On the construction of functional polynomials for solutions of integro-differential equations.pdf Дифференциальные, интегральные и интегродифференциальные уравнения используются как один из основных инструментов теоретических исследований физических явлений и процессов. Одним из элементов таких исследований является сравнение результатов теоретических расчетов с экспериментально измеряемыми величинами, которые представляются некоторыми функционалами от входящих в уравнение параметров, описывающих свойства среды или характер взаимодействия частиц и излучений со средой. Значительная часть сопоставления результатов теоретических расчетов с результатами экспериментальных наблюдений производится с целью получения информации о состоянии среды или характере взаимодействия частиц и излучений со средой, так называемая «обратная задача». При этом даже наличие аналитического решения уравнения, описывающего изучаемый процесс, не является прямым инструментом для решения обратной задачи, так как может не содержать, и в большинстве случаев не содержит явного вида зависимости функционала от параметров задачи. В ряде случаев получить приближенную оценку значения искомого параметра модели можно с использованием первого приближения теории возмущений, фактически линеаризующего зависимость решения, описывающего процесс, от искомого параметра. При этом область изменения искомого параметра, в которой изучаемая зависимость близка к линейной, может быть малой по сравнению с областью допускаемой неопределенности. Расширить область приближенного описания искомой зависимости можно путем увеличения количества базисных решений. При этом в отличие от традиционного первого приближения теории возмущений уже при двух базисных решениях можно построить полином третьей степени при сравнимых вычислительных затратах для решения тех же уравнений. Описание метода Линейное приближение зависимости показаний функционала от некоторого параметра, характеризующего взаимодействие частиц (излучений) со средой, можно построить при помощи параметрической чувствительности [1]. Запишем интегродифференциальное уравнение для искомой функции в операторной форме: . (1) Здесь - интегродифференциальный оператор; - некоторая известная функция от набора фазовых координат х, в задачах переноса являющаяся функцией источника;  - искомый параметр модели. Предположим, что нам известно решение уравнения (1) для некоторых значений параметра k. При фиксированных значениях фазовых координат х решение уравнения (1) можно рассматривать как функцию параметра . Для функции, значения которой известны в нескольких точках, можно построить интерполяционный полином. При двух базисных значениях полином будет первой степени. Другой способ построения полинома первой степени основан на использовании одного базисного решения и его производной по параметру. Обозначим производную по  как . Продифференцируем уравнение (1) по параметру : (2) Для решения уравнения (2) можно использовать те же алгоритмы и численные или аналитические методы, что и для уравнения (1). Вид правой части уравнения (2) определяется зависимостью оператора L от параметра  и собственно решением уравнения (1). В то же время при наличии значения функции и её производной в двух точках можно построить полином Эрмита третьей степени. Параметризация модели характера взаимодействия частиц и излучений со средой является распространенным подходом. Но во многих случаях вид параметризации является искусственным и неоднозначным. Более общим подходом будет в уравнении (1) вместо параметра  подставить некоторую функцию u(x), а решение уравнения (1) рассматривать как функционал от u(x). В этом случае в правой части уравнения (2) будет вместо обычной частной производной оператора L стоять вариационная производная в некоторой точке х1 [2]. (3) При наличии нескольких базисных решений уравнений (1) и (3) можно построить аналог полинома Эрмита для описания зависимости функционала Ф от u(x1). , (4) где , . (5) В том случае, когда значение функционала (4) совпадает с при любых значениях коэффициентов Ck. Данные коэффициенты, входящие в выражение (4), найдем, приравняв вариации функционала (4) интегралу от вариационной производной по