О свойствах стационарных распределений гравитационных вихревых полей и сплошных сред
В рамках ОТО рассматриваются свойства равновесных конфигураций самогравитирующей идеальной жидкости с баротропным уравнением состояния и вихревых физических полей. В качестве вихревого поля используется вихревое гравитационное поле, являющееся вихревой составляющей полного гравитационного поля. Показывается, что при надлежащем выборе определяющих параметров системы благодаря действию вихревого поля получаются решения уравнений Эйнштейна, описывающие геометрию пространства-времени «кротовых нор», среди которых есть «кротовые норы» с плоской асимптотикой.
On the properties of stationary distributions of gravitational vortex fields and continuous media.pdf В данной работе рассматриваются особенности в свойствах совместных стационарных распределений самогравитирующих вихревых физических полей и сплошных сред. В качестве одной из них мы выбираем идеальную жидкость с баротропным уравнением состояния , , . Вихревыми физическими полями являются, например, азимутальные магнитные и электрические поля, дираковское спинорное поле с поляризованным спином, поле скоростей вращающейся сплошной среды и, наконец, вихревое гравитационное поле [1], являющееся вихревой составляющей полного гравитационного поля. Свойства вихревого гравитационного поля и его возможную роль в астрофизике и космологии мы рассматривали ранее в работах [1, 2]. Главная, на наш взгляд, примечательная особенность вихревого гравитационного поля заключается в том, что оно может приводить к образованию «кротовых нор» - замечательных астрофизических объектов, теоретически предсказываемых в рамках ОТО без использования материи с очень экзотическими свойствами, например с отрицательным кинетическим членом в тензоре энергии-импульса или же с нарушением слабого энергетического условия ( ). Материю с такими свойствами очень трудно, а может быть и вообще невозможно найти или получить. Вихревые поля найти или получить совсем нетрудно. Например, источником стационарного азимутального магнитного поля является, как известно, постоянный прямолинейный электрический ток. Источником вихревого гравитационного поля, как показано нами в [2], может являться быстро вращающаяся сплошная среда, например, идеальная жидкость, а также дираковское спинорное поле с поляризованным спином. Может существовать также «apriori» вихревое гравитационное поле с образованной им «кротовой норой», получающееся теоретически как решение стационарных вакуумных уравнений Эйнштейна ( ) в пространстве-времени определённого типа [3]. Для образования «кротовых нор» с помощью вихревых полей необходимо, чтобы они были достаточно интенсивными, чтобы их тензор энергии-импульса мог оказывать существенное влияние на свойства пространства-времени. «Кротовые норы» представляют собой своеобразные тоннели в пространстве-времени, соединяющие между собой удалённые области нашей Вселенной или даже параллельные Вселенные, что даёт возможность в будущем совершать далёкие космические рейсы за сравнительно короткие времена. Их также можно использовать для создания машины времени. В некоторых случаях «кротовые норы» могут имитировать «чёрные дыры». Возможно организовать и многие другие интересные физические эффекты с использованием «кротовых нор». Например, если в «кротовую нору», соединяющую две параллельные Вселенные, вдвинуть магнит так, чтобы один из двух полюсов магнита находился на выходе из «кротовой норы» в одной Вселенной, а второй полюс на выходе в другой Вселенной, то в каждой Вселенной будет наблюдаться магнитный монополь. Таким образом, исследования в проблематике «кротовых нор» могут привести к открытию новых физических явлений и эффектов. Поэтому исследования в области физики «кротовых нор» по-прежнему остаются очень актуальными. Об этом свидетельствует большое количество публикаций по этой теме, которые продолжают выходить как в России, так и за рубежом. Разработкой темы «кротовых нор» занимаются