Under barrier and over barrier transfer of electrons through multilayered semiconductor structures.pdf Прогресс современной микроэлектроники в значительной степени определяется изучением свойств систем с неоднородно распределёнными параметрами, развитием методов эффективного теоретического анализа таких систем, разработкой и обеспечением объективными методами контроля технологических процессов, позволяющих создавать полупроводниковые слои с заданными свойствами [1-4]. В данной работе рассмотрим общие вопросы распространения электронных волн в среде, свойства которой меняются только вдоль определенного направления. Подход основан на использовании одноэлектронного стационарного уравнения Шредингера для описания процессов упругого рассеяния и туннелирования невзаимодействующих бесспиновых частиц при условии сохранения их полной энергии. Исследование электронных свойств как симметричных, так и асимметричных относительно геометрических размеров слоев полупроводниковой структуры является актуальным в связи с применением этих структур в микро- или наноэлектронике и в других областях физики твердого тела [1-6]. В работах [7-17] вычислены величины динамической проводимости σ(ω) или же тока j(ω) отзыва системы на внешнее воздействие в полупроводниковой многослойной структуре. Теория создавалась на базе разных моделей с использованием различных математических способов решения полного уравнения Шредингера для системы электронов, взаимодействующих с электромагнитным полем в структуре с -образным потенциальным барьером. В этих работах задача решена без учета условия Бастарда [5], т.е. не учтены разность эффективных масс носителей тока в соседних слоях структуры. В настоящее время молекулярно-лучевая эпитаксия и другие методы современной технологии дают возможность получать полупроводниковые слои с произвольным профилем изменения состава (структуры с квантовой ямой) для улучшения характеристик приборов, полученных на их основе [2, 4]. В этом случае задача об электронных состояниях сводится к задаче о поведении частицы в прямоугольных потенциальных ямах, где между двумя соседними имеется потенциальная яма, описываемая соотношением (рис. 1) (1) Далее отметим, что для создания нового поколения резонансно-туннельных диодов, гетеролазеров с разделенным электронным и оптическим ограничением применяются структуры с прямоугольными размерно-квантованными ямами, в центре которых имеется дополнительный энергетический провал. Такая структура описывается потенциалом (1), где . Рис. 1. Структура с асимметричными прямоугольными потенциальными барь¬¬ерами Наноструктуры, выращенные на основе узкозонного полупроводника между двумя слоями широкозонного материала, описываются как структуры с асимметричными прямоугольными потенциальными барьерами, т.е. с потенциалом (1), где (рис. 2). Рис. 2. Структура с одним потенциальным барьером Тогда волновую функцию электрона в потенциале (1) можно представить как , (2) где Далее считаем, что эффективные массы электронов в соседних слоях различны. Поэтому граничные условия для волновых функций электронов имеют вид [5] . (3) Подставляя (2) в (3), получим выражения для амплитуд электронных волн де Бройля (4) Здесь . Для упрощения дальнейших вычислений вводим матрицу переноса, удовлетворяющую следующее равенство: (5) где матричные элементы в случае (6) Заметим, что для матрицы имеем , (7) матрица становится униполярной матрицей в случае , т.е. для симметричных структур [6], когда одинаковы высота потенциальных барьеров и эффективные массы электронов. Электронные свойства структуры с одним потенциальным барьером. Рассмотрим конкретные случаи: пусть трехслойная структура имеет в середине один потенциальный барьер (рис. 2). Тогда коэффициенты отражения потенциального барьера и прохождения через потенциальный барьер , введенный как отношение плотности потоков вероятности в отраженной и прошедшей волнах де Бройля электронов в падающей волне, в формализме матрицы переноса имеют вид ; (8) , (9) где считали, что перенос электронов происходит по схеме . Тогда матричные элементы матрицы переноса : (10) Отметим здесь следующее: 1. Коэффициент инвариантен к преобразованию , это означает, что коэффициент прохождения не зависит от того, с какой стороны налетают электроны на потенциальный барьер. 