Моделирование вихрей Абрикосова в трехмерных наноструктурах | Известия вузов. Физика. 2020. № 3. DOI: 10.17223/00213411/63/3/131

Моделирование вихрей Абрикосова в трехмерных наноструктурах

С помощью COMSOL проведено моделирование вихрей Абрикосова в трехмерных структурах микро- и наноразмеров. При моделировании граничные условия были введены в систему с помощью вспомогательной переменной. Система помещена в магнитное поле, перпендикулярное одной грани структуры. Для изученных в работе структур исследовано распределение параметра порядка, фазы, мейснеровских токов внутри структуры. Исследован эффект Мейснера. Показано, что внутри объемной структуры при значении магнитного поля меньше критического происходит уменьшение внешнего магнитного поля до 70 %.

Modeling of the Abrikosov vortices in three-dimensional nanostructures.pdf Введение Свойства сверхпроводящих материалов II типа во многом определяются сочетанием двух характеристических длин: длины когерентности и глубины проникновения магнитного поля. В до- критических магнитных полях сверхпроводник находится в состоянии Мейснера, характеризующемся циркулирующим приграничным сверхпроводящим током. Приграничная область с током определяется глубиной проникновения. Повышение магнитного поля сопровождается частичным его проникновением в образец в виде нитей магнитных силовых линий, охватываемых циркулирующим сверхпроводящим током вихрей. В массивных образцах минимальное значение свободной энергии достигается при упорядочении вихрей в виде гексагональной решетки. В сверхпроводниковых структурах размером порядка и меньше глубины проникновения токи, циркулирующие по периметру, не могут препятствовать проникновению магнитного поля в структуру. Таким образом, классические состояния Мейснера не возникают. Исследованию свойств наноструктур в пространственно-однородном магнитном поле посвящено большое количество работ за последние два десятилетия. Развитие технологии синтеза трехмерных наноструктур, обладающих нетривиальной геометрией, открывает новые возможности для исследований топологически контролируемых свойств сверхпроводящих наноструктур. Предлагаемое направление отличается от активно ведущихся исследований влияния топологии зонной структуры на сверхпроводимость [1] тем, что нетривиальная геометрия индуцирует сложное пространственное распределение магнитного поля и параметра порядка. Например, можно создать наноструктуры с неоднородной кривизной - в таких объектах нормальная и тангенциальная компоненты магнитного поля будут пространственно-неоднородными, что приведет к нетривиальному распределению мейснеровских и вихревых токов. Так, если в наноструктуре присутствуют участки с нулевой нормальной компонентой магнитного поля, в системе появляется несколько мейснеровских токов и формируется подобие многосвязной доменной структуры. Наноструктуры из сверхпроводящих материалов представляют уникальную возможность применения квантовомеханических законов для получения специфических сверхпроводящих свойств, необходимых для практического применения. К настоящему времени исследованы сверхпроводящие свойства множества наноразмерных конфигураций, таких, как петли, диски, прямоугольники, треугольники и др., представленных либо в единичном экземпляре, либо как составляющие элементы соответствующих массивов (например, сверхрешеток из прямоугольников [2]). Математическое моделирование и вычислительный эксперимент позволяют значительно ускорить и удешевить исследования в области сверхпроводящих наноструктур. Ядром математической модели является нелинейная система дифференциальных уравнений Гинзбурга - Ландау и Максвелла. Для массивных структур «больших» размеров образование вихрей Абрикосова и эффект Мейснера действительно представлены ранее аналитическими и численными моделями. Как правило, в данных моделях пренебрегают рядом факторов, например взаимодействием вихрей с приграничными мейснеровскими токами или эффектами перенормировки магнитного поля. В наноструктурах/микроструктурах ни эффект Мейснера, ни образование вихрей Абрикосова в достаточной мере не изучено теоретически, так как необходимо решать нелинейную систему дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями. Аналитически решить такую систему дифференциальных уравнений затруднительно. Несмотря на мощный аппарат численных методов, выбор численного метода для решения уравнения Гинзбурга - Ландау остается открытым. В данной работе представлен результат моделирования для структуры с характеристическими длинами порядка длины когерентности методом конечных элементов. Существуют работы, в которых применен данный метод для моделирования двумерных структур [3]. Однако двумерные структуры являются более грубым приближением к реальным структурам микро/нано¬размеров по сравнению с трехмерными структурами. Научная новизна данной работы заключается в применении численных методов для исследования закономерностей, хорошо известных в массивных структурах, для исследования трехмерных структур, имеющих размеры, сопоставимые с характеристическими длинами, с учетом полной системы уравнений на магнитное поле (уравнение на вектор-потенциал). Система уравнений, включающая уравнение на вектор-потенциал, позволяет более полно учесть эффекты, связанные с перенормировкой магнитного поля токами вихрей и экранирующими токами. Цель настоящей работы - рассмотрение статических свойств вихрей Абрикосова в трехмерных структурах. Для спиральных наноструктур были исследованы статические паттерны вихрей в 2D-приближении [4]. Динамика вихрей Абрикосова в двумерных сверхпроводящих Nb-нанотруб¬ках показана в [5-7]. Математическая модель взята из работы [3] и для полноты изложения описана в следующем пункте. Моделирование сверхпроводящих структур с помощью аналитической модели Для математического моделирования сверхпроводящей фазы в магнитном поле в трехмерных Nb-наноструктурах применена система уравнений, состоящая из динамического уравнения Гинзбурга - Ландау для параметра порядка и уравнения, описывающего вектор-потенциал магнитного поля [3]: ; (1) , (2) где - параметр порядка; - параметр Гинзбурга - Ландау; - вектор-потенциал магнитного