и в Российской академии наук (РАН) [4, 5]. В своих прежних работах и в настоящей работе для получения геометрии пространства-времени «кротовых нор» мы используем вихревые физические поля, причём здесь мы рассматриваем вихревые поля совместно со сплошной средой в виде самогравитирующей идеальной жидкости. Это обусловлено тем, что в реальности в астрофизике и космологии вихревые физические поля чаще всего действуют совместно с указанной сплошной средой. Например, магнитные поля обычных звёзд, пульсаров, магнетаров, ядер галактик возникают в глубинах их вещества, имеющих консистенцию жидкости. То же самое можно сказать и о вихревом гравитационном поле, порождаемом очень быстрым вращением массивных астрофизических объектов. Такие массивные астрофизические объекты, включая и ядра галактик, должны иметь большую плотность вещества с уравнением состояния, близким к предельному: . В очень ранней Вселенной на самой ранней инфляционной стадии её эволюции вещество находилось в вакуумно-подобном состоянии, соответствующем идеальной жидкости с уравнением состояния . Ранняя Вселенная могла тогда быстро вращаться, порождая вихревое гравитационное поле. Поэтому актуально рассматривать вихревые физические поля, магнитные и гравитационные, совместно с самогравитирующей идеальной жидкостью. В данной работе мы это сделаем при уравнениях состояния: и . Рассмотрим сначала одно вихревое гравитационное поле с идеальной жидкостью. Вихревое гравитационное поле совместно с анизотропной жидкостью рассматривалось в работе [6]. Поскольку в качестве одного из вихревых полей мы используем стационарное вихревое гравитационное поле, то простейшим типом стационарного пространства, совместимого с указанными полями, является стационарное цилиндрически симметричное пространство, описываемое метрикой . (1) Здесь метрические коэффициенты A, B, C, D, E являются функциями от радиальной координаты x = x1; c - скорость света в вакууме. Линейный элемент трёхмерного пространственного сечения имеет вид . (2) Вихревое гравитационное поле определяется 4-мерным ротором поля тетрады , касательной данному псевдоримановому пространству: . (3) С кинематической точки зрения вектор представляет собой угловую скорость вращения тетрадного поля. Здесь буквами середины латинского алфавита i, k, l, m обозначены мировые голономные индексы, а буквами начала алфавита в скобках - локальные лоренцевские индексы: (a), (b), (c), … Плотность потока момента импульса вихревого гравитационного поля определяется формулой , где - гравитационная постоянная Эйнштейна. В стационарном пространстве с метрикой (1) вектор направлен вдоль оси OZ и с использованием формулы (3) определяется выражением , (4) а абсолютное значение модуля этого вектора будет иметь вид . (5) Рассмотрим в этом пространстве (1) сначала вращающуюся идеальную самогравитирующую жидкость и выберем для неё сопутствующую систему отсчёта, в которой 4-скорость жидкости, нормированная на единицу (uiui = -1), будет иметь вид и совпадать с времениподобным вектором вращающейся тетрады данного пространства, определяющей вращающуюся систему отсчёта, так что угловая скорость жидкости будет совпадать с угловой скоростью вращения тетрады . Далее решаем совместную систему уравнений Эйнштейна для гравитационного поля и самогравитирующей идеальной жидкости в пространстве-времени с метрикой (1), где, как мы показали выше, может присутствовать вихревое гравитационное поле. Систему уравнений Эйнштейна выбираем в форме . (6) Здесь - тензор энергии-импульса идеальной жидкости. Его ковариантные компоненты для случая сигнатуры метрики ( ) будут равны . (7) Для удобства метрические коэффициенты A, B, C, D, E возьмём в экспоненциальной форме: , , , , тогда уравнения гравитационного поля (6) с метрикой пространства-времени (1) запишем как (8) Здесь мы сделали переобозначения: , . Следствием этих уравнений, как известно, является локальный закон сохранения энергии, который в данном случае имеет вид . (9) В правых частях