Integration of the Hamilton-Jacobi and the vaccum Maxwell equations for the diagonal metrics of the Stackel space-time.pdf I. При исследовании гравитационных и электромагнитных полей важную роль играет изучение движения пробных частиц. В случае нейтральных частиц траектории движения задаются уравнениями геодезических . (1) Здесь - символы Кристоффеля в n-мерном римановом многообразии ; точками обозначены производные по собственному времени; по повторяющимся верхним и нижним индексам ведется суммирование. Интегрирование уравнений геодезических не представляет большой проблемы, однако точные решения возможно получить только методом полного разделения переменных в уравнении Гамильтона - Якоби: . (2) Согласно известному определению, уравнение (2) допускает полное разделение переменных в координатах , если его полный интеграл можно представить в виде . (3) Координатная система, в которой это имеет место, будет обозначаться и называться привилегированной. Первый пример метрики пространства, в котором можно осуществить полное разделение переменных, привел П. Штеккель [1]. Найденная им метрика имела диагональный вид и допускала полный набор интегралов движения, квадратичных по импульсу. В дальнейшем метод Штеккеля был обобщен, но все пространства, в которых уравнения Гамильтона - Якоби (2) интегрируются методом полного разделения переменных, были названы в его честь штеккелевыми. Окончательная теория штеккелевых пространств была построена В.Н. Шаповаловым [2]. Им были определены необходимые и достаточные условия полного разделения переменных помимо прочих для следующих уравнений: - Гамильтона - Якоби (в том числе для заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле с потенциалом ): ; (4) - Клейна - Гордона - Фока: (5) ( - ковариантная производная); - Дирака - Фока - Иваненко: (6) ( - оператор Дирака - Фока - Иваненко). В последнее время активизировалась деятельность по развитию аппарата теории штеккелевых пространств для уравнений движения спинорных пробных частиц (см., например, [3, 4]). Список работ, посвященных этим и другим проблемам теории штеккелевых пространств, содержится в монографии [5]. Не вдаваясь в подробности, отметим, что необходимым условием полного разделения переменных в уравнениях (4) - (6) является существование полного набора взаимно коммутирующих линейных или квадратичных по импульсам интегралов движения. В свою очередь, необходимым условием этого является существование в пространстве полного набора геометрических объектов, состоящего из n (включая gij) взаимно коммутирующих тензорных или (и) векторных полей Киллинга. Штеккелевы пространства являются удобной моделью для изучения структуры гравитационного поля и особенностей движения материальных объектов в присутствии полей различной природы. В качестве примера их применения в теории гравитации отметим работу [6], в которой продолжена работа по построению классификации однородных штеккелевых пространств, и [7], где изучается возможность применения штеккелевых метрик в космологии. Поэтому и сейчас представляют интерес классификационные проблемы в теории штеккелевых пространств, в том числе классификация всех метрик и электромагнитных полей, допускающих полное разделение переменных в уравнении (4). Ранее в такой постановке данная классификационная проблема не рассматривалась. Настоящей работой мы начинаем цикл статей, конечной целью которых является перечисление всех неэквивалентных относительно допустимых (то есть не нарушающих условие полного разделения переменных) преобразований метрик и потенциалов внешнего электромагнитного поля. II. В привилегированной системе координат классическая метрика Штеккеля имеет диагональную форму. Несмотря на свою видимую простоту, она имеет богатое содержание. Достаточно отметить, что к ней относится основное модельное пространство космологии - пространство Робертсона - Уокера. Высокий уровень симметрии метрики позволяет обеспечивать новые подходы к решению космологических проблем, в частности связанных с учетом темной энергии или с построением модифицированных теорий гравитации (см., например, [8, 9]). Классическая