Effect of the dark illumination intensity on the characteristics of surface waves propagating along the interface betwee.pdf Введение При разработке разнообразных технических приложений, содержащих элементы оптических устройств, таких, как сенсоры, триггеры, волноводы, требуется теоретическое изучение явлений в узколокализованных зонах контакта кристаллов, к примеру, способности пропускать или запирать световые пучки с энергиями заданных диапазонов на границ раздела сред в многослойных структурах [1-5]. Наиболее перспективными в силу целого ряда специфических свойств можно считать устройства, использующие явления в зоне контакта кристаллов с различными механизмами формирования нелинейного оптического отклика среды [6, 7]. Среди используемых в таких устройствах материалах особое значение имеют фоторефрактивные кристаллы в [8, 9]. Существует много теоретических работ, посвященных описанию локализации светового потока вдоль границы фоторефрактивного кристалла и линейной среды [10-15]. Также хорошо изученными являются вопросы формирования поверхностных волн на границах кристаллов с керровской нелинейностью, проявляющейся в квадратичной зависимости показателя преломления от квадрата амплитуды поля [16]. Однако особенности формирования поверхностных волн, распространяющихся вдоль границы между кристаллами с фоторефрактивной и керровской нелинейностью, недостаточно изучены. Во многих оптоэлектронных устройствах важную роль играют контролируемая локализация вдоль границ раздела слоев энергии оптического излучения и механизмы управления его пространственными и спектральными характеристиками. Поэтому выявление управляющих такими процессами параметров контактных систем представляет не только фундаментальный теоретический, но и прикладной интерес. Локализация световых пучков обусловлена формированием поверхностных волн, распространяющихся вдоль границ раздела кристаллов. Хорошо известно, что подбор различных соотношений между показателями преломления контактирующих кристаллов позволяет управлять характеристиками поверхностной волны, в частности ее глубиной проникновения и формой профиля амплитуды поля [16]. В нелинейных оптических средах появляются дополнительные управляющие параметры. В частности, в кристаллах с эффектом Керра на профиль и частоту поверхностной волны влияет коэффициент керровской нелинейности, а в фоторефрактивных кристаллах набор таких управляющих параметров еще шире: температура, эффективный электрооптический коэффициент, интенсивность темновой засветки [14, 15]. В данной работе исследовано наименее изученное влияние интенсивности темновой засветки на характеристики поверхностной волны, распространяющейся вдоль границы раздела между кристаллами с фоторефрактивной и керровской нелинейностью. Ранее подобные исследования проводились для случая контакта фоторефрактивного кристалла с линейной средой [12, 15]. Ясно, что при контакте фоторефрактивного кристалла с нелинейной керровской средой будут проявляться новые особенности локализации светового потока. В частности, на профиль волны в фоторефрактивном кристалле будет оказывать влияние и нелинейность соседнего слоя и кристалла с керровской нелинейностью. Формулировка модели Рассмотрим контакт одноосного фоторефрактивного кристалла с диффузионным механизмом формирования нелинейности и одноосного кристалла с керровской нелинейностью (далее будем для краткости называть его керровским кристаллом) в отсутствии приложенного внешнего поля. Границу раздела кристаллов будем считать настолько тонкой, что можно будет пренебречь оптическими эффектами внутри нее. Будем изучать Р-поляризованные нелинейные поверхностные волны, для которых Еy = 0, Hx = Hz = 0, т.е. волны с необыкновенной поляризацией (ТМ-волны). Так как будет рассматриваться скользящее распространение светового пучка, то можно пренебречь анизотропией показателя преломления и использовать одноосное приближение. В фоторефрактивном изотропном кристалле кубической сингонии (без центра инверсии) в отсутствии приложенного внешнего поля отлично от нуля только одно значение показателя преломления nP. Пусть полярная ось фоторефрактивного кристалла направлена вдоль оси х. ТМ-волна распространяется вдоль оси z. Граница раздела между фоторефрактивным и керровским кристаллами расположена в плоскости х = 0. Фоторефрактивный кристалл занимает полупространство x > 0, а керровский - полупространство x < 0. Будем рассматривать только