x1. . (6) Умножим данное равенство на (u(x) - uj(x)) и проинтегрируем по x. Получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов Ck: . Одномерное уравнение диффузии Рассмотрим применение описываемого метода для интерполирования решений уравнения диффузии при варьировании различных параметров, включая порядок производной. Аномальная диффузия с дробной производной по времени Уравнение диффузии, содержащее дробную производную по времени имеет вид [3]: . (7) В уравнении (7) использована форма представления дробной производной Капуто [4]. В данном представлении порядок производной  может принимать значения от 0 до 1. При  = 1 уравнение (7) переходит в классическое уравнение диффузии, а при  = 0 - в уравнение Гемгольца. В обоих случаях известны обобщенные решения, которые могут быть использованы для получения решений с произвольным источником. Рассмотрим случай постоянного коэффициента диффузии D и степенного по времени источника S(t, x) = (x)t. Продифференцируем уравнение (7) по параметру , получим уравнение для параметрической производной: . (8) В качестве базисных выберем решения, соответствующие  = 0 и 1. Для  = 0 получим ; (9) , (10) где  = 0.57721566 - постоянная Эйлера. Решение данного уравнения получим как свертку функции Грина и правой части (10): . (11) Для  = 1 после ряда преобразований, связанных с раскрытием неопределенности в правой части (8), получим ; (12) . (13) Как и в предыдущем случае, решение уравнения (13) получим при помощи известной функции Грина для уравнения диффузии . Используя полученные выражения для решений уравнения (7) при  = 0 и 1, а также значения производных при этих же значениях параметра, построим интерполяционный полином Эрмита для промежуточных значений . Для проверки точности представления решения уравнения (7) полиномом Эрмита получим точное решение. Выполним преобразование Лапласа уравнения (7) по переменной t: . (14) Для обратного преобразования воспользуемся свойством контурного интеграла Ханкеля: . С учетом данного соотношения обратное преобразование Лапласа для выражения (14) примет вид . (15) На рис. 1 приведены результаты расчетов по формуле (15) и представление полиномом Эрмита по двум базисным решениям. Расчеты проводились для  = 1.5, D = 1, x = 1 и разных значений t. Из данных рис. 1 видно, что для всех промежуточных значений  точность представления решения полиномом Эрмита третьей степени очень хорошая. Подчеркнем, что в качестве базисных выбраны решения, соответствующие целочисленным значениям производных. Рис. 1. Зависимость решения уравнения (7) от µ: кружки - полином Эрмита, линии - точное решение для разных значений t: кр. 1 - t = 40, кр. 2 - t = 30, кр. 3 - t = 20, кр. 4 - t = 10 Функциональные вариации коэффициента диффузии Применим интерполяционную формулу (4) для описания зависимости решения уравнения диффузии от функциональных вариаций коэффициента диффузии. Запишем вариационную производную для уравнения (7) при целочисленной производной по времени: . (16) Рассмотрим случай мгновенного точечного источника, то есть S(t, x) = (x)(t). В качестве базисных выберем решения, соответствующие постоянным значениям коэффициента диффузии Dk: . (17) Аналогичный вид имеет и функция Грина для уравнения (16), которой воспользуемся для вычисления функциональной производной : . (18) В том случае, когда вариации коэффициента диффузии D не зависят от координаты, вариация искомого функционала (решения уравнения (7)) будет пропорциональна интегралу от (18) по x1: . (19) В правой части выражения (19) отсутствует переменная t1. Из этого следует, что вариации функционала зависят от равномерно усредненной по времени вариации коэффициента диффузии. Легко убедиться, что интеграл вариационной производной (19) по t1 от 0 до t совпадает с параметрической производной (17) по Dk. На рис. 2 приведены результаты аппроксимации решения уравнения диффузии функциональным полиномом Эрмита для случая, когда коэффициент диффузии зависит только от времени. Сплошной линией на рисунках представлен результат, полученный путем решения уравнения разностным методом для D(t) = 5+0.3t. В качестве базисных выбраны решения, соответствующие D1 = 4 и D2 = 15. Эти результаты представлены на рис. 2 пунктирной