Quantum solutions in the classical electrodynamics and its connection with geometrodynamics.pdf Введение Известно, что формальным и содержательным аналогом уравнения диффузии является уравнение Шредингера, так как многие теоремы о решении уравнения Шредингера и некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях. Естественно ожидать, что классическое уравнение диффузии может иметь квантовое решение. В работе [1] найдено такое квантовое решение классического уравнения диффузионного типа, описывающее атом Колмогорова - Бюргерса, а в работе [2] найдено квантовое решение дифференциального уравнения классической механики, описывающее первоатом Ньютона - Гука. В работе [1] разработано совершенно новое направление, названное «диффузионно-шредингеровской квантовой механикой», основанное на существовании квантовых решений уравнений классической физики. В диффузионно-шредингеровской квантовой механике вместо постоянной Планка автоматически возникает ее диффузионный аналог . Синтез классической и квантовой физики может стать базовым формализмом для второй квантовой революции. Разработанные теоретические основы нового научного направления представляют интерес для широкого круга исследователей и могут найти применение в различных областях науки и техники: квантовой биологии, синтетической биологии, медицине, квантовой теории сознания, биологической электронике, квантовом компьютере, природоподобных технологиях, финансовой математике, геометродинамике [3-35]. Интерференционные эффекты, характерные для квантовых явлений, могут иметь место для живой материи. Например, универсальность стволовых клеток может быть следствием квантового параллелизма, в соответствии с которым несколько различных процессов должны рассматриваться как происходящие одновременно в виде квантовой линейной суперпозиции. Сама же заряженная стволовая клетка в присутствии внешнего магнитного поля может быть биологическим атомом. Так как , то в мозгу могут существовать такие клетки-атомы (молекулы в целом), чувствительные к отдельным квантам большой энергии, энергия которого с учетом механизма усиления может преобразоваться в энергию движения клеток либо в упругие колебания спирали молекулы ДНК, которые могут приводить к ее механическим, электрическим, магнитным и химическим трансформациям. По диффузионному механизму пылевая плазма Вселенной может генерировать космические лучи ультрарелятивистских энергий. Например, при массе пылинок , коэффициенте диффузии и обусловленной гравитацией частоте вращения пылевых частиц вблизи горизонта событий сверхплотных достаточно массивных космических объектов макроскопические частицы пылевой плазмы способны генерировать излучение в диапазоне . Магнитное поле таких космических объектов может увеличить коэффициент диффузии, так как из-за возникающей при этом турбулентности диффузия поперек магнитного поля происходит значительно быстрее и бомовский коэффициент диффузии равен , где - температура электронов, выраженная в энергетических единицах; - скорость света и элементарный заряд соответственно. Так как частота вращения частиц в магнитном поле обратно пропорциональна массе , то, к сожалению, частоту вращения частиц пылевой плазмы нельзя обеспечить магнитным полем . Кроме того, в таком случае, когда частота вращения обусловлена магнитным полем, энергия квантов существенно ниже , где . Используя центрифугу и магнитное поле, излучение частиц пылевой плазмы можно наблюдать в лабораторных условиях. Жесткое излучение диффузионного типа возможно и при грозовом разряде, что может служить экспериментальным подтверждением возможности диффузионного излучения медленных макроскопических частиц. Квантовые решения уравнений классической механики обладают всеми атрибутами квантовой механики: квантование энергетической характеристики (энергии, линейной плотности, поверхностной плотности, объемной плотности энергии), корпускулярно-волновой дуализм, квантовая интерференция, спонтанное излучение, туннелирование, спиновые эффекты. В этой связи исследуем возможность вторичного квантования решения одночастичного уравнения классической электродинамики на фоне вакуумно-подобного скалярного поля в случае нестационарного самодействующего электромагнитного поля. 1. Экзотический атом Максвелла - Багрова Найдем квантовое решение уравнений Максвелла - Лоренца на фоне вакуумно-подобного скалярного поля. Затем отождествим пространственное измерение