Energy and sreening constants of the one-dimension helium atom.pdf Введение В работах [1, 2] были вычислены энергия и постоянные экранирования для основного , и низшего возбужденного , состояний одномерного атома гелия, когда один электрон находится в состоянии с «энергетическим» квантовым числом , а второй - с соответственно с выяснением характерных особенностей зависимости этих величин от данных значений квантового числа . В частности, аналитически и численно было получено, что . Представляет интерес выполнение аналогичных расчетов для значений одномерного ( ) атома гелия с выяснением зависимости этих величин от . Тем более, что такие атомы могут быть получены экспериментально, как это было сделано, например, авторами [3, 4] для других атомов, и, следовательно, с принципиальной возможностью проверки результатов. Эти значения , при можно найти с использованием вариационного метода Хиллерааса [5, 6], в котором единственным параметром варьирования является атомный номер , входящий в нормировочный фактор используемой в расчетах этим методом и зависящей от единственной координаты одномерной волновой функции водородоподобного атома [7, 8]): (1) , , (1а) , . (1б) Помимо квантового числа , через которое выражается энергия, равная, как и в «трехмерном атоме», , (1в) (1) зависит еще от одного квантового числа - четности состояния . В данной работе далее используются и численные методы с удобным для этой цели представлением фигурирующей в (1а) вырожденной гипергеометрической функции в виде конечного в нашем случае ряда со следующим кратким его обозначением: . (2) 1. Вычисление энергии и постоянных экранирования в возбужденных состояниях Дальнейшие вычисления с использованием вариационного метода [5, 6] являются достаточно стандартными [2, 9] и приводят к следующему результату для энергии и постоянной экранирования атома гелия в возбужденных состояниях с наборами квантовых чисел электронов , : , (3) , ; (3а) , (4) . (4а) Интегральные выражения и в (4) описывают кулоновское и так называемое обменное взаимодействие соответственно между электронами атома и после выполнения достаточно очевидных преобразований, приведенных в [2, 9] общих выражений, оказываются равными , (5a) . (5б) Здесь для удобства введено дополнительное обозначение , (5в) а - относительная четность электронных состояний, которые в нашем случае при любом значении принципиально различны, так как . Интегралы от первых слагаемых в (5а), (5б) по отдельности расходятся, однако при выборе знака «-» в (4) расходимость сокращается с получением следующего выражения : - . (6) Как видно, расходимость действительно отсутствует, так как при выражение в квадратных скобках первого двойного интеграла в (6) обращается в нуль. Далее, выбор знака «-» в (4) отвечает ситуации с антисимметричной «координатной» частью волновой функции обоих электронов и, следовательно, с симметричной спиновой функцией, т.е. с параллельными электронными спинами. Вероятно, такая согласованная ориентация спинов должна также иметь место и в экспериментах авторов работ [3, 4], хотя об этом в них не упоминается. Результаты численных расчетов , (эВ) по формулам (3), (4), (6) в диапазоне значений представлены в виде таблицы. Значения , для одномерного атома гелия n 2 3 4 5 6 7 8 9 0.1726 0.091 0.0549 0.0364 0.0258 0.0192 0.0149 0.0118 0.1807 0.0933 0.0558 0.0369 0.0261 0.0194 0.015 0.0119 56.767 55.068 54.672 54.536 54.477 54.448 54.432 54.423 56.27 54.935 54.617 54.509 54.461 54.438 54.425 54.418 В частном случае приведенные в таблице значения совпадают с одним из результатов работы [2], в которой они были округлены до 0.17 и 0.18. Этих значений вполне достаточно для выяснения особенностей асимптотики , в формальном пределе (п. 2). 2. Обсуждение и заключение Из таблицы и графического представления результатов на рис. 1 видно, что значения в диапазоне монотонно уменьшаются с ростом . Это же относится и к диапазону для величины , так как значение , вычисленное в работах [1, 2], равно (состояние со значением относительной четности не существует [2, 10], т.