2. Коэффициенты и верны как для надбарьерного, так и для подбарьерного прохождения электронов. В последнем случае удобно использовать преобразования типа тогда, когда - вещественная, а - мнимая величина, где . Отметим, что при переходе из одной области в другую в электронных волнах должно происходить смещение по фазе, связанное с несовпадением фаз волн, распространяющихся в различных соседних областях. 3. Для симметричной структуры с имеем (11) 4. В асимметричной (и в симметричной, но с различными эффективными массами электронов в различных областях (слоях)) структуре должна наблюдаться осцилляция в спектральной зависимости как коэффициента , т.е. в эффекте туннелирования, так и в коэффициенте прозрачности потенциального барьера. Амплитуда этой осцилляции определяется разностью между волновыми векторами электронов, находящихся в потенциальном барьере и в соседних ему потенциальных ямах, т.е. и . Такое интерференционное явление не исчезает даже в симметричной структуре из-за разности эффективных масс электронов, находящихся в различных слоях структуры. Далее определим выражение для коэффициента прохождения через структуры из области j в область j+2 для произвольного соотношения энергии носителей тока и высоты потенциального барьера: . (12) Следует отметить, что как в надбарьерном, так и в подбарьерном прохождении электронов возникает осцилляция туннелирования, связанная с интерференцией отраженных волн де Бройля. Амплитуда при этом определяется не только значениями волновых векторов, но и значениями эффективных масс носителей тока. Отметим также, что данная осцилляция не исчезает даже в симметричных структурах, если у них имеется разность эффективных масс носителей тока, находящихся в двух соседних областях. Согласно последней формуле, по мере уменьшения разности осцилляция становится все менее выраженной и при она исчезает, и структура становится асимметричной. Рис. 3. Зависимость коэффициента прозрачности потенциального барьера структуры AlAs-In0.73Ga0.47As-InAs: сплошная кривая - для электронов с энергией 150 мэВ, точечная - для электронов с энергией 50 мэВ На рис. 3 представлена зависимость от для структуры из AlAs- In0.53Ga0.47As-InAs, из которой видно, что с увеличением энергии электронов увеличивается частота осцилляции. В этом случае выбраны следующие параметры: [18]. Расчеты показывают, что если увеличить эффективную массу в 1.6 раза, то амплитуда и частота осцилляции увеличиваются примерно в 1.2 раза. Это означает, что можно контролировать осцилляцию, выбирая образцы различного химического состава. Стационарные локализованные состояния в прямоугольной асимметричной потенциальной яме. Для определения энергетического спектра локализованных состояний будем использовать критерий существования таких состояний, определяемый уравнением 0. При этом учтем, что локализованному состоянию частицы в асимметричной потенциальной яме соответствует такое распределение волновой функции, при котором решения уравнения Шредингера для данного случая являются нарастающими. Поэтому в решениях (для определенного случая) надо исключить слагаемые вида и . Тогда , (13) отсюда условие существования локализованных состояний имеет вид . (14) Далее определим энергию локализации электронов как при их надбарьерном, так и подбарьерном транспорте, где ради простоты дальнейшего анализа результатов считаем, что области «1» и «3» физически неразличимы. Из последнего нетрудно получить, что локализованный уровень размерно квантован, т.е. , и находится в областях «1» и «3», где В случае, когда такое размерное квантование не происходит, энергия локализации определяется из следующих трансцендентных уравнений: - при надбарьерном переходе электронов , (15) - при подбарьерном переходе электронов . (16) Из (15) нетрудно получить, что в рассматриваемой структуре имеется лишь один локализованный уровень электронов независимо от того, какова толщина слоев. Для структуры с одинаковыми эффективными массами электронов при подбарьерном переходе электронов происходит размерное квантование их локальных состояний, определяемое выражением . (17) Резонансное туннелирование через двухбарьерную структуру при учете условия Бастарда. Рассмотрим подбарьерный переход электронов с энергией (т.