Пространственно-однородные конформно-штеккелевы пространства типа (3.1) | Известия вузов. Физика. 2020. № 3. DOI: 10.17223/00213411/63/3/51

Пространственно-однородные конформно-штеккелевы пространства типа (3.1)

Получены все пространственно-однородные модели пространства-времени, относящиеся к пересечению множества штеккелевых пространств типа (2.1) и множества конформно-штеккелевых пространств типа (3.1). Данные модели допускают полное разделение переменных как в уравнении Гамильтона - Якоби для массивных пробных частиц, так и в уравнении эйконала для излучения. Полученные в работе модели относятся к волноподобным моделям пространства-времени. Для найденных моделей получены решения уравнений Эйнштейна с космологической постоянной и излучением. Для полученных решений проинтегрированы уравнение эйконала и уравнения движения массивных пробных частиц в форме Гамильтона - Якоби.

Statially homogeneous conformally flat Stackel spaces of type (3.1).pdf Уравнение Гамильтона - Якоби движения пробной частицы массы в гравитационном поле имеет вид (1) где - функция действия пробной частицы; - метрика пространства-времени. Чтобы не возникло путаницы, отметим, что мы далее будем использовать кроме прописной (заглавной) буквы для обозначения функции действия пробной частицы также и строчную букву для обозначения интервала пространства-времени. Пространства, допускающие полное разделение переменных в уравнении Гамильтона - Якоби для пробных частиц (1), называют штеккелевыми пространствами (ШП) в честь Пауля Штеккеля (Paul Stäckel, см. [1]). Уравнение эйконала для излучения в гравитационном поле имеет вид , (2) где - функция эйконала; - метрика пространства-времени. Пространства, допускающие полное разделение переменных в уравнении эйконала (2) называют конформно-штеккелевыми пространствами. Рассмотрим штеккелевы пространства типа (2.1). Согласно общей теории штеккелевых пространств, разработанной В.Н. Шаповаловым [2], в данных пространствах возможно существование привилегированной системы координат (СК), относительно которой уравнение эйконала и уравнение Гамильтона - Якоби для пробной частицы допускают интегрирование методом полного разделения переменных. ШП, как известно, определяются так называемым «полным набором» полей Киллинга, состоящим из векторов Киллинга и тензоров Киллинга второго ранга [3]. Штеккелевы пространства типа (2.1) имеют два коммутирующих вектора Киллинга в полном наборе, поэтому в привилегированной СК (возможно разделение переменных) метрика ШП типа (2.1) может быть записана так, что зависит только от двух переменных - и : (3) где ; конформный множитель является в случае конформно-штеккелевых пространств произвольной функцией всех четырех переменных, а в случае штеккелевых пространств типа (2.1) имеет вид . Переменные, от которых метрика в привилегированной СК не зависит, называют игнорируемыми (циклическими). В случае, если метрика ШП типа (2.1) в привилегированной СК (3) зависит только от одной переменной , а конформный множитель по-прежнему имеет вид , мы получим пространства из подмножества конформно-штеккелевых пространств типа (3.1). Для ШП уравнение (1) допускает интегрирование методом полного разделения переменных и функция действия может быть записана в привилегированной системе координат в аддитивно «разделенном» виде (4). В той же системе координат допускает полное разделение переменных и уравнение эйконала, причем метрика будет отличаться от наличием произвольного конформного фактора . Возможность проинтегрировать в штеккелевых пространствах уравнения геодезических линий позволяет получать точно интегрируемые модели в метрических теориях гравитации [4-9], включая модифицированные теории гравитации [10, 11], в том числе в интересах гравитационно-волновой астрономии. Для ШП типа (2.1) (c метрикой (3) в привилегированной СК) для функции действия пробных частиц имеем (игнорируемые переменные метрики входят линейно) (4) Причем функции и являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений: ; (5) (6) где , , , - постоянные параметры пробных частиц. Точка сверху означает обыкновенное дифференцирование. Таким образом, в рассматриваемых моделях пространства-времени можно проинтегрировать в квадратурах уравнения движения пробных частиц в форме Гамильтона - Якоби и найти функцию эйконала, т.е. геодезические распространения излучения в гравитационном поле. В случае уравнения эйконала вектор задает волновой вектор излучения, а уравнения - волновые поверхности излучения (фронт волны). Классы пространственно-однородных моделей ШП типа (2.1) При выделении из семейства штеккелевых пространств типа (2.1) пространственно-однородных моделей мы предполагаем, что число попарно коммутирующих векторов Киллинга рассматриваемых моделей остается равным двум, так что метрика в привилегированной СК зависит от двух неигнорируемых переменных, а коммутирующие векторы Киллинга и из полного набора ШП (2.1) можно представить в виде (7) Заметим, что вектор - изотропный, а вектор - пространственно-подобный. Дополнительные два вектора Киллинга, обеспечивающие пространственную однородность моделей, обозначим так: . (8) Модели пространственно-однородных ШП типа (2.1), допускающие в привилегированной СК зависимость метрики от одной из неигнорируемых переменных только через конформный фактор, относятся к конформно-штеккелевым пространствам типа (3.1). Именно эти модели и будут рассматриваться в данной работе. Обозначим их как модель класса B пространственно-однородных ШП (2.1), в отличие от моделей класса A, множество которых не пересекается с множеством конформно-штеккелевых пространств типа (3.1). Всего нами выделено две не сводящиеся друг к другу модели пространственно-однородных ШП (2.1) класса B, которыми исчерпываются все модели рассматриваемого класса. Для