с зависящей от времени векторной функцией пространственно-полевого типа. Это позволит исследовать временной процесс рождения пространства без пространства за счет эффекта туннелирования эффективной планковской частицы во времени. Как известно, уравнения Максвелла - Лоренца в вакууме имеют вид ; (1) . (2) При интегрировании уравнений Максвелла - Лоренца скалярный и векторный А потенциалы вводятся таким образом, чтобы автоматически удовлетворялись уравнения (2). Для этого предполагают, что . (3) В общем случае с учетом (3) уравнения (1) и (2) сводятся к двум уравнениям ; (4) . (5) В лоренц-инвариантной калибровке эти уравнения сводятся к двум уравнениям Даламбера , . Исследуем временную эволюцию самодействующего электромагнитного поля на основе линейного дифференциального уравнения, что возможно для источника полевого типа. Для этого найдем решение векторного неоднородного уравнение Даламбера (6) с источником полевого типа . Здесь , величина и функция являются безразмер- ными. Решение уравнения (6) будем искать в виде . Тогда для функций получим уравнение Лапласа (7) и безразмерное уравнение на собственные значения , (8) где безразмерный оператор . Для гармонического по времени безразмерного «потенциала» решение уравнения (8) и условие квантования имеют известный вид , , где - полином Эрмита; - безразмерная константа интегрирования, которая найдена из условия нормировки ; , так что безразмерная функция является волновой функцией. Одновременно имеющая размерность длины функция является траекторной функцией. Траекторно-волновой дуализм решения уравнения (8) обусловлен инвариантностью этого уравнения относительно преобразования , где - произвольная константа. Поэтому константа интегрирования может иметь любую размерность и интерпретацию. Уравнение (8) является временным аналогом одномерного пространственного уравнения квантовой механики , где , . В отличие от уравнения квантовой механики классическое уравнение (8) не зависит от постоянной Планка, так что решение уравнения (8) не зависит от постоянной Планка . Поэтому в данном теоретическом исследовании принцип соответствия квантовой механики не имеет смысла. Нетрудно убедиться, что для любой пространственной квантовой задачи на собственные значения существует ее временной «классический» аналог . Например, для ангармонического по временной переменной потенциала уравнение (8) в безразмерных переменных сводится к уравнению (9) где , . Делая замену переменной , из (9) найдем . (10) Решение уравнения будем искать в виде . Тогда для определения функции получим уравнение . Решение и условие квантования уравнения (10) имеют вид [15] , . Здесь - обобщенный многочлен Лагерра порядка ; . Таким образом, для функции окончательно имеем . (11) Пространственный аналог решения (11) возникает в квантовой геометродинамике и описывает первоатом Леметра - Фридмана [15], который является фундаментальной основой атомной модели квантовой теории гравитации и «Большого взрыва». Обоснованием существования квантового решения классического уравнения (8) может служить теорема Эренфеста. Действительно, уравнение (8) можно представить в форме уравнения Ньютона , где , функция имеет размерность пространственной протяженности. Тогда существование квантового решения уравнения (8) оказывается теоретически обусловленным тем, что в сечении пространственно-временной поверхности потенциальной энергии произвольной плоскостью потенциал является гармоническим относительно пространственной переменной: . По теореме Эренфеста для гармонического относительно пространственной переменной одномерного осциллятора квантовое уравнение движения Гейзенберга для величины, усредненной по начальному состоянию, тождественно уравнению Ньютона. Следует отметить, что потенциальную энергию можно представить в форме упругой энергии Гука с переменным дискретным коэффициентом упругости . Это означает, что самодействующее электрическое поле обладает упругостью. В сферических координатах уравнение Лапласа для изотропного векторного поля имеет тривиальный вид . (12) Уравнение (7) имеет пространственно-неоднородное изотропное решение , и однородное решение , где - размерный коэффициент, - единичный постоянный вектор. Однородное решение уравнения (12) не является волновым, и такое решение может быть локализовано в пространстве. Поэтому рассмотрим однородное решение уравнения Лапласа (12), локализованное в сфере радиуса : Тогда