уравнений системы (8) с множителем ( ) стоят компоненты тензора энергии-импульса вихревого гравитационного поля . Для вихревого гравитационного поля этот тензор определяется вполне корректно [2, 3] в отличие от случая общего гравитационного поля. Все компоненты пропорциональны , и он удовлетворяет локальному закону сохранения энергии . В нашем случае это уравнение легко интегрируется и в результате получается формула для угловой скорости . Мы будем рассматривать два случая уравнения состояния для идеальной жидкости: вакуумно-подобное ( ) и предельное ( ). Случай пылевидной материи, когда , рассматривался нами ранее [2]. Первое из них характерно для инфлатонного поля в самой ранней Вселенной, а второе, как говорилось выше, для кварк-глюонной плазмы также в очень ранней Вселенной после фазового перехода и рождения сверхтяжёлых частиц. Кроме того, предельное уравнение состояния, возможно, характерно для вещества сверхплотных астрофизических объектов типа нейтронных звёзд (пульсаров) большой массы, в 2-3 раза больше массы Солнца, а может и ядер галактик. Сначала используем уравнение состояния . В этом случае из уравнения (9) получим, что , . (10) В результате при гармоническом координатном условии система уравнений (8) запишется в виде (11) Эта система уравнений имеет 1-й интеграл: , . (12) Теперь, переобозначая переменные , , (13) систему уравнений (11) приведём к системе уравнений относительно только двух переменных и : (14) Из последних двух уравнений системы (14) получаем ещё два первых интеграла , . (15) Здесь , , а - знаковая функция: при , при , при . Подставляя формулы (15) в первое уравнение системы (14) - уравнение 1-го порядка, получаем условие на константы интегрирования , , : . (16) Интегрируя далее уравнения (15), получаем решение для функций и : (17) После этого, используя соотношения (12), (13), получаем окончательные формулы для метрических коэффициентов , , , , причём в трёх вариантах: для , , . 1) : (18) при условии на константы: . (19) Расчёты показывают, что решение (18) при соблюдении условия на константы (19) никаким подбором этих констант ( ) не может описывать геометрию «кротовой норы». Здесь пространственная бесконечность ( ) получается при , а ось симметрии при . 2) : (20) при условии на константы: . Это решение также не может описывать геометрию «кротовой норы» и ведёт себя вполне аналогично случаю . 3) : (21) Здесь угловой метрический коэффициент на двух концах интервалов , и т.д. стремится к бесконечности, что соответствует двум пространственным бесконечностям, внутри интервалов везде больше нуля и в нуль не обращается, а это соответствует геометрии «кротовой норы». Следовательно, можно сделать вывод, что самогравитирующая вращающаяся идеальная жидкость с вакуумным уравнением состояния индуцирует возникновение вихревого гравитационного поля, что, в свою очередь, приводит при надлежащем выборе параметров системы к образованию геометрии пространства-времени «кротовой норы». Здесь нужно заметить, что на обоих концах интервала существования «кротовой норы» метрический коэффициент стремится к нулю, т.е. в асимптотике возникает особенность в геометрии пространства-времени. Поэтому для более лучшего понимания физических свойств получившегося пространства-времени рассмотрим гравитационную силу , действующую в нём на пробную частицу. Для покоящейся частицы определяется формулой . (22) В рассматриваемом случае для получаем выражение . (23) Здесь - единичный направляющий вектор оси радиальной координаты . Из этой формулы видно, что на правом устье получившейся «кротовой норы» при действует бесконечно большая сила притяжения внутрь «кротовой норы», а на левом при - бесконечно большая сила наружу, т.