Phonon spectral energy density in metals with the cubic lattice structure.pdf Описание колебаний атомов кристаллической решетки до настоящего времени не может считаться окончательно законченным, несмотря на существование теории теплоемкости при постоянном объеме (теории Дебая). Теория Дебая прекрасно объясняет закон кубического возрастания теплоемкости с температурой при низких значениях последней. Однако при высоких температурах модель Дебая представляется недостаточно обоснованной [1]. В частности, неясно, в силу каких физических причин введено значение критической частоты - частоты фононов, выше которой их появление невозможно. Кроме того, не рассматривается спектральная плотность энергии фононов ангармонизма, хотя эта информация крайне важна. Именно спектральный состав ангармонических фононов необходим для предметного описания фонон-фононного взаимодействия в кристалле. Роль фононов в формировании кристаллического состояния существенно недооценена. Приведем лишь несколько примеров: 1. Можно предположить, что именно фононы ответственны за строгую прямолинейность атомных рядов в решетке. Тогда появляется возможность связать изгибную прочность материала с соответствующими фононами. 2. Фононы определяют поверхностное натяжение материала, в особенности в случае, когда волновой фронт источника колебаний не является плоским. 3. Можно предположить, что фононы определяют вид (строение) наночастиц. Даже такой ограниченный список приложений физики фононов свидетельствует о важности рассмотрения спектральной плотности их энергии. При этом рассмотрение должно быть более детальным, чем приближение Дебая. В данной работе изложены принципы, на основании которых может производиться расчет спектральной плотности энергии фононов. Анализ проводится для простой кубической кристаллической решетки. 1. Стандартное описание фононов При описании колебаний кристаллической решетки спектральная плотность энергии записывается в виде [2] (1) где j = 1 - спин фонона; g(, T) - числа заполнения или плотность состояний. В уравнении (1) учтена энергия нулевых колебаний и тот факт, что фононы подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна. Далее следует записать дисперсионное соотношение - связь между энергией фонона и его квазиимпульсом. При учете взаимодействия только между атомами-соседями может быть использован формализм одночастичных функций Блоха: (2) где k - модуль волнового вектора; a - постоянная решетки; Vзв - скорость звука. Отсюда следует выражение для дисперсионного соотношения: (3) На рис. 1 представлена дисперсионная зависимость акустических фононов для металлического кристалла. В настоящее время возможно провести экспериментальное изучение дисперсионной зависимости. Это связано с наблюдением упругого рассеяния нейтральных частиц (фотонов либо нейтронов) на фононах. Рассеяние нейтральной частицы дает информацию об энергии и импульсе фонона. В частности, экспериментальные результаты по определению дисперсионной зависимости приводятся в монографии [3]. На основании этих данных может быть сделан вывод о том, что соотношение (3) выполняется. Считается, что спектральная плотность энергии фононов (в частности, теплоемкость твердого кристаллического тела при постоянном объеме) не слишком критична по отношению к выбору той или иной модели дисперсионного соотношения. В общепринятой в настоящее время модели Дебая постулируется наличие некоторой критической частоты Дебая. По определению частота фононов в конкретном кристалле не может превышать частоту Дебая. Далее на основании предельной частоты вводится температура Дебая - основной параметр теории. На рис. 1 дисперсионная зависимость Дебая показана пунктиром. При этом физического основания предельной частоты нет. Рис. 1. Дисперсионная зависимость для акустических фононов Главным достижением теории Дебая является установление закона кубического возрастания теплоемкости с температурой в области низких температур. Этот закон связан с линейностью дисперсионной кривой в области малых значений частот и волновых чисел. Плотность состояний определяется числом элементарных ячеек в фазовом пространстве. Тогда спектральная плотность энергии фононов в единице объема определяется выражением (4) При расчете теплоемкости для малых значений модуля волнового вектора допустимо интегрирование (считая линейным участок дисперсионной кривой). Для k ≥  / (10a) необходимо производить суммирование. Дополнительно следует учесть, что скорости продольных и поперечных волн в кристалле, как правило, различны: . В соответствии с этим следует вычислять и . В итоге (5) 2. Влияние теплового расширения на