стационарное распределение поля поверхностной волны. Из системы уравнений Максвелла в рассматриваемом случае получается уравнение для отличной от нуля компоненты вектора напряженности магнитного поля [12] , (1) где k0 = 2/0, 0 - длина волны света в вакууме; n(x) - пространственная модуляция показателя преломления света в направлении, перпендикулярном границе раздела кристаллов. Представим данную зависимость в виде (2) nK - показатель преломления в керровском кристалле, считающийся всюду постоянным; nP и nK - малые нелинейные добавки к невозмущенным показателям преломления nP и nK соответственно. Здесь и далее значение индекса «P» соответствует величинам, описывающим свойства фоторефрактивного кристалла в области x > 0, а значение индекса «K» соответствует величинам, описывающим свойства керровского кристалла в области при x < 0. Будем считать, что нелинейная добавка к невозмущенному показателю преломления фоторефрактивного кристалла формируется в результате только диффузионного механизма нелинейности [8, 12-15]. Распространение света приводит к возникновению внутрикристаллического электрического поля , которое направлено вдоль оптической оси (то есть вдоль оси х). Внутрикристаллическое электрическое поле меняет показатель преломления в соответствии с эффектом Поккельса линейным образом, и нелинейную добавку к показателю преломления фоторефрактивного кристалла можно представить в виде , (3) где reff - эффективный электрооптический коэффициент. В результате действия диффузионного механизма перераспределения фотоиндуцированных носителей электрического заряда в фоторефрактивном кристалле внутрикристаллическое поле становится зависящим нелинейным образом от интенсивности света в поверхностной волне и будет определяться выражением , (4) где штрих здесь и далее означает производную по координате х; kВ - константа Больцмана; Т - температура; е - модуль заряда электрона; Id - темновая интенсивность (интенсивность темновой засветки); - интенсивность света в поверхностной волне. Нелинейная добавка к показателю преломления в кристалле с эффектом Керра пропорциональна интенсивности: . Для нее будем использовать выражение , (5) где   коэффициент керровской нелинейности (постоянный). Пусть установившееся распределение распространяющейся вдоль оси z волны представимо в виде (6) где   константа распространения, которая связана с углом падения  светового луча, возбуждающего поверхностную волну, к оптической оси фоторефрактивного кристалла:  = nPsin. В результате подстановки (2) - (6) в (1) при nj 0, (8) где коэффициент нелинейности в керровском кристалле , (9) нелинейный эффективный коэффициент затухания , (10) постоянный коэффициент затухания волны в фоторефрактивном кристалле . (11) Из условия непрерывности составляющих полей на границе кристаллов вытекают граничные условия: ; (12) , (13) где Н0  амплитуда поля на границе раздела кристаллов. Таким образом, математическая формулировка модели для описания нелинейных поверхностных волн на границе фоторефрактивного и керровского кристаллов сводится к уравнениям (7) и (8) с граничными условиями (12) и (13). Нелинейные поверхностные волны в рассматриваемой модели представляют собой решения контактной краевой задачи, удовлетворяющие условиям ограниченности и исчезновению поля на бесконечности: при . Результаты и их обсуждение Характеристики поверхностной волны, такие, как ее амплитуда и глубина проникновения, определяются темновой интенсивностью, коэффициентом затухания (11), керровской нелинейностью (9) и разностями . Распределение поля в керровском кристалле при x < 0 описывается решениями нелинейного уравнения (7), которые определяются знаком коэффициента нелинейности (9) и знаком разности . В зависимости от их комбинаций возникает несколько форм профиля поля, соответствующих различным типам нелинейных поверхностных волн. Уравнение (7) при постоянных коэффициентах имеет точные решения, представимые в явном аналитическом виде [12-15]. В общем случае решения уравнения (8) с нелинейным коэффициентом затухания (10) определяют стационарное распределение поля вдоль оси х в фоторефрактивном кристалле при x > 0. При произвольных значениях темновой интенсивности уравнение (8) может быть решено численными методами. При малых интенсивностях света в поверхностной волне по сравнению с темновой интенсивностью, когда Id >> I, из (10) следует, что нелинейный эффективный коэффициент затухания оценивается выражением (14) и в пределе становится пренебрежительно малым: Г  0. Тогда уравнение (8) переходит в уравнение гармонического осциллятора без трения. Решение такого уравнения описывает осцилляции поля в волне без затухания и не удовлетворяет условию исчезновения поля на бесконечности. При больших интенсивностях света в поверхностной волне по сравнению с темновой интенсивностью, когда Id 0 (17) и к уравнению для малого возмущения поля: , х > 0. (18) Для определенности будем считать, что фоторефрактивный кристалл контактирует с фокусирующей керровской средой. Тогда исчезающие невозмущенные решения уравнений (7) и (17), удовлетворяющие граничным условиям (12) и (13), при g > 0 и имеют вид , x < 0; (19) , x > 0, (20) где параметры решений: ; (21) ; (22) ; (23) ; (24) ; (25) ; (26) ; (27) . (28) При g > 0 и nK <  < решение уравнения (7) остается в виде (19), а решение уравнения (17) примет вид , (29) где волновое число и фаза . (30) Таким образом, в случае пренебрежительно малой темновой интенсивности решения (19) и (20) описывают нелинейную поверхностную волну, распространяющуюся вдоль границы керровского кристалла с фокусирующей нелинейностью и фоторефрактивного кристалла и затухающую всюду апериодически. C ростом значения константы распространения происходит переход от одного типа поверхностных волн к другому, сопровождающийся сменой режима затухания волны при удалении от границы раздела кристаллов. Решения (19) и (29) описывают нелинейную поверхностную волну, затухающую с осцилляциями в глубину фоторефрактивного кристалла. Подстановка невозмущенного решения (20) в уравнение (18) в диапазоне значений константы распространения приводит к добавке, описывающей создаваемое слабым уровнем темновой засветки возмущение поля: , x > 0, (31) где его амплитуда возмущения (32) и сдвиг фазы . (33) Подстановка невозмущенного решения (29) в уравнение (18) в диапазоне значений константы распространения nK <  < приводит к добавке, описывающей создаваемое слабым уровнем темновой засветки возмущение поля: , x > 0, (34) где амплитуда возмущения (35) и сдвиг фазы . (36) Данный сдвиг фазы соответствует фазе невозмущенной поверхностной волны при х0 = 0, что вытекает из (28) и (30), так как  → N при  → 0, что справедливо при х0 → 0. Таким образом, малая интенсивность темновой засветки приводит к формированию малого возмущения поля поверхностной волны, в которой амплитуда прямо пропорциональна глубине проникновения волны в отличие от амплитуды невозмущенного поля, и к появлению набега фазы. Наличие зависимости амплитуды возмущенной волны от х, как затухающей с осцилляциями, так и без них, означает, что при увеличении уровня темновой засветки амплитуда поля в поверхностной волне будет спадать медленнее, чем при отсутствии темновой засветки. Другими словами, при конечных значениях интенсивности темновой засветки поверхностная волна проникает в кристалл глубже, чем при нулевом значении интенсивности темновой засветки, что подтверждается анализом численного решения уравнений (7) и (8) и согласуется с выводами работ [14, 15]. При произвольных значениях интенсивности темновой засветки уравнение (8) с нелинейным затуханием (10) может быть решено только численными методами. На рис. 1 и 2 представлены результаты численного решения краевой задачи для уравнений (7) и (8) с граничными условиями (12) и (13) и требованием исчезновения поля на бесконечности. Поскольку нелинейное уравнение (7) хорошо изучено, то будем интересоваться только изменением профиля поверхностной волны в фоторефрактивном кристалле при варьировании параметров системы. При фиксированных невозмущенных показателях преломления кристаллов и угле падения света (определяющего константу распространения) профиль поля в фоторефрактивном кристалле существенно зависит от темновой интенсивности и коэффициента затухания (11). Управление значениями последнего позволяет менять режимы затухания поля, осуществляя переход от апериодического затухания к затуханию с осцилляциями или наоборот. Физически такое варьирование коэффициента затухания (11) может производиться путем изменения температуры кристаллов в зоне контакта. На рис. 1 приведены характерные профили распределения поля поверхностной волны вблизи границы раздела кристаллов при значениях параметров, соответствующих реализации апериодического режима затухания при полном отсутствии темновой засветки в диапазоне . Видно, что при наличии темновой засветки в данном диапазоне