On spatial transformations of atoms.pdf Введение В последнее время в литературе проводятся интенсивные теоретические исследования по вопросу существования и свойств атомов с пространственно-одномерными и двумерными электронными структурами, т.е. атомов в пространствах с размерностью (см. по этому поводу работы одного из авторов [1-4] и цитированную в них литературу). Не в последнюю очередь это объясняется успешными экспериментами по получению таких атомов [5-8], которые при наличии подходящей экспериментальной ситуации (например, с помощью «протяженных» или «плоских» «ловушек») образуются одновременно «в парах» с «обычными трехмерными атомами». В связи с этим возникает естественный вопрос о возможности одновременного существования всех трех пространственных конфигураций атомов. В работе одного из авторов [9] уже высказывались соображения по этому поводу, однако отчасти они были неполными (см. п. 2). В данной работе мы предпринимаем попытку ликвидации этого пробела в развиваемой теории. 1. Общие вероятностные соотношения Для полноты изложения в этом пункте мы с некоторой модификацией частично повторяем рассуждения работы [9]. Одновременное существование всех трех ( ) пространственных конфигураций (размерностей) системы одинаковых атомов, как и в случае двух, согласно основным принципам квантовой механики [10], предполагает наличие определенной вероятности перехода атома из одной пространственной конфигурации в другую. Обозначая вероятность перехода атома из состояния с пространственной размерностью в состояние с размерностью посредством , имеем, очевидно, для среднего числа атомов в состоянии в выражении через средние числа атомов в состояниях : , (1) причем ; ; , а соотношение (1), вообще говоря, справедливо для равновесного состояния системы атомов, когда их средние числа не меняются. Факторы , с учетом вклада «промежуточных переходов» с вероятностями , (1а) , (1б) не меняющих «начальное» (или ) состояние и с «промежуточными» (или ), имеют вид , (2а) , (2б) . (2в) Первое слагаемое в (2а) соответствует «простому» переходу без «промежуточных состояний» с введенной выше вероятностью , второе, , учитывает как суммарный вклад «промежуточных состояний , » по отдельности (это первое и второе слагаемое в (2б)), так и суммарный вклад всех возможных «смешанных промежуточных состояний» типов , (третье слагаемое в (2б)). При этом всем возможным «промежуточным состояниям» соответствует вероятность меньше, естественно, единицы (см. также п. 2). Аналогичный комментарий имеет место относительно вида . Эти суммарные вклады в (2б) получаются в результате суммирования геометрической прогрессии . (3) Вид же выражений (1а), (2б) следует из общеизвестных теорем о сложении и умножении вероятностей. Для значений индекса уравнение (1) приобретает вид системы трех уравнений: , (4a) , (4б) , (4в) с коэффициентами вида , , (5) для первых и вторых слагаемых в (4а) - (4в) соответственно или при конкретных значениях индексов: , ; (6а) , ; (6б) , . (6в) Далее следует также учесть, что общее число атомов не меняется const. (7) Решение системы (4а) - (4в) с учетом (7) при различных комбинациях уравнений приводит к результатам (см. также [9] с изменением обозначений коэффициентов): (8a) («подсистема» (4а), (4б)); (8б) («подсистема» (4а), (4в)). Выражения получаются из (8a), (8б) перестановкой индексов . Из соответствующих «подсистем» и опять с использованием (7) можно найти значения : , (9a) . (9б) Приравнивая выражения (8а), (8б), получаем после преобразований уравнение, связывающее эти коэффициенты (5): (10) . Приравнивание соответствующих выражений для последующих целей (п. 2) ничего нового не дает - получается либо то же самое уравнение (15б), либо тривиальное тождество. 2. Определение максимального значения и минимального , Из-за сложности и громоздкого вида полученных уравнений их анализ в общем случае оказался для нас затруднительным. Поэтому далее ограничимся наиболее вероятной экспериментальной ситуацией «в нашем» трехмерном пространстве с доминированием «трехмерной фазы» , когда с учетом симметрии уравнений при перестановке должны выполняться соотношения , (11a) . (11б) При этих условиях, очевидно, значения будут минимально возможными, а - максимально возможными, как и должно быть из соображений здравого смысла при проведении экспериментов в реальном трехмерном пространстве. Введем также обозначение . (11в) В этих обозначениях вид коэффициентов (6а) - (6в) получается таким (см. также [9] с учетом упомянутого выше изменения обозначения этих коэффициентов): , , ; (12) , . (13) Выражения , получаются из (8б), (9б), (12) и в этих же обозначениях имеют вид , (14а) . (14б) Заметим, что из (14а), (14б) вытекает следующая общая связь между числами атомов: , (14в) которая справедлива во всех рассмотренных ниже случаях. При подстановке (14а), (14б) в соотношение (7) после простых преобразований получается уравнение . (15а) Уравнение же (10) в этих обозначениях принимает следующий характерный вид: . (15б) Уравнения (15а), (15б) с учетом (13) образуют систему двух уравнений для определения двух неизвестных . Наиболее очевидный вариант , при котором удовлетворяется уравнение (15б), был рассмотрен ранее в работе [9] c приведенным в ней результатом численных расчетов: , . (16) Однако еще один вариант, при котором удовлетворяется уравнение (15б), - равенство нулю выражения в квадратной скобке (15б), в работе [9] подробно не рассматривался. Его мы и обсудим далее. Аналитическое решение соответствующей системы уравнений , (17а) (17б) приводит к двум парам возможных значений : , ; (18а) . (18б) Получаемые с использованием решения (18а) значения (14а), (14б) являются следующими: , (19а) а с использованием (18б) , (19б) причем, как и должно быть, в обоих случаях . (20) Полученные ранее в [9] значения (14а), (14б) для решения (16), как предварительно и предполагалось в этой же работе [9], являются достаточно близкими к (19а), (19б), несмотря на принципиальное различие в процедуре получения соответствующих решений. Вероятно, это следует рассматривать как подтверждение адекватности используемого нами метода. Заключение Таким образом, в предыдущей [9] и в данной работах получены достаточно, на наш взгляд, достоверные оценки чисел атомов и в пространственных конфигурациях их электронных структур и . Нами установлено также с учетом результата работы [9], что значения попадают в диапазон от общего числа атомов , а значение - в диапазон . Постановка соответствующего эксперимента с одновременной реализацией всех трех пространственных конфигураций атомов была бы весьма желательной для проверки наших «теоретических предсказаний».

Скачать электронную версию публикации