для уравнения Даламбера изотропное однородное по пространственной переменной и нестационарное по временной переменной квантовое решение примет вид (13) Нетрудно убедиться, что найденное одномерное решение (13) при удовлетворяет уравнениям Максвелла - Лоренца, когда плотность реального заряда , а эффективный ток полевого типа . Следует отметить, что так как и из-за однородности векторного поля , , то решение (14) удовлетворяет калибровке Лоренца и уравнению непрерывности. В этой связи следует отметить, что вместо калибровки Лоренца можно использовать и кулоновское калибровочное условие , которое не удовлетворяет условию лоренц-инвариантности. Тем не менее Швингером было показано, что это нарушение лоренц-инвариантности является кажущимся, так как выбор кулоновской калибровки не приводит ни к каким противоречиям между предсказаниями и теорией относительности. Швингер показал, что одной лишь калибровочной инвариантности недостаточно для безмассовости фотона [24]. При этом напряженность электрического поля квантуется, а магнитное поле отсутствует из-за однородности векторного поля: , . (14) Здесь , , , (15) так что из-за ортогональности собственных функций . Очевидно, постоянное скалярное решение можно отождествить с вакуумно-подобным скалярным полем, которое в эффективном римановом пространстве с однородной изотропной метрикой описывается уравнением , где - масштабный фактор; , - объемная плотность потенциальной энергии вакуумно-подобного скалярного поля, выраженная в единицах измерения массы. При давление такого поля , а плотность энергии . Тогда фигурирующую в решении (14) частоту , пространственный размер и амплитуду напряженности электрического поля естественно связать с величиной Хаббла , , , , где - гравитационная постоянная Ньютона. Для решения (14) с учетом (15) условие квантования усредненной по времени энергии самодействующего электрического поля имеет вид (16) где амплитуда , и так как поле не является волновым, то в общем случае квант энергии не обязан определяться соотношением . Поэтому решение (16) в общем случае не содержит постоянную Планка. Для решения (14) плотность импульса самодействующего электрического поля , так как напряженность магнитного поля , а плотность спина , так как . Отсутствие импульса является подтверждением возможности локализации самодействующего электрического поля. Проведенное исследование означает, что самодействующее электрическое поле, локализованное внутри сферы, является экзотическим атомом. Следует отметить, что аналогичные внутренние изотропные квантовые решения имеют уравнения с источником полевого типа лоренц-инвариантной теории гравитации Хевисайда , , где , , , ; - вектор напряженности гравитационного поля; - вектор поля кручения, которое по своему действию аналогично магнитному полю; - скорость распространения гравитационного взаимодействия; - гравитационная постоянная Ньютона; - вектор-набла. Исследуем тепловое излучение отдельного экзотического атома и экзотического тела, состоящего из большой совокупности экзотических атомов. Решим эту задачу, используя подход Планка. Пусть в сфере имеется N ячеек-осцилляторов энергии , ячеек-осцилляторов энергии и т.д. Задача состоит в том, чтобы найти распределение энергии между отдельными ячейками из группы ячеек энергии . Пусть энергия этой группы ячеек состоит из точного числа квантов , так что . При этом предполагается, что энергия квантов всех ячеек-осцилляторов этой группы одинакова, а ячейки-осцилляторы служат простейшей моделью атомов. Число способов распределения квантов по ячейкам согласно формуле комбинаторного анализа равно , откуда по формуле Стирлинга . Определяя полную энтропию Больцмана - Планка ячеек как , с учетом формулы Стирлинга находим , где - энергия; - энтропия отдельной ячейки; - постоянная Больцмана. Используя термодинамическое соотношение , получим . С учетом формулы Рэлея для числа собственных колебаний в единице объема на единичный интервал частоты распределение интенсивности по частотам . Известно, что тепловая энергия может переходить в излучение, так что квант энергии самодействующего электрического поля может трансформироваться в энергию фотона . При этом полученная формула теплового излучения экзотического атома совпадает с формулой Планка, описывающей излучение черного тела. С учетом формулы при энтропия ячейки , где . Тогда объемная плотность энтропии , где . Из соотношения следует, что