линией и точками. Полиному Эрмита соответствуют кружки. Анализ данных, представленных на рис. 1 и 2 позволяет сделать предположение о приемлемой точности описываемого метода даже в том случае, когда базисные решения отличаются в несколько раз. Заметим, что независимость функциональной производной (19) от точки варьирования t1, как и в случае параметрической производной, позволяет нам воспользоваться стандартными формулами оценки погрешности полиномиальной интерполяции. При варьировании коэффициента диффузии по пространственной переменной функциональная производная (18) зависит от точки варьирования x1. В этом случае значения интерполяционного полинома (4) будут определяться не равномерно усредненными вариациями коэффициента диффузии, а усреднением с весом, определяемым функцией чувствительности (18). На рис. 3 приведены результаты расчета погрешности полинома (4) при вычислении решения уравнения диффузии с коэффициентом D(x) = 5+x2. В качестве базисных были выбраны три решения, соответствующих постоянному коэффициенту диффузии. Рис. 2. Сравнение вариационного полинома Эрмита (кружки) с точным решением (сплошная линия). Точки и пунктир - использованные базисные решения Рис. 3. Относительная погрешность вариационного полинома Эрмита для уравнения диффузии для разных x при t = 40, D1 = 3, D2 = 20 и D3 = 12 В отличие от данных, представленных на рис. 2, относительная погрешность интерполяции при пространственном варьировании коэффициента диффузии сильно зависит от координаты. При заданных вариациях коэффициента диффузии для увеличения точности интерполяционного представления необходимо добавлять промежуточные базисные решения. Интегральное уравнение Вольтерры II рода Применим рассматриваемый метод для построения приближенного решения интегрального уравнения Вольтерры II рода. Примером такой задачи может быть нахождение равновесного энергетического спектра частиц. Уравнение, которому удовлетворяет дифференциальный энергетический спектр частиц от моноэнергетического источника, имеет вид , (20) где (E) - сечение взаимодействия частиц, W(E , E) - число частиц энергии E, рождающихся при взаимодействии частицы энергии E . Рассмотрим модельную задачу, когда . (21) Перейдем к безразмерным переменным  = E/E0, () = E0Ф(E)(E), (x) = W(E , E)E . В этом случае уравнение для примет вид . (22) Решение уравнения (22) легко получить при помощи преобразования Меллина . (23) Выражение (23) при различных значениях  и k будем использовать как базисные для построения приближенного решения, соответствующего некоторому возмущенному виду функции (x). Для построения функционального полинома Эрмита кроме базисных решений (23) нам потребуются их вариационные производные : (24) Будем полагать, что нам известны решения (23) для  = 1 и  = 2. Требуется найти приближенное решение, соответствующее  = . Выражение (24) может быть использовано для получения первого приближения теории возмущений . (25) В данном выражении индекс m соответствует номеру базисного решения, на основе которого строится приближение. Воспользуемся также интегральным слагаемым из выражения (25) для вычисления коэффициентов Ck, входящих в интерполяционный полином Эрмита. На рис. 4 приведены результаты расчетов по формуле (4) с использованием выражения (24) при построении функционального полинома Эрмита. В качестве базисных выбраны решения, соответствующие  = 1 и 3, k = 0.65. Точному решению соответствует значение  = 2, k = 0.65. Из данных рис. 4 видно, что функциональный аналог полинома Эрмита позволяет получить хорошую оценку решения при различии базисных решений более чем на два порядка. Рис. 4. Решение уравнения (22): сплошная линия - точное значение; пунктир и точки - базисные решения; кружки - расчет по формуле (4) Заключение Рассмотренные в работе модельные задачи демонстрируют возможность широкого применения метода функционального интерполирования решений интегральных и дифференциальных уравнений, включая уравнения, содержащие производные дробного порядка. Полезно также отметить, что представление приближенного решения в виде полинома сводит обратную задачу определения параметров модели к решению алгебраического уравнения.

Скачать электронную версию публикации