е. ) через асимметричную структуру. Тогда матричный элемент матрицы переноса (12) в случае определяется суммой произведений и , где . (18) Здесь . Тогда имеем , (19) где (20) Таким образом, для прозрачности барьеров имеем выражение . (21) Далее рассмотрим, что потенциальные энергии превышают энергию электронов ( ) и , тогда энергетический спектр электронов в структуре с потенциальной ямой, разделенной с малой прозрачностью, т.е. при , описывается выражением где определяется из условия . Определим энергетический спектр локализованных состояний электронов в структуре с прямоугольной асимметричной потенциальной ямой, где также считаем, что физико-химические свойства потенциальных ям «1», «3», «5» и барьеров «2», «4» одинаковые. В этом случае матричный элемент матрицы переноса имеет вид , (22) где (23) Для надбарьерного транспорта электронов имеем (24) а в случае подбарьерного транспорта электронов (25) Тогда для локализованных состояний электронов, у которых энергия больше чем высоты потенциальных барьеров, имеем следующее трансцендентное уравнение: (26) Волновая функция электронов в асимметричной структуре. Рассмотрим волновую функцию с для асимметричной структуры, изображенной на рис. 4. Считаем, что слой - барьер (т.е. ), тогда из граничного условия Бастарда следует (27) где Тогда , (28) где Из условия нормировки для волновой функции выражение для коэффициента определяется соотношением . (29) Рис. 4. Асимметричная структура с двумя потенциальными барьерами Обсуждение полученных результатов начнем с выражения для , где считаем, что слои являются потенциальными барьерами, а слои - потенциальными ямами. Тогда нетрудно убедиться в том, что даже в наноструктурах, где потенциальные ямы размерно квантованы, можно наблюдать интерференционные туннельные явления. Отметим, что в этом случае степень наблюдения интерференционной картины описывается, т.е. контролируется только с параметрами барьера. Такое явление исчезает при подбарьерном переходе электронов тогда, когда (либо ). При этом , (30) где , (31) если удовлетворяются условия , и , (32) если удовлетворяются только условия . Таким образом, в симметричных структурах должна наблюдаться осцилляция коэффициента надбарьерного прохождения частицы в зависимости от ее энергии без учета условия Бастарда. Расчеты показывают, что при равных значениях ширины ямы и потенциального барьера, а также скачков потенциала барьера или ямы амплитуда осцилляций коэффициента надбарьерного прохождения частиц больше, чем коэффициента прохождения над ямой. В случае асимметричной структуры эти рассуждения остаются в силе, но физическая природа параметров, например числа осцилляций, коэффициентов отражения и прохождения, сильно зависит как от отношения эффективных масс электронов в соседних слоях, так и от отношения высоты левого и правого потенциального барьера. Отметим, что в асимметричной (и в симметричной, но с различными эффективными массами электронов в различных слоях) полупроводниковой структуре должна наблюдаться осцилляция зависимости коэффициента прохождения через потенциальный барьер от энергии электронов. Эта осцилляция обусловлена интерференцией волн, идущих к барьеру и отраженных от потенциального барьера. Такое интерференционное явление не исчезает даже в симметричной структуре из-за разности эффективных масс электронов, находящихся в различных областях структуры. Для расчета ряда кинетических параметров (например, для расчета стационарной или нестационарной проводимости, или вольт-амперной характеристики - зависимости туннельного тока от напряжения) несимметричных двухбарьерных резонансно-туннельных структур с прямоугольными барьерами можно использовать аналитическое решение уравнения Шредингера с учетом условия Бастарда, т.е. с учетом разности эффективных масс электронов в соседних слоях структуры. В этом случае эти кинетические параметры, в частности туннельный ток, который протекает через барьеры структуры, будут зависеть не только от параметров потенциальных барьеров и ям, но и от эффективных масс носителей тока. Этот случай требует отдельного рассмотрения, чему будет посвящена следующая работа.

Скачать электронную версию публикации