гармонические фононы При повышении температуры кристалла наблюдается его тепловое расширение. Величина коэффициента объемного расширения приблизительно постоянна в широком диапазоне температур, исключая случаи структурно-фазовых превращений [1]: (6) Для установления влияния теплового расширения на спектральный состав фононов следует воспользоваться соотношением Грюнайзена , (7) где  - постоянная Грюнайзена, характерная для конкретного кристалла. Уравнение (7) может быть записано в виде В итоге получаем . (8) Уравнение (8) описывает изменение (смещение в область более низких частот) частот фононов, вызванное тепловым расширением решетки. В таблице приведены значения относительного коэффициента объемного расширения, постоянной Грюнайзена [2] и относительного изменения частот фононов при температуре, близкой к плавлению металла [4]. Некоторые постоянные металлов Металл β•106 γ T, K Al 2,4 2.34 960 0.54 Fe 12 1.68 1840 3.7 Cu 17 2.09 1380 4.9 Ni 14 1.70 1750 4.2 Zn 32 1.54 720 3.5 Показано, что смещение частот фононов, вызванное тепловым расширением решетки, составляет величину от 0.5 до 5 % в области высоких температур. Однако не следует забывать, что в выражении для спектральной плотности энергии фононов циклическая частота входит в четвертой степени. Следовательно, смещение частоты может оказывать заметное влияние на итоговые результаты. Рассмотренное изменение спектра фононов может трактоваться как изменение энтропийной составляющей термодинамического потенциала Гиббса при нагревании кристалла. Если конфигурационная составляющая энтропии не меняется, то колебательная составляющая может меняться значительно. 3. Фононы ангармоничности Наряду с обычными фононами в кристалле существуют фононы ангармоничности, ответственные за целый ряд физических эффектов, в первую очередь, - за тепловое расширение. Главное отличие этих фононов (ангармонических) от рассмотренных выше состоит в том, что они не являются стоячими волнами. Имеет место ситуация, когда кристалл оказывается заполненным почти идеальным газом ангармонических фононов, хаотически распространяющихся и, следовательно, создающих «избыточное» давление. Интерес представляет спектральная плотность энергии ангармонических фононов, хотя бы для описания фонон-фононного взаимодействия. Для решения этой задачи прежде всего следует определить набор частот. Если для образования стоячих волн (обычные фононы) требуется, чтобы длина волны была кратной двум постоянным решетки ( = 2a•n; k =  / (a•n)), то для ангармонических фононов разумно принять: (9) где n - целое число. В этом случае значения модулей волновых векторов гармонических и ангармонических фононов перемешаны. Соотношение Грюнайзена (7) показывает, как изменяется частота фононов при изменении «свободного» объема. В случае теплового расширения, по сути, происходит обратный процесс. Тогда выражение (7) следует записывать в виде (10) Здесь - постоянная Грюнайзена для процесса возникновения дополнительного объема (тепловое расширение) от действия фононов ангармоничности. Ввиду взаимности процессов (7) и (10) разумно предположить, что . Из выражения (10) следует, что . (11) Сравнивая выражения (8) и (11), видим, что изменения частот фононов различной природы при нагревании кристалла происходят в различных направлениях. Для записи выражения для спектральной плотности энергии ангармонических фононов необходимы следующие допущения: - нулевая энергия колебаний отсутствует; - фононы подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна; - дисперсионное соотношение имеет вид . На рис. 2 показано соответствующее дисперсионное соотношение Рис. 2. Дисперсионная зависимость для ангармонических фононов В итоге выражение для спектральной плотности энергии ангармонических фононов (для единицы объема кристалла без теплового расширения) принимает вид . (12) При расчете для малых значений модуля волнового вектора допустимо интегрирование. Для k ≥ 2π / (25a) необходимо производить суммирование. Постоянная Азв находится из условия нормировки выражения (12), так как работа расширения конкретного кристалла - известная величина. Авторами в данной работе не ставилась задача изучения фонон-фононных взаимодействий. Обычно подобные взаимодействия рассматриваются с привлечением динамических моделей (диаграмм) различной степени сложности либо с использованием функций Грина. Использование соотношений (8) и (11) дает надежду на получение результатов без привлечения динамических моделей. Сдвиг частот позволяет предполагать наличие в отдельных случаях когерентности, что и приводит к интерференционным явлениям.

Скачать электронную версию публикации