The Pauli exclusion principle and the problems of its theoretical substantiation.pdf 1. Открытие принципа Паули для электронов и его обобщение в рамках квантовой механики для всех элементарных частиц Вольфганг Паули сформулировал свой принцип еще до создания современной квантовой механики. Хорошо известно, что основные концепции квантовой механики были сформулированы в 1925 г. Гейзенбергом, Борном и Йорданом [1, 2] в матричном формализме. В 1926 г. Шредингер на основе дуализма волновой частицы, предложенного де Бройлем [3], ввел волновую функцию ψ, описывающую микрочастицы, и сформулировал свое знаменитое волновое уравнение [4, 5]. Паули пришел к формулировке своего принципа, пытаясь объяснить закономерности аномального эффекта Зеемана в сильных магнитных полях. В своих первых исследованиях эффекта Зеемана Паули интересовался объяснением простейшего случая - дублетной структуры щелочных спектров. В декабре 1924 г. Паули представил доклад об эффекте Зеемана [6], в котором показал, что теория Бора дублетной структуры, которая была основана на неисчезающем угловом моменте замкнутой оболочки, такой, как K-оболочка щелочных атомов, является неверной и закрытые оболочки не имеют угловых и магнитных моментов. Паули пришел к выводу, что вместо углового момента замкнутых оболочек атомного ядра необходимо ввести новое квантовое свойство электрона. В этой статье он написал замечательные для того времени пророческие слова: «Согласно этой точке зрения, дублетная структура щелочных спектров… обусловлена особой двойственностью квантово-теоретических свойств электрона, которая не может быть описана с классической точки зрения (According to this point of view, the doublet structure of alkali spectra … is due to a particular two-valuedness of the quantum theoretic properties of the electron, which cannot be described from the classical point of view.)». Эта неклассическая двойственная природа электрона теперь называется спином. Предвидя квантовую природу магнитного момента электрона до создания современной квантовой механики, Паули проявил поразительную интуицию. Основываясь на своих результатах классификации спектральных термов в сильном магнитном поле, он пришел к выводу, что один электрон должен занимать полностью невырожденный энергетический уровень. В документе, представленном для публикации 16 января 1925 г., Паули сформулировал свой принцип следующим образом [7]: «В атоме не может быть двух или более эквивалентных электронов, для которых в сильных полях значения всех четырех квантовых чисел совпадают. Если в атоме существует электрон, для которого все эти числа имеют определенные значения, то это состояние «занято» (In an atom there cannot be two or more equivalent electrons, for which in strong fields the values of all four quantum numbers coincide. If an electron exists in an atom for which all of these numbers have definite values, then this state is ‘occupied’.)». В этой статье Паули ввел четыре квантовых числа одиночного электрона в атоме: n, l, j = = l ± 1/2 и mj (в современных обозначениях); n и l были хорошо известными в то время квантовыми числами главного и углового момента, j и mj - полного углового момента электрона и его проекции. Таким образом, Паули охарактеризовал электрон некоторым дополнительным квантовым числом j, которое в случае l = 0 было равно ± 1/2. Для этого нового квантового числа j Паули не дал никаких физических интерпретаций, поскольку был уверен, что его нельзя описать в терминах классической физики. Как отметил Паули в своей Нобелевской лекции [8]: «…Физикам было трудно понять принцип исключения, поскольку в терминах модели не было никакого значения для четвертой степени свободы электрона (… physicists found it difficult to understand the exclusion principle, since no meaning in terms of a model was given to the fourth degree of freedom of the electron.)». Молодые ученые, сначала Ральф Крониг, а затем Джордж Уленбек и Сэмюэль Гоудсмит, не приняли во внимание слова Паули о том, что электрон четвертой степени свободы не может быть описан классической физикой, и предложили классическую модель вращающегося электрона. В книге [9] подробно описывается открытие вращения, используя воспоминания главных участников этой драматической истории. Первые исследования, посвященные применению