абсолютная температура , так что она обладает следующими свойствами: , . Энтропия отдельной ячейки . Отсюда следует, что , где теплоемкость отдельной ячейки-осциллятора совпадает с квантовой теплоемкостью Эйнштейна , . Когда все ячейки имеют одинаковую температуру, то из свойств энтропии следует, что при условии постоянства энергии энтропия ячейки максимальна. Таким образом, энтропия ячейки есть монотонная выпуклая функция энергии отдельной ячейки, достигает максимума в состоянии термодинамического равновесия, а состояние системы, принятое за начало шкалы отсчета энергии, является одновременно состоянием для начальных точек отсчета температуры и энтропии. Очевидно, возможен процесс, в котором энергия ускорения переходит в излучение при взаимодействии пробной заряженной частицы с экзотическим атомом. Из уравнения (8) видно, что обусловленное упругостью поля ускорение пробной заряженной частицы отлично от нуля. Крамер показал, что . Так как , то , так что пробная частица всегда находится внутри экзотического атома. Ускоренное движение пробной заряженной частицы должно сопровождаться излучением основного тона , интенсивность которого определяется соотношением , где средний квадрат ускорения , так что при , где , . Излучение является квадрупольным из-за квадратичной формы правой части ускорения . При интенсивность электромагнитного излучения пробной частицы планковского масштаба , которая при совпадает со светимостью гамма-всплеска GRB 990123 [25]. При энергия квантов . При ядерной плотности интенсивность излучения пренебрежимо мала. Интересно отметить, что при современном значении выраженной в единицах измерения массы плотности темной энергии линейный размер первоатома Максвелла - Багрова , время жизни квантового состояния , эффективная масса атома . Эти значения совпадают с наблюдаемыми значениями параметров Вселенной, так что Вселенная в целом может быть квантовым объектом, а человечество существует внутри такого экзотического атома. При ядерной плотности радиус сферы , эффективная масса имеет звездный масштаб , время жизни состояния . Таким образом, в зависимости от значения параметра экзотический атом может как располагаться в центре звезд, так и включать в себя звезды, галактики, скопления галактик и наблюдаемую Вселенную в целом. 2. Туннелирование в классической электродинамике В случае «перевернутого» осциллятора уравнение (8) в безразмерных переменных принимает вид , (17) где частоту осциллятора можно отождествить с величиной Хаббла . Решениями уравнения (17) являются функции параболического цилиндра . Аналогично для уравнения решения имеют вид . Квантовые явления имеют место и в случае потенциального барьера. Например, барьерное уравнение (17) возникает в теории рождения частиц из вакуума интенсивным однородным электрическим полем [26]. Функции параболического цилиндра по существу совпадают с решениями, приводящими к парадоксу Клейна, который состоит в том, что ток прошедших частиц превышает ток падающих частиц на потенциальный барьер высотой . Отмеченное Клейном превышение тока обусловлено увеличением полного числа частиц в результате рождения пар полем барьера. Исследуем этот процесс в рамках обычного вторично-квантованного подхода [26, 27]. Для функций параболического цилиндра имеет место соотношение [28] . (18) Скалярным произведением таких решений является определитель Вронского , так что при . (19) Асимптотики функции при имеют вид [27] , , где . Это означает, что функция соответствует положительно частотному решению при , т.е. частице. Комплексно-сопряженное решение соответствует отрицательной частоте, т.е. античастице. Это означает, что, хотя поле существует всегда, можно указать области времени, в которых состояния частиц и античастиц могут быть определены. Из асимптотик можно получить, что при время формирования процесса , а при это время равно [26]. Из асимптотик функций параболического цилиндра следует, что - решения уравнения (17), имеющие положительные или отрицательные частоты соответственно индексу и при . Функции удовлетворяют условиям нормировки и ортогональности , . Аналогичные условия имеют место и для функций . Согласно (18), для этих решений выполняются соотношения (20) . (21) Из (20), (21) следует (22) где , . Из условия нормировки нетрудно получить , , так что , . Соотношения, аналогичные (20) - (22), можно получить для операторов рождения и уничтожения частиц (античастиц). Действительно, из (19) - (21) и соотношения можно получить (23) Из условия нормировки с учетом (19) следует, что нормировочный множитель . Нетрудно убедиться, что выполняется условие ортогональности . При понижающий и повышающий операторы можно представить в дифференциальной форме , . Тогда , , так что уравнение можно представить в виде , где оператор . Среднее число пар скалярных частиц, рождающихся из вакуумного состояния , определяется соотношением , где . Так как согласно соотношениям (14) , то . Тогда среднее число пар скалярных частиц , где . На завершающем этапе из соображений размерности будем использовать постоянную Планка . Из соотношений (18), (20) следует, что , так что среднее число пар скалярных частиц, создаваемых барьером, равно . Здесь . Поэтому среднее число пар скалярных частиц, рождаемых в единицу времени, равно (24) Следует отметить, что процесс туннелирования во времени происходит на нулевом пространственном отрезке. Аналогичным образом можно найти вероятность рождения спинорных частиц [26]. В формуле (24) вместо постоянной Планка для массивных частиц можно использовать ее диффузионный аналог , где - коэффициент диффузии [1]. Например, для частицы с массой и отношение , что может способствовать усилению квантовых эффектов для макроскопических объектов. Очевидно, для безмассовых частиц следует использовать постоянную Планка. 3. Интерпретация Обоснованием связи геометродинамики с электродинамикой и ее геометродинамической интерпретации являются следующие положения: 1. Скалярная компонента самодействующего электромагнитного поля тождественна вакуумно-подобному скалярному полю, из-за чего в классической электродинамике возникает величина Хаббла . 2. При уравнение (8) имеет классическое векторное решение, связанное с инфляционным решением теории гравитации Эйнштейна: . При решение уравнения (8) совпадает с аналогичным решением релятивистской теории гравитации со связями Логунова: [15]. 3. При уравнение (8) эквивалентно уравнению Ньютона, выражающему закон всемирного тяготения , где , эффективная масса приращение , - объемная плотность энергии. 4. Так как в теории Логунова уравнение гравитационного поля подобно уравнению Даламбера, то электромагнитное поле можно отождествить с диагональными компонентами тензорного гравитационного поля так что самодействующее электромагнитное поле можно интерпретировать как состояние гравитационного поля с единичным спином. 5. Внутренние квантовые решения имеют уравнения с источником полевого типа лоренц-инвариантной теории гравитации Хевисайда. 6. Вероятность (24) совпадает с вероятностью туннелирования планковской частицы в квантовой геометродинамике [15]. Поэтому возможна геометродинамическая интерпретация вероятности (24). Например, при планковских значениях параметров г и , вероятность туннелирования с точностью до третьего знака после запятой совпадает с постоянной тонкой структуры , так что эту постоянную можно интерпретировать как вероятность, определяемую математическими константами . Это означает, что постоянная тонкой структуры «голого» электрона является вероятностью рождения заряда без заряда и реальной массы. Константу же можно интерпретировать как величину, учитывающую небольшое отличие значения числа в сверхсильном гравитационном поле черных дыр или в ранней Вселенной от его современного значения . Соответствующее относительное отклонение равно . Это означает, что в так называемой тонкой структуре математических констант может содержаться информация о взаимодействиях материи, что может быть использовано для решения проблемы потери информации в черных дырах. Материальным носителем заряда является эффективная планковская частица с эффективной массой . В классической геометродинамике Логунова риманово пространство является эффективным, а реальным пространством является пространство Минковского [30]. Поэтому в геометродинамике Логунова гравитационная полевая функция (масштабный фактор) может быть лишь эффективной пространственной переменной. В работе [15] показано, что согласно принципу геометризации Логунова тензорное гравитационное поле вакуумно-подобного скалярного поля способно порождать время в квантовом процессе туннелирования планковской частицы в эффективном одномерном сверхпространстве, пространственной координатой которого является масштабный фактор. При этом для такого процесса время не требуется, так как процесс туннелирования