будут наблюдаться осцилляции затухающей в фоторефрактивном кристалле амплитуды поверхностной волны. Глубина проникновения в фоторефрактивный кристалл больше, чем в керровский. Зависимость амплитуды от интенсивности темновой засветки носит нелинейный и немонотонный характер на фиксированном расстоянии от границы раздела кристаллов. Наибольшее значение максимума амплитуды в фоторефрактивном кристалле может быть намного выше, чем в керровском. При различных значениях интенсивности темновой засветки как высота, так и положения максимумов осцилляций амплитуды поверхностной волны различны. При больших значениях интенсивности темновой засветки происходит быстрое падение амплитуды поверхностной волны от ее первого максимального значения и дальнейшие максимумы осцилляций существенно ниже первого. Следовательно, основная плотность энергии, переносимой поверхностной волной вдоль границы раздела кристаллов, сосредоточена в близлежащих приграничных слоях Рис. 1. Характерные профили распределения поля в поверхностной волне в зависимости от расстояния от границы раздела кристаллов х при фиксированных параметрах, усл. ед.: nK = 0.15; nP = 1.00;  = 0.55;  = 1; k0 = 1 (апериодический режим при Id = 0) и различных значениях интенсивности темновой засветки и коэффициентах нелинейности: кр. 1  Id /I0 = 1.2, g = 10.1; кр. 2  Id /I0 = 2.0, g = 0; кр. 3  Id /I0 = 3.0, g = 0.23; кр. 4  Id /I0 = 4.0, g = 0.42 На рис. 2 приведены характерные профили распределения поля поверхностной волны вблизи границы раздела кристаллов при значениях параметров, соответствующих реализации режима затухания с осцилляциями при полном отсутствии темновой засветки в диапазоне . Зависимость профиля амплитуды поверхностной волны от интенсивности темновой засветки в данном диапазоне аналогична диапазону апериодического затуханию за исключением того, что при любых значениях интенсивности темновой засветки амплитуда равна нулю на одних и тех же расстояниях от границы раздела кристаллов. Интенсивность поля в фоторефрактивном кристалле вблизи границ раздела превосходит ее значение в керровском кристалле. Рис. 2. Характерные профили распределения поля в поверхностной волне в зависимости от расстояниях от границы раздела кристаллов х при фиксированных параметрах, усл. ед.: nK = 0.15; nP = 1.00;  = 0.55;  = 1; k0 = 1 (режим затухания с осцилляциями при Id = 0) и различных значениях интенсивности темновой засветки и коэффициентах нелинейности: кр. 1  Id /I0 = 2.0, g = 7.5; кр. 2  Id /I0 = 0.11, g = 0.42; кр. 3  Id /I0 = 0.07, g = 0.23; кр. 4  Id /I0 = 1.1, g = 0 Во всех случаях значение первого максимума амплитуды поверхностной волны в фоторефрактивном кристалле превышает уровень темновой засветки: Im > Id. Значение высоты второго максимума амплитуды поверхностной волны практически вдвое меньше первого, что свидетельствует от быстром затухании поля при удалении от границы раздела кристаллов. В отличие от случая контакта фоторефрактивного кристалла с линейной средой, в которой затухание поля поверхностной волны всегда строго монотонно убывающее, в случае контакта кристаллов с фоторефрактивной и керровской нелинейностью затухание поля в кристалле с фокусирующей керровской нелинейностью может быть немонотонным, когда амплитуда будет иметь максимум (см. рис. 1, кривая 3 и рис. 2, кривая 2 при x < 0). На рис. 3 изображены зависимости интенсивности поверхностной волны в фоторефрактивном кристалле, полученные численно на различных расстояниях от границы раздела кристаллов при фиксированных значениях их оптических параметров. В результате численного анализа, представленного на рис. 3, установлено, что существует широкий интервал значений интенсивности темновой засветки, в котором зависимость интенсивности поверхностной волны в фоторефрактивном кристалле зависит линейно от интенсивности темновой засветки: IP(Id, x) = a0(x) + a1(x) Id, (37) где коэффициенты линейной зависимости a0(x) и a1(x) определяются расстоянием от границы раздела кристаллов и их оптическими параметрами. При фиксированном значении интенсивности темновой засветки на малых расстояниях от границы раздела кристаллов интенсивность поверхностной волны наибольшая, а с ростом глубины проникновения поверхностной волны в фоторефрактивный кристалл ее величина снижается. Рис. 3. Характерные зависимости интенсивности поверхностной волны в фоторефрактивном кристалле от интенсивности темновой засветки, рассчитанные при значениях