новорожденной квантовой механики к многочастичным системам, были выполнены независимо Гейзенбергом [10] и Дираком [11]. В этих исследованиях принцип исключения Паули, сформулированный как запрет для двух электронов занимать одно и то же квантовое состояние, был получен в результате антисимметрии волновой функции Шредингера. В обеих работах [10, 11] были построены антисимметричные многоэлектронные волновые функции и сделан вывод, что эти функции не могут иметь две частицы в одном и том же состоянии. Гейзенберг построил антисимметричную функцию N-электронов, используя оператор антисимметризации. Дирак представляет его как определитель с одноэлектронными волновыми функциями ψni: , (1) где число электронов N = r. После введения волновой функции в виде детерминанта Дирак [11] писал: «Антисимметричная собственная функция однозначно исчезает, когда два электрона находятся на одной орбите. Это означает, что при решении задачи с антисимметричными собственными функциями не может быть стационарных состояний с двумя или более электронами на одной орбите, что является просто принципом исключения Паули (An antisymmetric eigenfunction vanishes identically when two of the electrons are in the same orbit. This means that in the solution of the problem with antisymmetric eigenfunctions there can be no stationary states with two or more electrons in the same orbit, which is just Pauli's exclusion principle.)». Таким образом, с созданием квантовой механики запрет на числа заполнения состояний электронной системы был дополнен запретом всех типов перестановочной симметрии волновых функций электрона, кроме антисимметричных. Однако первое применение ПП было выполнено в астрофизике Фаулером [13] уже в следующем году после того, как Паули предложил свой принцип. Фаулер применил ПП для объяснения стабильности белого карлика. Радиус белых карликов сопоставим с радиусом Земли, а их масса сопоставима с массой Солнца. Фаулер решил парадокс: почему такие плотные объекты, как белые карлики, не разрушаются при низкой температуре? Он применил к электронному газу в белых карликах статистику Ферми - Дирака и показал, что даже при очень низких температурах электронный газ все еще обладает высокой энергией; сжатие белого карлика приводит к увеличению внутреннего электронного давления, и эта отталкивающая сила возникает из принципа исключения, предложенного Паули. Таким образом, отталкивание, вытекающее из ПП, предотвращает гравитационный коллапс белых карликов. В 1928 г. Дирак [14] создал строгую релятивистскую квантовую теорию электрона, которая, естественно, включала концепцию спина. Некоторые следствия релятивистской теории Дирака были проанализированы Шредингером в его замечательной статье [15]. В этой работе Шредингер показал, что из релятивистского уравнения Дирака для электрона следует быстрое колебательное движение безмассового заряда со скоростью c вокруг центра масс, которое он назвал колебательным движением (Zitterbewegung). Эта оригинальная картина, разработанная Шредингером, вызвала широкое обсуждение происхождения спина. Некоторые из авторов даже утверждали, что концепция спина имеет классическое происхождение и не может быть объяснена в рамках квантовой механики. Стоит проанализировать эту дискуссию, которая в настоящее время все еще продолжается, хотя это выходит за рамки данной работы. Следует отметить, что Барут и соавторы [16, 17] продемонстрировали, что, если выразить динамические переменные Дирака через спиновые переменные, спин появляется как орбитальный угловой момент колебательного движения (см. также [18-20] и недавнюю публикацию Гестена [21]). Эти исследования показали, как концепция спина проистекает из релятивистской квантовой механики. В 1932 г. Чедвик [22] открыл нейтрон. В том же году Гейзенберг [23] рассмотрел последствия модели, в которой ядра строятся из протонов и нейтронов, а не из электронов и протонов, как это было принято в то время. Гейзенберг предположил, что силы между всеми парами частиц равны и в этом смысле протон и нейтрон можно рассматривать как разные состояния одной частицы. Он ввел переменную τ, значение τ = -1 было присвоено состоянию протона, значение τ = 1 - состоянию нейтрона. Вигнер [24] назвал τ изотопическим спином (в настоящее время называется также изобарическим спином). Изотопический