поля; - время; - мнимая единица; - проводимость; - оператор градиента. Рис. 1. Расчетная сетка, наложенная на сверхпроводящий куб В данной работе рассмотрен сверхпроводящий ниобиевый куб со стороной 5 безразмерных единиц (рис. 1). Куб помещен в магнитное поле, направленное вдоль оси Z в правой системе координат. Величина магнитного поля составляет в безразмерных единицах Вaz = 0.80 и 0.81. Уравнения (1) и (2) дополнены следующими граничными условиями: , (3) , (4) , (5) где ; - величина прикладываемого к системе магнитного поля; - нормаль к поверхности. Адаптация уравнений для COMSOL Уравнения (1) - (5) решались методом конечных элементов при помощи программного обеспечения (ПО) Comsol Multiphysics. ПО Comsol Multiphysics позволяет решать дифференциальные уравнения следующего вида: . (6) Здесь - это вектор неизвестных; - заданный поток искомой величины ; - функция источника; - коэффициент затухания; - массовый коэффициент. Граничные условия введены в систему уравнений (1), (2) с помощью вспомогательной переменной и дополнительного уравнения [3] . (7) Приведение уравнений (1) - (5) к уравнению (6) с учетом уравнения (7) дает ; (8) ; (9) , (10) - нулевая матрица, Анализ результатов моделирования При решении уравнения (6) шаг по времени t от 0 до 400 равен 0.1, магнитное поле направлено вдоль оси Z. Величина магнитного поля больше критического и составляет в безразмерных единицах Вaz = 0.81,  = 1, k = 4. Под критическим значением магнитного поля понимаем значение Вaz, при котором в наноструктуре начинают возникать вихри Абрикосова. Оно определялось изменением значения Вaz от 0.1 до 1 с шагом 0.01. На рис. 2, 3 и 5 показаны сечения сверхпроводящего куба плоскостью XY при t = 400. На рис. 2 оттенками серого показан квадрат модуля параметра порядка при Baz = 0.81 (a) и Baz = 0.80 (б). Отметим, что на рис. 2, а возникает 4 вихря Абрикосова. В то же время на рис. 2, б величина магнитного поля ниже критической величины, образец полностью находится в сверхпроводящем состоянии. Рис. 2. Распределение квадрата модуля параметра порядка  при t = 400 в безразмерных единицах: а - Baz = 0.81; б - Baz = 0.80 Моделирование нестационарного уравнения Гинзбурга - Ландау проводилось до установления стационарного состояния. На рис. 3, а приведена разность квадрата модуля параметра порядка между временами t = 400 и 350. При достижении заданной величины расхождения решения (10-3) принято решение об установлении стационара. На рис. 3, б приведено распределение фазы в радианах при Baz = 0.81 в момент времени t = 400, которое симметрично относительно центра сверхпроводящей структуры. Рис. 3. Разность распределений квадрата модуля параметра порядка  при t = 400 и 350 в безразмерных единицах (а). Распределение фазы при Baz = 0.81 в момент времени 400 в безразмерных единицах (б) Анализ рис. 4, а позволяет сделать вывод, что величина магнитного поля внутри вихря при Baz = 0.81 больше внешнего поля на 5 %. На рис. 4, б наблюдается эффект Мейснера. Величина магнитного поля в центре образца составляет B = 0.248 безразмерных единиц при внешнем магнитном поле Baz = 0.80. Таким образом, уменьшение внешнего магнитного поля составляет ~ 70 %. Рис. 4. Вектор индукции магнитного поля в центральном сечении XZ сверхпроводящего куба: а - Baz = 0.81; б - Baz = 0.80 Рис. 5. Сверхпроводящий ток в сечении плоскостью XY. Величина внешнего магнитного поля составляет 0.81 безразмерных единиц На рис. 5 приведена картина сверхпроводящего тока для величины внешнего магнитного поля Baz = 0.81 при t = 400. Отметим, что сверхпроводящий ток закручивается вокруг вихрей против часовой стрелки. Максимальная величина сверхпроводящего тока на расстоянии 0.3 безразмерных единиц от центра вихря составляет не более 0.37 безразмерных единиц. Вокруг вихрей сформирована область с минимальной величиной сверхпроводящего тока j, не превышающей 0.1 безразмерных единиц. . (11) В данной работе одна безразмерная пространственная единица ориентировочно составляет 279 нм. Величина критического магнитного поля оценена для трехмерных структур с размерами от 1 до 50 безразмерных единиц (для Nb куба ориентировочные размеры составляют от 279 нм до 13.9 мкм). Отметим, что величина критического магнитного поля увеличивается при уменьшении геометрического размера куба. Для кубических структур со стороной, равной длине когерентности, образование вихрей не происходит. Для трехмерных структур с линейными размерами менее 1 мкм величина критического магнитного поля меняется значительно, например, для куба с величиной грани в 2 безразмерные единицы величина критического поля составляет 1.85 (в безразмерных единицах), а для куба размером в 4 - 0.91, т.е. происходит уменьшение критического поля примерно в 2 раза. Для структур микроразмеров уменьшение критического поля происходит более «слабо», например, для куба размером в 7 единиц величина критического поля составляет 0.75, а для куба размером в 10 единиц - 0.73. Физическую интерпретацию по вышеприведенным результатам мы предлагаем следующую. Изменение критического магнитного поля в зависимости от размеров структуры может быть связано с тем, что энергия образования вихря в небольших структурах выше, чем в больших, так как часть энергии уходит в потенциальную энергию взаимодействия вихрей с экранирующими мейснеровскими токами. Количество вихрей без учета энергии взаимодействия с экранирующими мейснеровскими токами пропорционально отношению магнитного потока к площади ядра вихря (радиус вихря имеет порядок длины когерентности). Соответственно с увеличением поперечных размеров структуры или с увеличением магнитного поля будет пропорционально расти количество вихрей. Заключение Теоретически рассмотрено образование вихрей Абрикосова в трехмерных Nb-нанострукту¬рах. Показан эффект Мейснера, заключающийся в уменьшении внешнего магнитного поля до 70 % в центре сверхпроводящей структуры. В дальнейшем планируется исследование магнитного поля в областях, прилегающих к структурам, исследование динамики вихрей Абрикосова в трехмерных наноструктурах и перенос представленного в работе подхода к исследованию криволинейных (в частности, цилиндрических) трехмерных наноструктур.