происходит за нулевое время. В первом испытании происходит рождение времени, а другие испытания в серии протекают уже во времени, так как оценка вероятности рождения подразумевает серию испытаний, которые должны протекать во времени. Нетрудно убедиться, что описывающая изотропную и однородную Вселенную метрика Фридмана - Робертсона - Уокера , либо метрика Логунова инвариантны относительно скалярно-векторных преобразований масштабного фактора , , , (25) , . Соответствующие уравнения Фридмана для плоской Вселенной также инвариантны относительно таких преобразований. Скалярно-векторная симметрия (25) и пространственно-полевой дуализм масштабного фактора позволяют интерпретировать пространственное измерение как эффективное пространственное измерение, если его связать с векторной масштабной функцией . Такая векторная масштабная функция является эффективной, так как в релятивистской теории со связями Логунова риманово пространство является эффективным. Это означает, что для решения (14) достаточно существования лишь времени, а реальное пространство может отсутствовать. При таком подходе становится возможной постановка задачи о рождении одномерного пространства без реального пространства после рождения времени. Действительно, после рождения времени становится возможным рождение реального пространства гравитационным полем. Так как процесс туннелирования во времени происходит на нулевом пространственном отрезке, а масштабный фактор может выступать лишь в качестве эффективной пространственной переменной, то по аналогии с процессом рождения времени исследованный в данной работе процесс рождения частиц при одновременно можно интерпретировать как процесс рождения реального одномерного пространства без пространства и реальной массы при туннелировании эффективной планковской частицы во времени. Здесь - эффективная масса Планка, - характеризующий эффективную пространственную протяженность и одновременно гравитационное поле масштабный фактор, - константа, - приращение масштабного фактора. Для такого процесса уже пространство не требуется, так как процесс туннелирования во времени происходит на нулевом пространственном отрезке, а масштабный фактор является лишь эффективной пространственной переменной. Эффективной является и масса Планка . Полученные результаты могут быть использованы в различных областях науки и техники [36-44]. Заключение Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что в случае «перевернутого» осциллятора программа эволюции во времени самодействующего электромагнитного поля («электрической» компоненты самодействующего гравитационного поля) определяется имеющим квантовый характер решением уравнения Даламбера. Существование квантового решения классического уравнения Даламбера обусловлено нестационарностью потенциала соответствующего типа и теоремой Эренфеста. Квантовое решение не зависит от постоянной Планка. Поэтому в данном теоретическом исследовании принцип соответствия квантовой механики не имеет смысла. Аналогичные внутренние квантовые решения имеют уравнения лоренц-инвариантной теории гравитации Хевисайда в случае источника полевого типа. Самодействующее электромагнитное (гравитационное) поле обладает свойством упругости и тождественно состоянию гравитационного поля с единичным спином. Показано, что вся информация о рождении пар скалярных частиц содержится в одночастичных решениях неоднородного уравнения Даламбера с источником полевого типа. Установлена связь классической электродинамики с геометродинамикой, дано геометродинамическое обоснование появления величины Хаббла в классической электродинамике, показано, что уравнения Максвелла - Лоренца имеют геометро-полевое решение, обнаружена скалярно-векторная симметрия уравнений Фридмана. Показано, что постоянную тонкой структуры можно интерпретировать как вероятность рождения заряда без заряда и реальной массы. Это означает, что в так называемой тонкой структуре математических констант может содержаться информация о взаимодействиях материи, что может быть использовано для решения проблемы потери информации в черных дырах. Одновременно исследованный в данной работе процесс рождения частиц можно интерпретировать как процесс рождения реального одномерного пространства при туннелировании эффективной планковской частицы во времени. Исследован процесс трансформации тепловой энергии и энергии ускорения в излучение.

Скачать электронную версию публикации