* отрицательно сказывается на качестве оценок , что является вполне естественным: увеличение параметра T* приводит к увеличению числа потерянных событий исходного потока. Заключение По результатам проведённого исследования можно сделать следующие выводы: 1) аналитически показано, что уравнение моментов имеет единственное решение; 2) метод моментов обеспечивает состоятельные оценки параметра T*; 3) результаты имитационного моделирования показывают, что качество оценок в смысле введённого критерия (выборочная вариация оценки ) вполне удовлетворительное; при этом смещение оценок относительно истинного значения пара¬метра T* (как это видно из результатов второго статистического эксперимента) не превышает сотых значений.

Скачать электронную версию публикации