Comparative analysis of techniques for obtaining the parameter of the Yarkovsky effect from observations.pdf Введение В настоящее время эффект Ярковского (ЭЯ) привлекает все большее внимание специалистов по небесной механике [1, 2]. Это связано, по-видимому, со следующими факторами: с одной стороны, в последнее время существенно возросла точность наблюдений, с другой - увеличились требования к точности прогноза движения, в частности опасных для Земли астероидов. Таковыми являются, в том числе, объекты с малым перигелийным расстоянием (менее 0.15 а.е.), поскольку они способны подходить к Земле незамеченными со стороны Солнца. Вследствие близкого прохождения таких объектов около Солнца ЭЯ может оказывать значительное влияние на подобные тела, так как он придает астероиду дополнительное ускорение, связанное с тепловым излучением от нагревшейся днём и остывающей ночью поверхности. Однако определение ЭЯ является непростой задачей, поскольку он зависит от ряда физических свойств астероида и параметров вращения, которые известны для очень малого числа объектов. Цель данной работы - анализ методик определения эффекта, их программная реализация и апробация на некоторых объектах с малым перигелийным расстоянием. В п. 1 кратко описывается методика исследования. Пункт 2 посвящен программной реализации использованных методов. В п. 3 приводятся сведения об астероидах, выбранных для анализа рассматриваемых методов. Результаты анализа представлены в п. 4. 1. Методики определения параметра эффекта Ярковского Как упоминалось выше, физические свойства и параметры вращения астероидов, необходимые для учета эффекта Ярковского, известны лишь для незначительного числа объектов. Для остальных малых тел единственная возможность - это подбор коэффициентов на основе наблюдений. Исходя из предположения, что действие эффекта Ярковского обратно пропорционально квадрату расстояния от астероида до Солнца [1], мы можем записать возмущающее ускорение, учитывающее данный эффект, в следующем виде: , где r - гелиоцентрическое расстояние астероида; А - коэффициент эффекта Ярковского. К сожалению, при современной точности наблюдений удается найти в лучшем случае самую значительную составляющую ускорения - трансверсальную [2], обычно обозначаемую A2. Значение данного параметра определяется из условия минимума среднеквадратической ошибки представления наблюдений. Рассмотрим две методики решения этой задачи. В первой методике (обозначим ее M1) мы варьировали параметр А2 в пределах некоторого интервала с заданным шагом. При каждом значении параметра решалась задача наименьших квадратов и определялась среднеквадратическая ошибка представления наблюдений  [3]. Предварительно для данной задачи проводилась отбраковка наблюдений по правилу «трех сигм» на модели без учета ЭЯ, и полученный набор наблюдений использовался при дальнейшем варьировании параметра А2. За искомое значение параметра трансверсального ускорения А2 бралось такое, которое соответствует минимальному значению . Недостатком данного способа является то, что мы ограничены границами задаваемого интервала и дискретным шагом. Кроме того, многократное решение задачи наименьших квадратов приводит к существенным затратам времени. Вторая методика заключается в определении параметра A2 из совместного интегрирования уравнений движения, уравнения для параметра A2 и уравнений в частных производных [2], при этом A2 включается в число оцениваемых параметров наряду с координатами и компонентами скорости. Достоинством данного подхода является не только скорость вычислений, но и получаемая погрешность величины. В рамках второй методики было рассмотрено два способа. В первом способе (M2.1) предварительно было произведено улучшение орбиты объекта на основе модели движения, не включающей в себя эффект Ярковского. В результате данного улучшения были отбракованы наблюдения согласно правилу «трех сигм» и затем, используя полученную выборку наблюдений и модель движения, включающую в себя ЭЯ, определен параметр A2. Во втором способе (M2.2) на первом шаге по всем наблюдениям, интегрируя совместно уравнения движения, уравнения для параметра A2 и уравнения в частных производных, получаем оценки координат, скоростей и параметра A2. Далее на основе полученных оценок производим отбраковку наблюдений и находим уточненное значение искомого параметра A2. 