Nanobeam theory taking into account the physical nonlinearity.pdf Введение В последние годы возрос интерес к исследованию поведения нанообъектов: датчиков колебаний, микро- и наноприводов, нанопереключателей. Эксперименты подтверждают необходимость учета нелинейности на поведение микро- и наномеханических систем. Большинство работ, опубликованных в этом направлении, рассматривают геометрическую нелинейность, т.е. связь между деформациями и перемещениями по теории Т. фон Кармана. В [1] указано на необходимость для нанобалок учета физической нелинейности. При деформировании конструкции необходимо построить такие теории, которые бы учитывали неоднородность материала. Эта неоднородность в известных теориях вводилась на основе функционально градиентных материалов (FGM). Теория FGM берет свое начало в восьмидесятых и девяностых годах прошлого века. Теории, построенные на этой основе, позволили использовать эти материалы в качестве теплозащитных для аэрокосмической промышленности и термоядерных реакторов. Подход FGM построен на основании того, что эти материалы имеют неоднородные свойства по толщине и длине балки, т.е. рассматривается вопрос о создании таких материалов, но не исследуется напряженно-деформируемое состояние (НДС) при их расчете. Предложенная теория позволяет исследовать вопрос о НДС для любых неоднородных материалов, в том числе и для материалов, построенных на основании FGM, что не было сделано до настоящего времени для наноструктур. Кроме того, возможно рассматривать задачи как в статической, так и в динамической постановке; исследовать вопрос о хаотических колебаниях и решать задачи на собственные значения для наноконструкций. Постановка задачи В основу предлагаемой теории положены следующие гипотезы и предположения: • материал балки изотропный, но неоднородный , ; • диаграмма интенсивности напряжений от интенсивности деформаций может быть произвольной и зависеть от температуры T; • температура учитывается по теории Дюамеля - Неймана, коэффициент линейного расширения также зависит от координат; • на температурное поле по длине и толщине балки не накладываются никакие ограничения; • стационарное температурное поле определяется из решения трехмерного уравнения Пуассона , внутренние источники тепла f(x, y, z) учитываются как заданными, так и связанными с напряженно-деформируемым состоянием для краевых условий 1-3 рода; • используется кинематическая модель первого приближения (Эйлера - Бернулли); • учитывается деформационная теория пластичности; • наноструктура рассматривается исходя из модифицированной моментной теории упругости; • балка занимает объем (рис. 1). Рис. 1. Расчетная схема балки Рассмотрим балку длиной а и постоянной толщины h. В модифицированной моментной теории [2] запасенная энергия деформации П в упругом теле при бесконечно малых деформациях записывается в виде , (1) где обозначено: область ; - компоненты тензора деформации; - компоненты симметричного тензора градиента кривизны, которые определяются следующим образом: ; (2) ; (3) . (4) Здесь u - вектор смещений с компонентами , ; θ является бесконечно малым вектором вращения с компонентами . Обозначим , , и - компоненты классического тензора напряжений , тензора деформаций , девиаторной части симметричного тензора момента высшего порядка m и симметричной части тензора кривизны  соответственно; - параметры Ламэ, которые также зависят от координат, интенсивности деформаций и температуры T(x, y, z); - символ Кронекера. Параметр , появляющийся в моменте высшего порядка , представляет собой дополнительный независимый материальный параметр длины, связанный с симметричным тензором градиента вращения. В этой модели в дополнение к обычным параметрам Ламэ необходимо учесть еще один масштабный параметр дли¬ны [2]. Это прямое следствие того, что в моментной теории упругости плотность энергии деформации есть функция тензора деформации и симметричного тензора кривизны. Она не зависит явно от вращения (несимметричная часть градиента деформации) и несимметричной части тензора кривизны. Введем обозначения: - толщина балки в центре; - прогиб балки; - коэффициент демпфирования; - плотность материала; b - толщина балки; T - температура. Согласно гипотезам Эйлера - Бернулли, поле перемещений произвольной точки определяется как ; (5) наноструктура описывается модифицированной моментной теорией; для учета физической нелинейности материала балок применяются деформационная теория пластичности [3] и метод переменных параметров упругости [4]. Ширину балки примем b = 1. Компоненты будут иметь вид , . (6) Компоненты тензора деформации запишутся как , . (7) Закон Гука с учетом (7) запишем . (8) Учитывая (4) и (6), получим соотношения для (i, j = 1, 2, 3) , . (9) Моменты в срединной плоскости . (10) Моменты высшего порядка . (11) Рассмотрим процесс движения на отрезке времени между моментами и . Сравним