спин имеет только два значения и, как в случае фермиона, может быть представлен как τ = 1/2. Принимая во внимание, что для протонов и нейтронов их ядерный спин s тоже равен 1/2, Вигнер изучил супермультиплеты ядерного спина заряда для гамильтониана, не зависящие от изотопного и ядерного спинов. Позднее анализ экспериментальных данных для обнаруженных элементарных частиц показал, что они подчиняются только двум типам симметрии перестановок: симметричной и антисимметричной. Это позволило сформулировать ПП не только для электронов, но и для всех элементарных частиц - единственными возможными состояниями системы идентичных частиц, обладающих спином s, являются те, для которых полная волновая функция преобразуется при взаимном обмене любых двух частиц в виде . (2) То есть симметрична для целых значений s и антисимметрична для полуцелых значений s. Эта общая формулировка верна и для составных частиц. Сначала это показали Эренфест и Оппенгеймер [25]. Авторы рассмотрели некоторые кластеры электронов и протонов, ими могут быть атомы, молекулы или ядра (в то время нейтрон не был обнаружен). Они сформулировали правило, согласно которому статистика кластера зависит от количества частиц, из которых они построены. В случае нечетного числа частиц это статистика Ферми - Дирака, а в случае четного числа - статистика Бозе - Эйнштейна. Подчеркивалось, что это правило справедливо, если взаимодействие между составными частицами не меняет их внутренних состояний, то есть составная частица достаточно стабильна, чтобы сохранить свою идентичность. Хорошим примером такой стабильной составной частицы является атомное ядро. Оно состоит из нуклонов: протонов и нейтронов, которые являются фермионами, поскольку имеют спин s = = 1/2. В зависимости от значения полного ядерного спина можно говорить о ядрах бозона или фермиона (рис. 1). Ядра с четным числом нуклонов имеют целое значение полного спина S и являются бозонами; ядра с нечетным числом нуклонов имеют полуцелое значение полного спина S и являются фермионами. Рис. 1. Статистика составных частиц Хорошо известной системой, в которой достоверность ПП для составных частиц была точно проверена в эксперименте, являлась молекула 16O2. Ядро 16O представляет собой составную бозонную частицу, поэтому полная волновая функция молекулы 16O2 должна быть симметричной относительно перестановок ядер. В приближении Борна - Оппенгеймера [26] молекулярная волновая функция может быть представлена как произведение электронной, Ψel, и ядерной, Φn, волновых функций. На равновесных расстояниях ядерная волновая функция, в свою очередь, может быть представлена как произведение колебательных, Φvib, и вращательных, Φrot, волновых функций. Таким образом, . (3) Колебательная волновая функция Φvib(ab) зависит только от величины межатомного расстояния и остается неизменной при смене ядер. Электронная волна основного состояния, Ψel(ab), является антисимметричной при взаимном обмене ядер. Следовательно, для выполнения бозонной симметрии полной волновой функции (3) вращательная волновая функция Φrot(ab) также должна быть антисимметричной при взаимном обмене ядер. Симметрия вращательной волновой функции в состоянии с угловым моментом вращения K определяется коэффициентом (-1)K. Поэтому в основном электронном состоянии четные значения K запрещены и допускаются только нечетные значения K. Именно это было обнаружено в 1927 г. в спектроскопических измерениях [27], проведенных до теоретических исследований. Важно отметить, что обобщенную формулировку ПП можно рассматривать с двух сторон. С одной стороны, из него следует, что частицы с полуцелым спином (фермионы) описываются антисимметричными волновыми функциями, а частицы с целым спином (бозоны) - симметричными волновыми функциями. Это так называемое подключение спин-статистики (SSC). С другой стороны, ПП не сводится только к SSC. Его также можно рассматривать как ограничение на допустимые типы симметрии многочастичных волновых функций. А именно допускаются только два типа симметрии перестановок: симметричная и антисимметричная. Обе принадлежат одномерным представлениям группы перестановок, в то время как все другие типы симметрии перестановок запрещены. Далее обсудим оба аспекта ПП и представим физические аргументы, доказывающие, что в нашей природе допускаются только одномерные представления группы перестановок. Эти аргументы можно рассматривать как теоретическое обоснование второго аспекта ПП. Из этого следует важный вывод о перестановочных симметриях элементарных частиц, которые в будущем могут быть обнаружены. 