Two-parametric entropies in the extended parastatistics of non-extensive systems.pdf Введение Диапазон исследований неэкстенсивной статистической механики расширяется. Прежде всего внимание уделяется статистическим принципам неэкстенсивных систем и многим результатам прикладного характера [1-4]. Фундаментом являются параметрические энтропии как в классической, так и в квантовой теориях. Однако вопросы парастатистики неэкстенсивных систем, основанные на методе Бозе [5], не затрагиваются. Поэтому в работах [6-9] были получены квантовые меры энтропии и информации различия и исследованы спонтанные и вынужденные переходы в процессах самораспада и самоорганизации систем. Изучена группа энтропий и ее представления и другие вопросы. Приводится расширение традиционной парастатистики [10], при котором число частиц в -состоянии находится в произвольном диапазоне изменений. Цель настоящей работы -подробное изучение свойств энтропий в такой расширенной парастатистике и введение семейств новых двухпараметрических квантовых энтропий неэкстенсивных систем. 1. Полунорма и энтропия Согласно методу квантовых состояний Бозе [5], рассмотрим совокупность частиц с состояниями , где - число состояний. В расширенной парастатистике система описывается статистикой состояний с и число частиц в -состоянии ограничено снизу числом и сверху числом . При имеет место традиционная парастатистика [10], в которой и соответствуют статистикам Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна. В методе Бозе для традиционной парастатистики справедливы исходные равенства с нормированным распределением ; (1) (2) и соответственно среднее число частиц в -состоянии запишется так: . (3) Из определения статистического веса для статистики состояний вытекает аддитивная логарифмическая мера для энтропии с ограниченным числом для энтропии Бозе [5] . (4) Для замкнутой системы в равновесном состоянии следует известное распределение для среднего числа частиц [10] , (5) где - температура; - энергия частиц в -состоянии; - химический потенциал. В методе Бозе для расширенной парастатистики с произвольным числом получим следующее распределение [9]: , (6) которое при дает формулу (5). Для неэкстенсивных систем имеют место обобщения соотношений (1) - (3) в виде [6] ; (7) (8) с однопараметрической энтропией . (9) Среднее взвешенное значение энтропии является функцией полунормы распределения ; (10) . (11) Для независимых систем запишем полунормы в виде (12) с , и свойством мультипликативности . Используя (12), получим закон композиции энтропий с квадратичной нелинейностью . (13) Итак, справедливо свойство мультипликативности и коммутативности . Выполняется свойство ассоциативности . Единичным элементом абелевой группы полунорм является . Обратным элементом является . Для полунорм допустимо при . Этим свойством невырожденности полунорма с отличается от нормы с . При логарифмировании полунормы (11) со знаком минус следует квантовый аналог энтропии Реньи [11] в расширенной парастатистике . (14) 2. Двухпараметрическая энтропия Рассмотрим общий случай закона композиции группы энтропий с квадратичной нелинейностью [12] (15) и произвольным значением и . Дифференцируем логарифм нормы распределения (11) и с учетом (15) для средних взвешенных значений энтропии получим исходное уравнение , (16) имеющее одинаковую форму для всех рассматриваемых независимых систем. Здесь есть постоянная, которая может зависеть от и . При интегрировании примем для первого типа, когда трехчлен имеет вещественные корни при дискриминанте . Тогда используем разложение трехчлена на множители и получим решение . (17) Имеем семейство параметрических гиперболических мер энтропии. Если для второго типа, то трехчлен имеет комплексные корни при дискриминанте и . При интегрировании находим решение . (18) Имеем семейство параметрических эллиптических мер. Случай, когда трехчлен, равный , имеет два вещественных и одинаковых корня при дискриминанте и , приводит к решению для третьего типа . (19) Имеет место семейство параболических мер, которое не будем подробно исследовать, а остановимся далее только на первых двух типах. Также рассмотрим случай для , когда трехчлен вырождается в двучлен . Тогда из (16) вытекает уравнение . (20) Решением уравнения (20) является выражение энтропии с двумя постоянными . (21) При и из (21) вытекает однопараметрическая энтропия (10), а при и получим двухпараметрическую энтропию , (22) зависящую от и . Из (22) следует закон композиции энтропий с квадратичной нелинейностью , (23) где , и . Энтропия (22) является естественным обобщением на случай парастатистики двухпараметрической энтропии Шарма - Миттала , которая была введена в работе [13] для неэкстенсивных систем. При она совпадает с энтропией Больцмана - Гиббса. Из общего выражения энтропии (22) вытекают следующие квантовые однопараметрические энтропии: ; (24) ; (25) ; (26) . (27) Здесь (24) есть квантовый аналог энтропии Реньи (14) в парастатистике, (27) - энтропия Бозе с ограниченным интервалом для , (25) - новая однопараметрическая энтропия и (26) совпадает с энтропией (10). Если , и , то из (21) получим следующую меру: , (28) которая является квантовым аналогом энтропии Аримото , введенной в работе [14] для неэкстенсивных систем. 3. Двухпараметрические тригонометрические энтропии Рассмотрим первый тип с для которого энтропия дается выражением (17). Энтропия ограничена в пределах (29) и закон композиции запишется так: . (30) Параметры и являются инвариантами в законе композиции , , но не являются элементами группы энтропии. При , и, следовательно, , получим двухпараметрическую тригонометрическую энтропию . (31) Закон композиции (30) примет вид . (32) Из (31) следуют некоторые квантовые однопараметрические энтропии ; (33) ; (34) ; (35) . (36) Если , и , то из (31) получим следующую энтропию: (37) в добавление к значению (28). Теперь рассмотрим второй тип с , когда трехчлен запишется так: (38) с , и . Закон композиции имеет вид , (39) где параметры и не являются инвариантами и элементами группы энтропий. В частном случае при и получим двухпараметрическую тригонометрическую энтропию (40) с законом композиции . (41) Из (40) вытекают однопараметрические энтропии. Так, при получим квантовый аналог энтропии Реньи (14), а если , имеет место энтропия (4). Отметим еще некоторые меры ; (42) ; (43) . (44) Энтропия (43) находится при . Наконец при получим аддитивный закон композиции , (45) а решением (16) является энтропия . (46) При получим квантовый аналог энтропии Реньи в расширенной парастатистике (14). Аналогично вычисляются энтропии при других значениях и . Для различных физических задач используется та или иная энтропия. Заключение Приводятся выражения параметрических энтропий при общем нелинейном законе композиции энтропий на случай квантовых неэкстенсивных систем в расширенной парастатистике. Представлен вывод семейств новых двухпараметрических энтропий, в частных случаях из них вытекают известные и новые однопараметрические энтропии.

Скачать электронную версию публикации