е. очень большая антигравитационная сила. Теперь рассмотрим аналогичную ситуацию, но при другом уравнении состояния - предельном, когда . Такое состояние вещества могло быть в очень ранней Вселенной вскоре после 1-го фазового перехода, когда во Вселенной рождались тяжёлые частицы, а также в настоящее время в глубинных слоях быстро вращающихся нейтронных звёзд (пульсаров) большой массы, более двух-трёх масс Солнца, и в ядрах галактик, которые тоже могут очень быстро вращаться. Соответствующая система уравнений Эйнштейна, следующая из общей системы уравнений (8), с использованием решения уравнения для локального закона сохранения энергии (9) при (24) будет иметь вид (25) Здесь видно, что правые части уравнений (25.1) и (25.3) с точностью до множителя 2 совпадают, поэтому уравнение (25.1) можно записать в виде . (26) Получившееся уравнение (26) имеет частное решение: . (27) В результате второе уравнение системы (25) для функции представляется в виде . (28) Получилось уравнение Лиувилля. Первый интеграл этого уравнения имеет, как известно, вид , (29) где , , в зависимости от знака соответственно , , , поэтому получаем три типа решения: (30) Третий тип решения в (30) в интервалах изменения , и т.д. описывает геометрию пространства-времени «кротовой норы», так как угловой метрический коэффициент в указанных интервалах везде положителен и в нуль не обращается (напомним, что точка, где , лежит на оси симметрии), а на обоих концах любого из интервалов стремится к бесконечности, что соответствует пространственным бесконечностям. Из формулы для давления получается, что , т.е. давление и плотность энергии постоянны. И угловая скорость постоянна, что также следует из формулы для угловой скорости ( ). Из третьего уравнения системы (25) получаем соотношение между угловой скоростью и плотностью энергии , необходимое для существования полученного решения . (31) Здесь напоминаем, что с самого начала мы ввели константу в обозначения для давления и плотности энергии : ; . Далее координатным преобразованием ( ) мы можем коэффициент обратить в единицу, а границы интервала существования данного решения раздвинуть в бесконечность. В результате метрика пространства-времени полученной «кротовой норы» примет более простой и симметричный вид ( ). (32) Здесь радиус горловины «кротовой норы», т.е. её самого узкого места, , и она находится в точке . Из (32) видно, что полученная «кротовая нора» является асимптотически плоской, образована без всякой экзотической материи, лишь вращающейся идеальной жидкостью, индуцирующей появление вихревого гравитационного поля, которое, в свою очередь, и приводит к появлению «кротовой норы». Следует особо подчеркнуть, что приведённый здесь пример эффекта образования «кротовой норы» возможен лишь для объектов большой массы, чтобы их гравитационное поле смогло уравновесить центробежные силы и удержать объект от разрушения, и большой плотности, чтобы выполнялось предельное уравнение состояния . Выше мы привели очень примечательное, но частное решение системы гравитационных уравнений (25), а ниже мы приведём общее решение этой системы уравнений. Далее, поскольку уравнение (25.4) показывает, что , то можно полагать, что и . Но функцию , уже не равную нулю, как в предыдущем частном решении, определим из системы (25). С учётом этого, вычитая из 1-го уравнения системы (25) третье, делённое на два, получим уравнение . (33) Частное решение этого уравнения есть , которое мы уже использовали выше, и получили в результате геометрию пространства-времени «кротовой норы» (32) с плоской асимптотикой. Далее, интегрируя уравнение (33) при , получаем выражение для метрического коэффициента , , . (34) Подставляя это соотношение в 3-е уравнение системы (25), для функции получаем . (35) Это уравнение также легко интегрируется: . (36) Теперь, подставляя в (34) полученную формулу для , найдём выражение для как функцию : . (37) Получившееся уравнение 1-го порядка (36) для решается в квадратурах ( ). (38) Простой анализ показывает, что когда коэффициент , выражение в формуле (37) всегда положительно при всех возможных значениях от до , и поэтому, как видно из (37), метрический коэффициент всегда положителен и нигде не обращается в нуль. Кроме того, второе уравнение системы (25) для функции показывает, что вторая производная от этой функции также всегда положительна. Но эти два фактора ( и ) являются достаточными для образования пространства-времени «кротовой норы». Таким образом, формулы (37), (38) при условии , причём (38) имеет форму квадратуры для функции , описывают решение с «кротовой норой». Кроме того, из формулы (36) для следует, что при том же условии ( ) всегда положительна, а - возрастающая функция во всей области существования решения. Это решение в явном виде с использованием компьютера при вычислении квадратуры (38) для функции и последующего представления метрического коэффициента как функции от радиальной координаты представлено ниже на рис. 1. Рис. 1. Графики частных решений уравнения (36) и функции (37) при граничных условиях: ---, и Эти графики получены при значении характеристического параметра , что удовлетворяет условию существования решения с геометрией пространства-времени «кротовой норы» ( ). Они показывают, что решение существует в полубесконечном интервале ( ), и во всём этом интервале метрический угловой коэффициент нигде не обращается в нуль в соответствии с аналитическим исследованием, а на концах этого интервала , что соответствует двум пространственным бесконечностям на этих концах. Это соответствует существованию геометрии пространства-времени «кротовой норы». Компьютерное исследование также подтвердило аналитически полученный результат о том, что есть всюду возрастающая функция. Кроме того, показано, что при превышении определённого порогового значения величины функция изменяется от до . Причём при и при асимптотически, где есть левый край интервала существования решения ( ). Таким образом, мы рассмотрели свойства равновесных конфигураций вращающейся самогравитирующей идеальной жидкости при различных уравнениях состояния в рамках эйнштейновской теории гравитации (ОТО) и показали, что быстро вращающиеся и достаточно массивные, чтобы гравитационные и центробежные силы уравновешивались, конфигурации идеальной жидкости, вследствие возникающего при вращении вихревого гравитационного поля, могут при надлежащем выборе определяющих параметров самогравитирующей конфигурации (плотности энергии , угловой скорости вращения и др.) образовывать «кротовые норы». Для этого необходимо, чтобы плотность энергии материи и плотность энергии вихревого гравитационного поля были сопоставимы, т.е. чтобы их отношение было сопоставимо с единицей. В частности, в решении с асимптотически плоской «кротовой норой» при уравнении состояния отношение равно единице ( ), а плотность энергии материи и давление получаются при этом одинаковые по всему распределению идеальной жидкости.
Скачать электронную версию публикации
Загружен, раз: 81
Ключевые слова
гравитация, вихревые физические поля, «кротовые норы», сплошные среды, gravitation, vortex physical fields, wormholes, continuous mediaАвторы
ФИО | Организация | Дополнительно | |
Кречет Владимир Георгиевич | Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» | д.ф.-м.н., профессор, профессор каф. физики МГТУ «СТАНКИН» | |
Ошурко Вадим Борисович | Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»; Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН | д.ф.-м.н., доцент, зав. каф. физики МГТУ «СТАНКИН», ведущ. науч. сотр. ИОФ РАН | vbo08@yandex.ru |
Байдин Алексей Эдуардович | Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» | к.ф.-м.н., доцент каф. физики МГТУ «СТАНКИН» | al.baidin@yandex.ru |
Ссылки
Кречет В.Г. // Изв. вузов. Физика. - 2007. - Т. 50. - № 10. - С. 57-60.
Krechet V.G. and Sadovnikov D.V. // Grav. Cosmol. - 2007. - V. 13. - No. 4. - P. 269-272.
Bronnikov K.A., Krechet V.G., and Lemos J.P.S. // Phys. Rev. D. - 2013. - V. 87. - No. 8. - P. 084060.
Рубаков В.А. // ТМФ. - 2016. - Т. 188. - № 2. - С. 337-342.
Новиков И.Д., Шацкий А.А. // ЖЭТФ. - 2012. - Т. 141. - Вып. 5. - С. 919-923.
Bronnikov K.A. and Krechet V.G. // Int. J. Mod. Phys. A. - 2016. - V. 31. - No. 2-3. - P. 1641022.