2. Спин-статистическая связь В своей Нобелевской лекции Паули сказал [8]: «Уже в своей первоначальной статье я особо подчеркивал тот факт, что не смог найти логического обоснования принципа исключения и не получил его из более общих предположений. У меня всегда было чувство, которое сохраняется до сегодняшнего дня, что это вина некоторого недостатка теории». Подчеркнем, что это было сказано в 1946 г. или после известной теоремы Паули [28] о связи спина и статистики. Дело в том, что в этой теореме Паули не дал прямого доказательства. Он показал, что из-за некоторых физических противоречий операторы вторичного квантования для частиц с целыми спинами не могут подчиняться соотношениям коммутации фермионов, тогда как для частиц с полуцелыми спинами их операторы вторичного квантования не могут подчиняться соотношениям бозонной коммутации. Паули не был удовлетворен таким отрицательным доказательством. Очень скоро выяснилось, что он был прав. Теорема Паули [28] неявно предполагает, что частицы могут подчиняться только двум типам коммутационных отношений: бозонным или фермионным. Однако этот факт не был доказан и проистекал из известных на тот момент экспериментальных данных. В 1953 г. Грин [29], а затем независимо Волков [30] показали, что могут быть введены более общие трехлинейные коммутационные соотношения парабозона и парафермиона, удовлетворяющие всем физическим требованиям и содержащие в качестве частных случаев коммутационные соотношения бозона и фермиона. Соответствующая парастатистика классифицируется по рангу p. Для статистики параферми p - максимальное число заселенности. При p = 1 статистика параферми становится идентичной статистике Ферми - Дирака (более подробно см. [31, 32]). До настоящего времени элементарные частицы, подчиняющиеся парастатистике, не найдены. В 1976 г. автор [33] обнаружил, что статистика параферми реализуется для квазичастиц в кристаллической решетке, например для экситонов и магнонов Френкеля, но из-за периодического кристаллического поля трехлинейные коммутационные соотношения Грина модифицируются квазиимпульсным законом сохранения. Позднее было показано, что введенная автором модифицированная статистика параферми [33] справедлива для различных типов квазичастиц в периодической решетке: поляритонов [34, 35], дефектонов [36], делокализованных дырок в кристаллах [37-39]. Было показано [33, 37], что идеального газа таких квазичастиц в принципе не существует, поскольку даже при отсутствии динамических взаимодействий система квазичастиц характеризуется некоторым взаимодействием. Этот вид взаимодействия в зависимости от отклонения статистики квазичастиц от статистики Бозе (Ферми) после Дайсона [40] называется кинематическим взаимодействием. После 1940 г. были опубликованы многочисленные доказательства SSC, но ни одно из них не было строгим (см., например, критику Паули [41] доказательств физиков высокого уровня, таких, как Фейнман [42] и Швингер [43]). В обширной книге Дака и Сударшана [44] практически все доказательства спин-статистической связи, опубликованные в то время, подвергались критике (см. также [45, 46]). В своих знаменитых лекциях Фейнман [47] даже извинялся перед публикой: «Почему частицы с полуцелым спином являются ферми-частицами, амплитуды которых складываются со знаком минус, тогда как частицы с целым спином являются бозе-частицами, амплитуды которых складываются с положительным знаком? Мы приносим свои извинения за то, что не можем дать вам элементарного объяснения ... Кажется, это одно из немногих мест в физике, где есть правило, которое можно сформулировать очень просто, но для которого никто не нашел простого и легкого объяснения. Объяснение глубоко в релятивистской квантовой механике». После этого комментария Фейнмана появилось много публикаций, в которых авторы утверждали, что они выполняли требование Фейнмана, и предлагали простое объяснение SSC. Однако все они содержали особые предположения, на которых основано доказательство SSC. Следует отметить, что публикации простых, по мнению авторов, доказательств