On the peculiar features of the instantaneous angular distribution of synchrotron radiation.pdf Введение Теоретическое исследование угловых распределений мощности синхротронного излучения (SR) достаточно хорошо разработано и представлено, например, в работах [1-5]. Однако некоторые особенности угловых распределений SR не рассматривались и могут оказаться не только теоретически интересными, но и экспериментально реализуемыми. В данной работе мы рассматриваем мгновенное пространственное распределение мощности SR. Впервые такое распределение изучалось в [1]. В частности, в [1] было установлено, что мгновенное распределение SR в релятивистском случае концентрируется вдоль скорости излучающего заряда (электрона). Мы предлагаем здесь такой способ разбиения пространства на две части, что в ультрарелятивистском случае вся мощность излучения сосредоточена в первой части пространства, а во второй части излучение стремится к нулю. Пространственная структура мгновенного углового распределения SR Рис. 1. Система координат Пространственная структура мгновенного углового распределения SR может быть задана в следующих координатах (они указаны также в [1]). Начало системы координат выберем в точке нахождения излучающего заряда. Ось направим по скорости электрона, ось - в сторону центра круговой траектории, ось выберем так, чтобы система координат была правой (при движении заряда в постоянном и однородном магнитном поле ось будет параллельна внешнему магнитному полю). Радиус круговой орбиты излучающей частицы обозначим , в нашей системе координат он ориентирован по оси . Угол между осью и вектором обозначим через , а угол между проекцией вектора на плоскость и осью - через . Система координат изображена на рис. 1. В сделанных предположениях мгновенное угловое распределение будет иметь вид [1-5] (1) Здесь - величина заряда; - скорость света; - скорость излучающей частицы ; - циклотронная частота; - масса покоя частицы; - напряженность магнитного поля. Радиус орбиты излучающей частицы связан с циклотронной частотой и скоростью соотношением Именно из формулы (1) следует (см. также [1]), что мгновенное угловое распределение в релятивистском случае в основном сосредоточено в узком конусе с центральной осью, совпадающей по направлению с мгновенной скоростью частицы . Угловой раствор этого конуса . Интегрирование по углам в формуле (1) приводит к известному [1-5] выражению для полной излученной мощности (2) Все рассматриваемое нами пространство излучения мы представим как сумму двух подпространств. Первое подпространство - внутренность кругового конуса, выходящего из начала координат, углового раствора с центральной осью, совпадающей со скоростью заряда (осью ). Второе подпространство - оставшаяся часть пространства с изъятым первым подпространством. Мощность излучения в первом подпространстве может быть получена из выражения (1) интегрированием по в пределах и интегрированием по в пределах , а во втором подпространстве - интегрированием по в пределах и интегрированием по в пределах . Существенно отметить, что величина (следовательно, больше нуля). Мощность излучения в первом подпространстве будем обозначать , а мощность излучения во втором подпространстве . Далее введем обозначения где - безразмерные функции. Из равенства и формулы (2) следует соотношение (3) Выражение (3) позволяет получить функцию , если известна функция . Для функции с помощью выражения (1) и после тривиального интегрирования по переменной получим следующее интегральное представление: (4) Интегрирование по переменной в выражении (4) не представляет труда, и окончательное выражение для имеет вид (5) где введено обозначение (6) Для производных по несложно получить формулы (7) где через обозначили (8) Свойства функций и Обсудим здесь простейшие свойства функции , определяемой выражениями (5) и (6). Поскольку, как уже было отмечено, величина (строго меньше единицы!), величина при допустимых параметрах является конечной и бесконечно дифференцируемой функцией по переменным и допускает непрерывный переход , причем . Как это следует из (5), при также имеем . Таким образом, рассматривая функцию как функцию на замкнутом отрезке при фиксированном , мы видим, что эта функция непрерывна (и бесконечно дифференцируема) на указанном отрезке и равна нулю на его концах. Несложно найти первые отличные от нуля члены на концах этого отрезка Очевидно, что во внутренней точке имеется максимум функции , который находится, согласно формулам (7) и (8), из уравнения (9) Таким образом, во второй части пространства при заданном существует верхний предел излучаемой мощности. Функция является монотонно растущей (до бесконечности при ) функцией при любом заданном . Следовательно, только определяет мощность SR в ультрарелятивистском пределе. Для иллюстрации приведем на рис. 2 графики функций и для некоторых значений . Поведение графиков подтверждает приведенные выше рассуждения. Из вида графиков можно сделать более детальные заключения о свойствах функций и . Так, например, максимум функции при уменьшении параметра увеличивается и смещается в правую сторону, приближаясь к точке = 1. График функции является монотонно возрастающим и выпуклым вниз, причем степень выпуклости вниз увеличивается при уменьшении . Для