Ключевые слова

вихри Абрикосова, эффект Мейснера, трехмерные наноструктуры, Abrikosov vortices, Meissner effect, three-dimensional planar nanostructures

Авторы

ФИООрганизацияДополнительноE-mail
Ушаков Иван АлексеевичНациональный исследовательский Томский политехнический университетинженер научной лаборатории изотопного анализа и технологий НИ ТПУjiaozu@tpu.ru
Левченко Евгений АнатольевичНациональный исследовательский Томский политехнический университетк.ф.-м.н., доцент отделения математики и информатики НИ ТПУlevchenkoea@tpu.ru
Всего: 2

Ссылки

Scheurer M.S. and Schmalia J. // Nature Commun. - 2016. - V. 6. - P. 6005.
Moshchalkov V.V. and Fritzsche J. Nanostructured Superconductors. - World Scientific, 2011. - 299 p.
Alstrom T.S., Sorensen M.P., Pedersen N.F., and Madsen S. // Acta Appl. Math. - 2011. - V. 115. - Iss. 1. - P. 63-74.
Fomin V.M., Rezaev R.O., Levchenko E.A., et al. // J. Phys.: Cond. Matter. - 2017. - V. 29. - P. 395301.
Fomin V.M., Rezaev R.O., and Schmidt O.G. // Nano Lett. - 2012. - V. 12. - P. 1282-1287.
Rezaev R., Posenitskiy E., Smirnova E., et al. // Phys. Status Solidi - Rapid Res. Lett. - 2019. - V. 13. - P. 1800251.
Rezaev R.O., Levchenko E.A., and Fomin V.M. // Superconduct. Sci. Technol. - 2016. - V. 29. - Iss. 4. - P. 045014.
 Моделирование вихрей Абрикосова в трехмерных наноструктурах | Известия вузов. Физика. 2020. № 3. DOI: 10.17223/00213411/63/3/131

Моделирование вихрей Абрикосова в трехмерных наноструктурах | Известия вузов. Физика. 2020. № 3. DOI: 10.17223/00213411/63/3/131