SSC все еще продолжаются [48-52]. Но эти доказательства находятся за пределами традиционной квантовой механики. Например, автор работы [48] для доказательства SSC постулировал специальную процедуру обмена идентичной частицей, которая включает дополнительное вращение и отличается от простого определения обмена в квантовой механике. Тот же недостаток имеет релятивистское доказательство Беннета [49], основанное на доказательстве [48]. Сантамато и Де Мартини [50-52] доказали теорему спиновой статистики в рамках специально разработанной конформной квантовой геометродинамики, где волновые функции не применяются, хотя используется некоторая «волновая функция», но она одинакова для фермионов и бозонов, так как не меняется при перестановках. Таким образом, насколько нам известно, не только не существует простого ответа, но у нас все еще нет каких-либо убедительных объяснений, каковы физические причины того, что идентичные частицы с целочисленным спином описываются симметричными функциями, а идентичные частицы с половиной целочисленного спина - антисимметричными функциями. 3. Другой аспект ПП. Ограничение разрешенных симметрий только на одномерные представления группы перестановок 3.1. Критический анализ существующих доказательств Согласно ПП допускаются только два типа симметрии перестановок: симметричная и антисимметричная (оба типа относятся к одномерным представлениям группы перестановок). Однако уравнение Шредингера инвариантно относительно любой перестановки одинаковых частиц. Гамильтониан идентичной системы частиц коммутирует с операторами перестановки . (4) Из этого следует, что решения уравнения Шредингера могут принадлежать любому представлению группы перестановок, включая многомерные представления. Можно задать следующий вопрос: «Вытекает ли ограничение принципа Паули на решениях уравнения Шредингера из фундаментальных принципов квантовой механики или это независимый принцип?». В зависимости от ответа на него физиков, изучающих основы квантовой механики, можно разделить на две группы. Некоторые физики, в том числе основатель квантовой механики Дирак [53], а также Шифф [54] и Мессия [55], предположили, что в природе нет законов, запрещающих существование частиц, описываемых волновыми функциями с более сложной перестановочной симметрией, чем у бозонов и фермионов, и что существующие ограничения обусловлены специфическими свойствами известных элементарных частиц. Мессия [55, 56] даже ввел термин «постулат симметризации», чтобы подчеркнуть первичную природу ограничения на разрешенные типы симметрии перестановки волновой функции. Следует отметить, что независимость принципа Паули от других фундаментальных принципов квантовой механики была сформулирована довольно обобщенно Паули в его выступлении в Принстоне [57]: «Принцип исключения не может быть выведен из новой квантовой механики, но остается независимым принципом, который исключает класс математически возможных решений волнового уравнения. Этот избыток математических возможностей современной теории по сравнению с реальностью свидетельствует о том, что в той области, где она касается теории относительности, квантовая теория еще не обрела окончательного вида». Существует еще одна точка зрения на эту проблему. Согласно ей, постулат симметризации не является независимым принципом и может быть выведен из фундаментальных принципов квантовой механики, в частности из принципа неразличимости одинаковых частиц. Эта идея была представлена не только в работах [3, 56, 58], а также в [59-61], в том числе в знаменитой книге Ландау и Лифшица [60]. Неверность доказательства в книге Корсона [59] была отмечена Жирардо [58]. Доказательства, представленные в книгах [59-61], были критически проанализированы в моей первой работе о принципе исключения Паули [62] (более подробная критика была дана в [63, 64]). Тем не менее неверные доказательства постулата симметризации все еще появляются в современной литературе. В обзоре Кенрайта и Гирвина [65], посвященном дробной статистике, авторы представили то же ошибочное доказательство, что и в книгах [59-61]. Даже в недавно опубликованной очень хорошей во многих фундаментальных аспектах работе по квантовой механике и квантовой химии Пиелы [66] представленное доказательство имеет те же ошибки, что и в цитированных выше