каждой рассматриваемой модели далее будет проведено интегрирование уравнений Эйнштейна с космологической постоянной и тензором энергии-импульса чистого излучения с плотностью энергии и волновым вектором : (9) Для моделей, отвечающих уравнениям Эйнштейна (9), далее будут также проинтегрированы уравнение эйконала и уравнение движения пробных частиц в форме Гамильтона - Якоби. Модель B.1 пространственно-однородных ШП типа (2.1) Для данного класса пространственно-однородных моделей ШП (2.1) имеем (10) (11) Интервал пространства-времени запишем так: (12) где и - постоянные параметры модели; - волновая (изотропная) переменная. Коммутаторы векторов Киллинга модели B.1 имеют вид При данное пространство допускает дополнительный коммутирующий вектор Киллинга и вырождается в штеккелево пространство типа (3.1). Условие пространственной однородности модели накладывает ограничения на область допустимых значений координат: . Из вида определителя метрики следует, что , тогда пространственная однородность модели дополнительно требует выполнения условия на допустимые значения координат: . Скалярная кривизна модели постоянная и отрицательная , а компоненты тензора Вейля пропорциональны следующим выражениям: Рассмотрим интегрирование уравнений Эйнштейна (9) для метрики (11). Получаем следующее решение: (13) Таким образом, получаем пространственно-однородную волноподобную Вселенную с интервалом (12), где переменная - волновая, с космологической постоянной заполненную излучением с плотностью энергии и волновым вектором излучения вида , Полученная пространственно-однородная модель пространства-времени относится к типу III по классификации Бианки и имеет тип N по классификации Петрова. При значении параметра модель вырождается, т.е. становится вакуумной и конформно-плоской. Интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби и уравнения эйконала для модели B.1 Проинтегрируем для метрики (11) уравнения (5), (6) и получим явный вид функции для действия пробной частицы (4) (при ): (14) Здесь - независимые постоянные движения пробных частиц, задаваемые начальными условиями. Функция эйконала для метрики (11) (при ) принимает вид (15) В частном случае, когда постоянная движения пробной частицы обращается в нуль, обращаются в нуль и постоянные и . Тогда для функции действия пробной частицы получим (16) Модель B.2 пространственно-однородных ШП типа (2.1) Для данного класса пространственно-однородных моделей ШП (2.1) имеем (17) (18) Интервал пространства-времени (19) где - постоянный параметр модели; - волновая переменная. Коммутаторы векторов Киллинга модели B.2 выглядят так: При данное пространство допускает дополнительный коммутирующий вектор Киллинга и вырождается в штеккелево пространство типа (3.1), поэтому предполагается, что . Условие пространственной однородности модели накладывает ограничения на область разрешенных значений переменных: . Поскольку из вида определителя метрики следует, что , то условие пространственной однородности модели требует ограничения на разрешенный диапазон значений переменных вида , откуда следует, что и . Скалярная кривизна модели постоянна и отрицательна ( ), компоненты тензора Вейля пропорциональны выражению . Рассмотрим интегрирование уравнений Эйнштейна (9) для метрики (18). Получаем следующее решение: (20) Таким образом, получаем пространственно-однородную волноподобную Вселенную (переменная - волновая) с космологической постоянной , заполненную излучением с плотностью энергии и волновым вектором вида , Полученная пространственно-однородная модель пространства-времени относится к типу III по классификации Бианки и имеет тип N по классификации Петрова. При значении параметра модель B.2 вырождается - метрика в привилегированной СК зависит только от одной переменной , модель становится вакуумной и конформно-плоской. Интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби и уравнения эйконала для модели B.2 Проинтегрируем для метрики (18) уравнения (5), (6) и получим явный вид функции действия пробной частицы (4) (при ): (21) Здесь , , - независимые постоянные движения пробных частиц, задаваемые начальными условиями. Решение уравнения эйконала при примет простой вид (22) где , , - независимые постоянные, задаваемые начальными условиями. В вырожденном случае при обращении постоянной в нуль постоянные , также обращаются в нуль, и получаем для действия пробной частицы: (23) Заключение Найдены пространственно-однородные модели пространства-времени, допускающие существование привилегированных систем координат, относительно которых уравнение движения пробных частиц в форме Гамильтона - Якоби допускает интегрирование методом полного разделения переменных по типу (2.1). В работе рассматривались те модели (класс B), которые относятся одновременно и к конформно-штеккелевым пространствам типа (3.1) - допускают интегрирование уравнения эйконала. Рассмотренные модели относятся к волноподобным моделям пространства-времени, метрики которых в привилегированной системе координат (где допускается разделение переменных) зависят от волновой (изотропной) переменной. Получены две модели рассматриваемого класса, которые являются пространственно-однородными и относятся к типу III по классификации Бианки и имеют тип N по классификации Петрова. Для этих моделей пространства-времени найдены точные решения уравнений Эйнштейна с космологической постоянной и тензором энергии-импульса чистого излучения - получены апериодические волноподобные точные решения уравнений Эйнштейна для пространственно-однородной Вселенной с ненулевой космологической постоянной. Для полученных пространственно-однородных точных решений уравнений Эйнштейна с излучением и космологической постоянной найден явный вид полных интегралов для функции эйконала и для действия массивных пробных частиц.