е. величина не имеет физического смысла). Значения же , как упоминалось в п. 1, согласуются с результатом [2], дальнейшим развитием которой фактически и является данная работа. Вполне очевидна пролонгация этой асимптотики на значения . Именно постоянная экранирования (4) пропорциональна энергии взаимодействия электронов, т.е. величинам и ; она же уменьшается с ростом , поскольку увеличивается эффективное расстояние между электронами атома, один из которых находится в основном состоянии со значением квантового числа , а второй - в возбужденном с квантовым числом . Значение в диапазоне также монотонно уменьшается с ростом и в формальном пределе стремится к постоянному значению. Можно предложить также следующую интерпретацию этой асимптотики . Рис. 1. Зависимость постоянной экранирования от квантового числа «внешнего» электрона в одномерном атоме гелия Рис. 2. Зависимость модуля энергии от квантового числа «внешнего» электрона в одномерном атоме гелия. Значение энергии дано в эВ Как следует из формул (3), (3а), влияние эффекта экранирования (или его отсутствия) обусловлено вторым множителем (при этом для ), который увеличивается с уменьшением , а эффекта взаимодействия электронов с ядром - первым множителем (3а), в нашем случае равным и уменьшающимся с ростом . Таким образом, как это видно из таблицы и из графика на рис. 2, при значениях в диапазоне (2-9) доминирует эффект взаимодействия электронов с ядром. Однако с увеличением «отрицательный наклон» кривой на рис. 2 уменьшается, т.е. по отношению к первому влияние второго множителя из-за уменьшения эффекта экранирования возрастает и при достаточно больших уменьшение первого множителя полностью компенсируется увеличением второго. В связи с этим и из формул также следует, что при , т.е. и модуль энергии и должен стремиться к постоянному значению (рис. 2) эВ  эВ. Из таблицы видно, что уже при значение приближается к этому предельному значению, т.е. к энергии одномерного водородоподобного атома с зарядом ядра , так что пролонгация величины на значения не имеет особого смысла. Заметим также, что тенденция к уменьшению постоянной экранирования с ростом имеет место и для двумерного ( ) атома гелия, существование которого вполне возможно, так как, например, такие атомы в фазе бозе-конденсата уже были получены экспериментально [3]. При этом в основном состоянии значение [10], а в первом возбужденном [11] (эти состояния соответствуют значениям и «двумерного энергетического квантового числа» [12, 13] «внешнего электрона» (см. также [10, 11]; в работе [11] «штрихованное» обозначение относилось к «внешнему электрону», а «нештрихованное» - к «внутреннему», в отличие от данной работы, обозначения которой в этом смысле другие из соображений простоты и удобства). Заметим, что аналогичные проведенным в данной работе расчеты с практически такими же качественными и количественно близкими результатами уже были выполнены нами ранее для «обычного трехмерного» ( ) атома гелия [14]. Отметим также, что при использовании в данной работе и в [14] вариационного метода с одним параметром варьирования для вычисления энергии возбужденных состояний вообще говоря, могут возникнуть трудности, связанные с необходимостью ортогональности полных волновых функций возбужденных и низших состояний [9], которые могут быть в принципе преодолены введением достаточно большого числа варьируемых параметров. Адекватность метода при использовании в данной работе, как и в [14], одного параметра, может быть установлена при сравнении результатов вычислений с экспериментальными данными, которые как в рассмотренных в [14] случаях, так и применительно к данной работе, пока отсутствуют. Частичное подтверждение этой адекватности следует из наличия «правильной физической асимптотики» энергии и постоянной экранирования в формальном пределе , что не исключает потребности в дополнительной экспериментальной проверке результатов. Очевидно, для установления идентичности доказанной ( и предположенной ( нами асимптотики атома гелия было бы весьма желательным проведение экспериментов с «низкоразмерными» ( атомами гелия, аналогичными проведенным авторами работ [3, 4].

Скачать электронную версию публикации