2. Программная реализация Ранее нами был разработан программный комплекс «ИДА» [4], который позволяет проводить всестороннее исследование динамики астероидов. В рамках настоящей работы в программный комплекс добавлена возможность определения параметра А2 на основе двух описанных выше методик. В качестве примера на рис. 1 показан внешний вид модифицированной подсистемы «Наблюдения», которая предназначена для улучшения орбит астероидов по позиционным наблюдениям, определения коэффициента нелинейности и построения начальной доверительной области нелинейными методами. Рис. 1. Внешний вид подсистемы «Наблюдения» 3. Сведения об астероидах В качестве объектов для анализа рассмотренных методик выбраны несколько астероидов с малым перигелийным расстоянием. Элементы орбит исследуемых объектов взяты из каталога Э. Боуэлла [5] и приведены в табл. 1. Здесь a - большая полуось; e - эксцентриситет; i - наклонение; q - перигелийное расстояние. Данные в таблице отсортированы в порядке возрастания перигелийного расстояние. На рис. 2 показаны проекции орбит астероидов 431760 2008 HE и 425755 2011 CP4, а также орбиты некоторых планет на плоскость эклиптики. Таблица 1 Элементы орбит астероидов Объект a, а.е. e i, град q, а.е. 431760 2008 HE 2.261150 0.950441 9.828476 0.112059 425755 2011 CP4 0.911391 0.870328 9.455386 0.118181 2017 AF5 2.479031 0.949752 20.90706 0.124566 2007 PR10 1.231907 0.892377 20.92459 0.132581 3200 Phaethon 1.271339 0.889879 22.26036 0.140001 а б Рис. 2. Проекции орбит астероидов 431760 2008 HE (а) и 425755 2011 CP4 (б) на плоскость эклиптики 4. Численные результаты Для рассматриваемых астероидов получены оценки параметра трансверсального ускорения А2 разными способами. Число N и интервал Т использованных наблюдений приведены в табл. 2. Наблюдения были взяты с сайта центра малых планет (https://minorplanetcenter.net/). Для сравнения представлен период обращения Р каждого объекта вокруг Солнца. Согласно методикам М1 и М2.1, исключение наблюдений производилось без учета ЭЯ, поэтому набор наблюдений совпадает. При использовании способа М2.2 измерения исключались с учетом ЭЯ, вследствие чего набор наблюдений для астероидов 431760 2008 HE и 3200 Phaethon немного отличается. Таблица 2 Основные параметры объектов Объект Т, сут Р, сут N (всего) N (M1) N (M2.1) N (M2.2) 431760 2008 HE 2560 1241.9 209 199 199 200 425755 2011 CP4 5869 317.8 140 134 134 134 2017 AF5 447 1425.8 289 288 288 288 2007 PR10 4020 499.4 54 53 53 53 3200 Phaethon 13085 523.5 5110 5044 5044 5042 Результаты определения значения параметра трансверсального ускорения А2 обеими методиками для исследуемых астероидов приведены в табл. 3. В первой методике первоначально для всех астероидов мы задавали интервал, равный [-10-12, 10-12] a.e./сут2 с шагом 10-15 a.e./сут2, но оказалось, что для астероида 2007 PR10 минимум на данном интервале не был обнаружен, поэтому мы расширили границы интервала до [-10-12, 10-11] a.e./сут2. Параметры А2, полученные по второй методике методом наименьших квадратов, приведены в табл. 3 со своими среднеквадратичными ошибками. Таблица 3 Результаты определения параметра А2 Объект A2, a.e./сут2 (M1) A2, a.e./сут2 (M2.1) A2, a.e./сут2 (M2.2) A2, a.e./сут2 (сайт НАСА) 431760 2008 HE 1.02010-13 1.02510-13± ±1.14810-13 1.30710-13± ±1.16010-13 - 425755 2011 CP4 4.00010-14 