параметров, как на рис. 2, на различных расстояниях от границы раздела кристаллов: кр. 1  x = 1.2; кр. 2  x = 2.0; кр. 3  x = 3.0; кр. 4  x = 4.0 Рис. 4. Характерные зависимости коэффициентов линейной аппроксимации (37) от х в усл. ед., рассчитанные при значениях параметров как на рис. 2 На рис. 4 приведены характерные зависимости коэффициентов a0(x) и a1(x) линейной аппроксимации (37) от глубины проникновения поверхностной волны в фоторефрактивный кристалл, рассчитанные в результате численного анализа зависимости амплитуды поверхностной волны от интенсивности темновой засветки при фиксированных значениях оптических параметров кристаллов. Величина a1(x) имеет смысл скорости изменения интенсивности поверхностной волны с глубиной ее проникновения в фоторефрактивный кристалл. В результате численного анализа установлено, что данная скорость будет снижаться при удалении от границы раздела кристаллов. На малых расстояниях от границы раздела кристаллов скорость снижения происходит равномерно практически линейно с глубиной проникновения поверхностной волны в фоторефрактивный кристалл, а затем происходит ее плавное замедление, стремящееся к нулевому значению. Заключение В работе рассмотрен контакт фоторефрактивного и керровского кристаллов в отсутствие внешнего поля. Показано, что в рассматриваемой системе существуют нелинейные поверхностные волны ТМ-поляризации, распространяющиеся вдоль границы раздела таких кристаллов. Математическая формулировка модели включает два уравнения на полуосях с различными нелинейными относительно ненулевой компоненты напряженности магнитного поля членами. В случае диффузионного механизма формирования нелинейного отклика в фоторефрактивном кристалле уравнение представляет собой уравнение для гармонического осциллятора с нелинейным эффективным коэффициентом трения. В кристалле с эффектом Керра нелинейный член представляет собой кубическое относительно искомого поля слагаемое. Нелинейные поверхностные волны описываются решениями контактной краевой задачи для таких нелинейных уравнений, удовлетворяющие условиям непрерывности на границе раздела кристаллов, ограниченности и исчезновению на бесконечности. Основное внимание уделено анализу зависимости характеристик поверхностных волн от основного фактора, формирующего нелинейный отклик в фоторефрактивном кристалле, - темновой интенсивности. Найдены в явном аналитическом виде решения невозмущенной краевой задачи, описывающие поверхностные волны в случае полного отсутствия темновой засветки. В явном аналитическом виде найдено создаваемое малой темновой интенсивностью возмущение профиля амплитуды поля поверхностной волны и показано, что амплитуда создаваемого возмущения прямо пропорциональна глубине проникновения волны в фоторефрактивный кристалл в отличие от амплитуды невозмущенного поля. Включение темновой засветки приводит к тому, что поверхностная волна проникает в кристалл более глубоко. Для произвольных значений темновой интенсивности уравнения анализировались численно. Параметры керровского кристалла, такие как его невозмущенный коэффициент преломления и коэффициент керровской нелинейности, оказывают влияние на амплитуду и период осцилляция затухания поля в поверхностной волне в фоторефрактивном кристалле. Показано, что затухание поверхностной волны в фоторефрактивном кристалле происходит с малыми осцилляциями с плавно убывающей амплитудой, а в керровском кристалле затухание либо строго монотонное, либо может наблюдаться один максимум интенсивности вблизи границы раздела кристаллов. При этом в фоторефрактивный кристалл поверхностная волна проникает глубже, чем в керровский. Интенсивность поверхностной волны в фоторефрактивном кристалле зависит линейно от интенсивности темновой засветки в определенном интервале ее значений. Скорость изменения интенсивности поверхностной волны с глубиной ее проникновения в фоторефрактивный кристалл уменьшается при удалении от границы раздела кристаллов. Проведенный анализ влияния такого параметра как темновая засветка играет важную роль для изучения закономерностей механизмов различных нелинейных явления в фоторефрактивных кристаллах, к примеру формирования фоторефрактивной дифракционной решетки. Полученные результаты также могут иметь значение для разработки и совершенствования оптических систем хранения и передачи данных, различных оптических переключателей и ограничителей мощности [17-20].

Скачать электронную версию публикации