для этого отрезка времени различные траектории движения точек системы между начальным и конечным положением. Согласно принципу Гамильтона - Остроградского, истинные траектории отличаются от других возможных (совместимых со связями) траекторий тем, что для первых должно выполняться условие . (12) - работа внешних сил; K - кинетическая энергия: , (13) где - плотность материала балки. Запишем выражения для потенциальной энергии . (14) В том случае, когда все силы, действующие на систему, содержат потенциал, равенство (12) имеет вид , (15) где - действие по Гамильтону (принцип Гамильтона). Вариация потенциальной энергии . (16) Вариация кинетической энергии . (17) Вариация внешних сил . (18) Уравнения движения, граничные и начальные условия балки следуют из вариационного уравнения (12): (19) Граничные условия: жесткое защемление с обоих концов балки: при ; (20) шарнирно-неподвижное опирание с обоих концов балки: при ; (21) смешанные граничные условия: при при . (22) Начальные условия: при . (23) Так как предлагаемая модель изучает колебания в стационарном температурном поле, то для его определения требуется решить двумерное уравнение теплопроводности . (24) К уравнениям (24) следует присоединить краевые условия 1-го - 3-го рода. Численный эксперимент В качестве примера рассмотрим физически нелинейную нанобалку, жестко защемленную с обоих концов, с нулевыми начальными условиями, постоянного поперечного сечения при постоянной плотности без учета температурного поля (Т = 0) в (24), при действии постоянной равномерно распределенной нагрузки q: . (25) Уравнение (25) приведем с помощью соотношений к безразмерному виду: , , , , , , , , . Черточка в уравнении (25) над безразмерными величинами для простоты отброшена. Поперечная нагрузка, равномерно распределенная , материал балки - чистый алюминий с диаграммой деформирования . Здесь , бар, , относительная длина , b = 1. Для чистого алюминия . Для решения задачи используется следующий метод: уравнения в частных производных (25) сводятся к задаче Коши методом конечных разностей второго порядка точности, а задача Коши решается методами типа Рунге-Кутты (метод Рунге-Кутты 4-го (RK4), 2-го (RK2) порядков, метод Рунге-Кутты - Фелберга 4-го порядка (rkf45), метод Кеш - Карпа 4-го порядка (RKCK), Рунге-Кутты - Принса - Дорманда восьмого порядка (rk8pd), неявный метод Рунге-Кутты 2-го (rk2imp) порядка и 4-го (rk4imp) порядка) и методом Ньюмарка. На каждом шаге по времени строится итерационная процедура методом переменных параметров упругости И.А. Биргера [4]. Пересчитываем модуль упругости , коэффициент Пуассона , модуль сдвига , где интенсивность деформаций равна , для области интегрирования , разбитой сетки на узлов. Интегрирование по толщине осуществляется методом Симпсона для . По длине разделен на 120 частей. Данное разбиение оказалось оптимальным. Устойчивость решения по времени, т.е. шаг по времени, выбирался по принципу Рунге. Достоверность численных результатов обеспечивается полным совпадением решений, полученных описанным методом, с результатами работы [5] для . Статическая задача решается с помощью метода установления, который, по сути, является методом продолжения по параметру. Подробно метод установления описан в [6]. Было проведено исследование влияния размерно-зависимого параметра на напряженное состояние балки. На рис. 2 представлены графики зависимости прогиба в центре балки от внешней нагрузки для ряда значений . Рис. 2. Зависимость В качестве условия пластичности принят критерий пластичности Мизеса. На рис. 3 пред¬ставлены пластические (черный цвет) и упругие (белый цвет) зоны для ряда значений при статической нагрузке . Рис. 3. Пластические зоны Анализ полученных результатов показывает, что с увеличением размерно-зависимого параметра зоны пластических деформаций уменьшаются, и тем самым увеличивается несущая способность. Для зоны пластических деформаций аналогичны, что и для , а для имеются незначительные зоны пластических деформаций на опорах при и . Для балка целиком упругая, и тем самым несущая способность увеличивается. В таблице приведены предельные нагрузки qпр для и процентное соотношение, показывающее, на сколько увеличивается несущая способность балки с изменением размерно-зависимого параметра . Предельная нагрузка балки  Предельная нагрузка q % 1.2 100 1.3 108 2 167 3.4 283 Заключение В работе построена теория статики и динамики физически нелинейных, неоднородных нанобалок, находящихся в стационарном температурном поле, кинематической модели первого приближения. Создан алгоритм расчета статики и динамики нанобалок как системы с «почти» бесконечным числом степеней свободы. Анализ численного эксперимента показал, что учет размерно-зависимого параметра по модифицированной моментной теории приводит к существенному увеличению несущей способности нанобалки.

Скачать электронную версию публикации