3.93510-14± ±3.31910-14 3.93510-14± ±3.32510-14 5.83010-14± ±1.73110-14 2017 AF5 3.36210-12 3.36410-12± ±7.64910-12 3.36410-12± ±7.64910-12 - 2007 PR10 -3.86010-13 -3.85810-13± ±1.39510-13 -3.85810-13± ±1.40210-13 - 3200 Phaethon -1.10010-14 -1.19310-14± ±2.77910-15 -8.43210-15± ±2.79710-15 -5.44510-15± ±5.91910-16 В качестве примера на рис. 3 показаны графики изменения среднеквадратической ошибки представления наблюдений  и размера доверительной области r в зависимости от величины параметра А2 для астероидов 431760 2008 HE (а) и 425755 2011 CP4 (б). Учет ЭЯ может привести к изменению размеров и положения начальной доверительной области. Для иллюстрации на рис. 4 представлены начальные доверительные области (10 тыс. тестовых частиц) в проекции на плоскость эклиптики для астероида 431760 2008 HE. Здесь серым цветом обозначена область, построенная на основе модели движения без учета ЭЯ, черным цветом - на основе модели движения с ЭЯ. Для наглядности схематично эллипсами показаны примерные границы областей. Описание способа построения начальной доверительной области приведено в нашей работе [6]. Из рис. 4 видно, что под влиянием ЭЯ доверительная область заметно смещается. а б Рис. 3. Изменение среднеквадратической ошибки представления наблюдений  и размера доверительной области r в зависимости от параметра А2 для астероидов 431760 2008 HE (а) и 425755 2011 CP4 (б) Как видно из табл. 3, результаты, полученные методами М1 и М2.1, практически совпадают. Несущественное отличие оценок, полученных методом М2.2 для астероидов 431760 2008 HE и 3200 Phaethon, объясняется разным составом наблюдений. Однако следует отметить, что данные оценки находятся в пределах их неопределенностей, размер которых явно связан с мерным интервалом. Для астероида 2017 AF5 интервал наблюдений существенно меньше периода, что приводит к значительной неопределённости в определении коэффициента А2. Астероиды 2007 PR10 и 3200 Phaethon наблюдались в течение нескольких оборотов, вследствие чего неопределённость оценки параметра ЭЯ в несколько раз меньше его значения. На сайте НАСА (https://ssd.jpl.nasa.gov) приведены значения параметра А2 для двух рассматриваемых объектов 425755 2011 CP4 и 3200 Phaethon (последний столбец табл. 3). Заметим, что только для этих объектов имеются радарные наблюдения. В рамках приведенной неопределенности данные значения согласуются с полученными нами. Наибольшее отличие присутствует для астероида 3200 Phaethon, что объясняется разными выборками наблюдений объекта: 5044 и 5042 наблюдений в нашем случае и 4362 на сайте НАСА. Для астероида 425755 2011 CP4 нами получены результаты на основе 134 наблюдений, на сайте НАСА - 144 наблюдений. Кроме того, в данной работе для этих объектов использованы только позиционные наблюдения. В дальнейшем планируется модификация программного обеспечения, что позволит учитывать радарные наблюдения. Рис. 4. Начальные доверительные области для астероида 431760 2008 HE с учетом (черный цвет) и без учета ЭЯ (серый цвет) Заключение Таким образом, в данной работе рассмотрены две методики получения параметра A2 эффекта Ярковского. В обоих случаях параметр определялся из условия минимума среднеквадратической ошибки представления наблюдений. В первой методике задача решалась перебором различных значений A2, во второй - параметр включался в число оцениваемых параметров. Рассмотренные алгоритмы реализованы в разработанном ранее программном комплексе «ИДА». Сравнение методик показало, что они дают близкие результаты в пределах получаемой неопределенности. Для двух объектов получено приемлемое согласие с результатами НАСА. Проведенное исследование позволяет сделать выводы о большей эффективности второй методики. В дальнейшем планируется ее применение ко всему классу объектов с малым перигелийным расстоянием.

Скачать электронную версию публикации