Ключевые слова

теория гравитации, точные решения, группа движений, однородные пространства, гравитационные волны, классификация Петрова, классификация Бианки, theory of gravity, exact solutions, group of motions, homogeneous spaces, gravitational waves, Petrov classification, Bianchi classification

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Осетрин Евгений КонстантиновичТомский государственный педагогический университетинженер Управления по информатизации ТГПУevgeny.osetrin@gmail.com
Осетрин Константин ЕвгеньевичТомский государственный педагогический университетд.ф-м.н., профессор, проректор по международной деятельности и информатизации ТГПУosetrin@tspu.edu.ru
Филиппов Альтаир ЕвгеньевичТомский государственный педагогический университетк.ф.-м.н., доцент каф. информационных технологий ТГПУaltair@tspu.edu.ru
Всего: 3

Ссылки

Stäckel P. Uber die Integration der Hamilton-Jacobischen-Differentialgleichung mittels der Separation der Variabeln. - Halle, Phil. Fak., Habil.-Schr. - April 1891. - V. 6.
Shapovalov V.N. // Sib. Math. J. (Sov. J. Math.). - 1979. - V. 20. - P.1117.
Obukhov V.V. and Osetrin K.E. // Proceedings of Science (WC2004). - 2004. - P. 027.
Osetrin K., Filippov A., and Osetrin E. // Mod. Phys. Lett. - 2016. - V. A31. - No. 06. - P. 1650027.
Osetrin E. and Osetrin K. // J. Math. Phys. - 2017. - V. 58. - No. 11. - P. 112504.
Багров В.Г., Обухов В.В., Осетрин К.Е. // Изв. вузов. Физика. - 1997. - Т. 40. - № 10. - С. 74- 79.
Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin K.E., and Filippov A.E. // Grav. and Cosmol. - 1999. - V. 5. - No. 4(20), Supplement. - C. 10-16.
Osetrin K.E., Obukhov V.V., and Filippov A.E. // J. Phys. A: Math. General. - 2006. - V. 39. - Nо. 21. - P. 6641-6647.
Осетрин Е.К., Осетрин К.Е., Филиппов А.Е. // Изв. вузов. Физика. - 2019. - Т. 62. - № 2. - С. 96-102.
Nojiri S. and Odintsov S.D. // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. - 2007. - V. 4. - P. 115-146.
Осетрин K.E., Филиппов A.E., Осетрин E.K. // Изв. вузов. Физика. - 2018. - T. 61. - № 8. - С. 17-23.
 Пространственно-однородные конформно-штеккелевы пространства типа (3.1) | Известия вузов. Физика. 2020. № 3. DOI: 10.17223/00213411/63/3/51

Пространственно-однородные конформно-штеккелевы пространства типа (3.1) | Известия вузов. Физика. 2020. № 3. DOI: 10.17223/00213411/63/3/51