метрика Штеккеля допускает полный набор, состоящий только из тензорных полей Киллинга. Эти поля представляются через так называемую матрицу Штеккеля: (7) следующим образом: ( ), . (8) Легко показать, что в этом случае из требования разделения переменных следует: . Однако, если одно из тензорных полей Киллинга, например, при i = 0 выражается через векторное поле Киллинга следующим образом: , (9) причем коммутирует со всеми остальными и, следовательно, (здесь и далее переобозначено: , ), то существует электромагнитное поле с единственной ненулевой компонентой А0 электромагнитного потенциала: ( , ). (10) Далее полагаем n = 4. При этом необходимое и достаточное условие полного разделения переменных в уравнении (4) имеет вид . (11) Здесь использована приведённая форма элементов столбца матрицы : , , , , . (12) Всюду в тексте малыми буквами с одиночным правым нижним индексом обозначаются функции, зависящие только от переменной . Значок ~ , расположенный над любой буквой, означает, что обозначенная этой буквой величина равна постоянной. Сначала докажем простое Утверждение. Рассмотрим функциональное уравнение вида , (13) где , , - функции от . Решения уравнения (13) имеют вид 1) , 2) , . (14) Зафиксируем переменную в точке . Обозначим , , . Тогда из (13) следует . (15) Совместным сдвигом , , , , , обратим , , в нуль. С учетом этого представим (13) в виде . (16) Рассмотрим следующие варианты: 1) , , - линейно независимы, поэтому . Из (13) получим ; (17) 2) , - линейно независимы: . Подставим в уравнение (13). В результате получим , , , , что и требовалось. 3) Независимая функция x2. Очевидно, это эквивалентно предыдущему. Утверждение доказано. Приведем уравнение (11) к виду (13). Для этого обозначим , , , , . (18) Тогда (11) предстанет в виде . (19) Полагаем, что , , - функции от , зависящие от как от параметра. В результате получим решения: 1) , , , . (20) Отсюда , , , , . (21) 2) . (22) Нетрудно показать, что единственное решение уравнений (21), (22) имеет вид . Отсюда , . (23) Таким образом, , . (24) Разделенная система имеет вид (25) , и интегрируется в квадратурах. III. Найдем решение вакуумных уравнений Максвелла: . (26) Подставив (24) в систему уравнений (26), получим единственное уравнение . (27) Здесь обозначено: . Уравнение (27) легко интегрируется. Приведем решения: 1) , . Решение можно записать так: , , , , . (28) 2) . Из (27) следует: , , . Поскольку , можно представить в виде а) ( можно обратить в ). Тогда , , , , и решение будет таково: , (29) , , ; б) аналогично: : , (30) , , . IV. В заключение отметим следующее. В зависимости от того, сколько векторных полей Киллинга входит в полный набор и какие они, штеккелевы пространства с пространственно-времен¬ной сигнатурой делятся на семь типов: 1) Пространства типа (3.0). В полный набор входят три векторных поля Киллинга. На это указывает первое число (3) в скобках. Координатная гиперповерхность, относящаяся к неигнорируемой переменной, неизотропна. На это указывает второе число ( 0 ) в скобках. Данное свойство задается ненулевым определителем матрицы, составленной из скалярных произведений векторных полей Киллинга друг на друга. 2) Пространства типа (3.1). В полный набор входят три векторных поля Киллинга. Координатная гиперповерхность, относящаяся к неигнорируемой переменной, изотропна. На это указывает второе число ( 1 ) в скобках. Упомянутая выше матрица особенная. 3) Пространства типа (2.0). В полный набор входят два векторных поля Киллинга. Координатная гиперповерхность, относящаяся к одной из неигнорируемых переменных, неизотропна. 4) Пространства типа (2.1). В полный набор входят два векторных поля Киллинга. Координатная гиперповерхность, относящаяся к одной из неигнорируемых переменных, изотропна. 5) Пространства типа (1.0). В полный набор входит одно неизотропное векторное поле Киллинга. 6) Пространства типа (1.1). В набор входит одно изотропное векторное поле Киллинга. 7) Пространства типа (0.0). Полный набор не содержит векторных полей Киллинга. В настоящей работе решена классификационная проблема для пространств типа (1.0).

Скачать электронную версию публикации