каждого фиксированного существует точка , в которой . При справедливо неравенство , а при имеем . Функция является монотонно убывающей функцией . Численные результаты расчетов функций и приведены в таблице, где для соответствующего в первой строке расположена функция , а во второй строке - функция . Рис. 2. Функции и Значения функций и 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 0.0066 0.0272 0.0642 0.1224 0.2113 0.3493 0.5765 0.9971 1.9856 4.9530 0.0001 0.0006 0.0018 0.0046 0.0109 0.0257 0.0641 0.1881 0.8565 20 0.0063 0.0257 0.0594 0.1104 0.1841 0.2892 0.4413 0.6676 1.0147 1.2476 0.0004 0.0021 0.0066 0.0166 0.0381 0.0858 0.1993 0.5176 1.8274 30 0.0059 0.0234 0.0528 0.0950 0.1516 0.2250 0.3177 0.4313 0.5477 0.5584 0.0008 0.0043 0.0131 0.0320 0.0706 0.1500 0.3228 0.7539 2.2944 40 0.0054 0.0209 0.0458 0.0797 0.1223 0.1730 0.2303 0.2882 0.3110 0.3145 0.0013 0.0069 0.0201 0.0473 0.1000 0.2020 0.4102 0.8970 2.5312 50 0.0049 0.0184 0.0393 0.0664 0.0986 0.1342 0.1700 0.1967 0.1824 0.1994 0.0019 0.0094 0.0267 0.0606 0.1236 0.2408 0.4705 0.9885 2.6597 60 0.0043 0.0160 0.0335 0.0553 0.0799 0.1049 0.1263 0.1352 0.1106 0.1353 0.0024 0.0117 0.0324 0.0716 0.1424 0.2701 0.5143 1.0500 2.7315 70 0.0038 0.0140 0.0286 0.0460 0.0646 0.0816 0.0934 0.0933 0.0693 0.0954 0.0029 0.0138 0.0374 0.0809 0.1577 0.2934 0.5471 1.0919 2.7728 80 0.0034 0.0120 0.0242 0.0380 0.0516 0.0629 0.0686 0.0646 0.0446 0.0688 0.0034 0.0157 0.0418 0.0890 0.1706 0.3121 0.5719 1.1206 2.7975 90 0.0029 0.0103 0.0201 0.0308 0.0406 0.0476 0.0498 0.0447 0.0293 0.0499 0.0038 0.0175 0.0458 0.0962 0.1816 0.3274 0.5907 1.1405 2.8128 100 0.0025 0.0085 0.0163 0.0243 0.0311 0.0354 0.0357 0.0308 0.0194 0.0361 0.0042 0.0192 0.0496 0.1026 0.1911 0.3396 0.6048 1.1544 2.8227 110 0.0021 0.0069 0.0129 0.0186 0.0232 0.0256 0.0251 0.0210 0.0128 0.0258 0.0047 0.0209 0.0531 0.1084 0.1991 0.3494 0.6155 1.1642 2.8293 120 0.0016 0.0053 0.0097 0.0137 0.0166 0.0178 0.0171 0.0140 0.0083 0.0179 0.0051 0.0225 0.0563 0.1133 0.2056 0.3572 0.6234 1.1712 2.8338 130 0.0012 0.0038 0.0068 0.0095 0.0112 0.0119 0.0111 0.0090 0.0053 0.0119 0.0055 0.0239 0.0591 0.1175 0.2110 0.3631 0.6294 1.1762 2.8369 140 0.0008 0.0025 0.0044 0.0060 0.0070 0.0073 0.0068 0.0054 0.0031 0.0073 0.0059 0.0252 0.0615 0.1210 0.2152 0.3677 0.6337 1.1798 2.8390 150 0.0005 0.0015 0.0025 0.0034 0.0039 0.0040 0.0037 0.0029 0.0017 0.0040 0.0063 0.0263 0.0634 0.1236 0.2183 0.3710 0.6369 1.1823 2.8405 160 0.0002 0.0007 0.0011 0.0015 0.0017 0.0017 0.0016 0.0012 0.0007 0.0018 0.0065 0.0271 0.0648 0.1255 0.2205 0.3733 0.6389 1.1839 2.8414 170 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 0.0002 0.0004 0.0067 0.0276 0.0657 0.1266 0.2218 0.3746 0.6401 1.1849 2.8419 Приведем также на рис. 3 график зависимости максимума функции как решения уравнения (9). Рис. 3. Зависимость от Заключение Основные результаты этой работы состоят в следующем. Пространство излучения разбиваем на два не пересекающиеся подпространства. Первое подпространство состоит из внутренности конуса, вершина которого находится в точке излучающего заряда, угловой раствор конуса равен , центральная ось конуса совпадает с направлением мгновенной скорости заряда. Второе подпространство является дополнением до полного пространства излучения. Вычисляем мощность SR как функцию скорости заряда при фиксированном угле для первого из подпространств и второго из подпространств . Для второго подпространства находим, что функция при малых скоростях возрастает с увеличением скорости заряда, достигает максимума , а затем убывает до нуля при = 1. Точка максимума является внутренней точкой отрезка , при увеличении величины и убывают. Подчеркнем еще раз, что в ультрарелятивистском пределе функция при любых обращается в нуль, что свидетельствует о концентрации мощности в ультрарелятивистском случае в первом подпространстве. Для первого подпространства поведение функции достаточно просто. При фиксированном это монотонно растущая функция , стремящаяся к бесконечности при = 1; при фиксированном это монотонно растущая функция . Выявленные в этой работе подробности пространственной структуры мгновенного распределения SR представляются нетривиальными и интересными. Можно дать и другую физическую интерпретацию полученного здесь результата. Рассматривая угловое распределение мгновенной мощности синхротронного излучения как функцию энергии излучающей частицы, мы знаем, что большая часть мощности с ростом энергии концентрируется в окрестности линии, параллельной мгновенной скорости заряда. Но эта концентрация сопровождается тем, что излучение по другим линиям с ростом энергии начинает убывать и обращается в нуль. В ультрарелятивистском пределе только растущая часть излучения (см. выражение (3)) определяет его характер. Возникает вопрос об экспериментальном подтверждении полученных результатов. Поскольку в ускорителях и накопителях электрон совершает вращение с высокой частотой , то наблюдать можно только средние по времени характеристики, изменяющие мгновенное распределение. Увидеть мгновенное распределение возможно, если разрешимость экспериментальных установок по времени будет (для современных ускорителей) порядка с, что уже в скором времени будет достижимо.

Скачать электронную версию публикации