учебниках. Таким образом, стоит еще раз обсудить этот вопрос в настоящей работе. Типичная аргументация (такая же, как в [59-61, 65, 66]) следующая. Из требования, что все состояния системы, полученные перестановками одинаковых частиц, должны быть физически эквивалентны, можно сделать вывод, что транспонирование любых двух одинаковых частиц должно умножать волновую функцию только на незначительный фазовый фактор , (5) где  - действительная постоянная; x - множество пространственных и спиновых переменных. Еще одно применение оператора перестановки P12 дает (6) или and . (7) Поскольку предполагается, что все частицы идентичны, волновая функция должна изменяться одинаково при перестановке любой пары частиц, то есть она должна быть либо полностью симметричной, либо полностью антисимметричной. Это простое доказательство на первый взгляд выглядит довольно убедительно. Кажется, что простота этого доказательства загипнотизировала читателей, и большинство из них приняли это без какой-либо критики. Однако доказательство, представленное уравнениями (5) - (7), содержит две существенные ошибки одновременно. Первая некорректность просто вытекает из формализма теории групп. Уравнение (5) справедливо только для одномерных представлений, то есть для симметричных и антисимметричных состояний. Применение групповой операции к одной из базовых функций, принадлежащих некоторому многомерному представлению (вырожденному состоянию перестановки), преобразует его в линейную комбинацию базисных функций. А именно . (8) Коэффициенты образуют квадратную матрицу порядка f, где f - размерность этого многомерного представления. Применение оператора перестановки P12 к обеим сторонам уравнения (8) приводит к тождеству, и мы не можем получить какую-либо информацию о симметрии, в отличие от уравнения (5). Задавая условия, такие, что при перестановках волновая функция изменяется не более чем на фазовый фактор, постулируем, что представление группы перестановок, к которой принадлежит волновая функция, является одномерным. Таким образом, это доказательство основано на первоначальном утверждении, которое доказывается как конечный результат. Вторая некорректность приведенного выше доказательства вытекает из физических соображений. Доказательство напрямую связано с поведением волновой функции. Однако, поскольку волновая функция не является наблюдаемой, принцип неразличимости связан с ней только косвенно через выражения измеримых величин. Поскольку в квантовой механике физические величины выражаются в виде билинейных форм волновых функций, принцип неразличимости требует инвариантности этих билинейных форм и может быть сформулирован как , (9) где L - произвольный оператор. Часто ограничиваются требованием, чтобы плотность вероятности данной конфигурации системы идентичных частиц была инвариантной относительно перестановок [58, 67], . (10) Для функции, удовлетворяющей выражению (10), достаточно, чтобы при перестановках она изменялась как , (11) т.е. в отличие от требования условия (5) в общем случае фаза является функцией координат и перестановки и уравнение (6), очевидно, не имеет места. Как обсуждалось выше, большинство доказательств постулата симметрии содержат неоправданные ограничения. Доказательства постулата симметрии без наложения дополнительных ограничений были даны Жирардо [58, 67], который основал его на формуле (10), и в моей работе [62], где он был основан на формуле (9). Как было отмечено позже авторами [63, 64, 68], эти доказательства, основанные на принципе неразличимости в (9) и (10), неверны, поскольку уравнения (9) и (10) справедливы только для невырожденных состояний. В вырожденном состоянии перестановки система может быть с равной вероятностью описана любой из основных функций вырожденного состояния. В результате мы больше не можем выбирать чистое состояние (то, которое описывается волновой функцией) и должны рассматривать вырожденное состояние как смешанное, где каждая базисная функция входит с одинаковой вероятностью. Возможность выражения матрицы плотности только через одну из функций означает, что вырождение относительно перестановок было устранено. Однако последнее не может быть достигнуто без нарушения идентичности частиц. Таким образом, мы должны сложить обе части уравнений (9) и (10) по всем волновым функциям, принадлежащим вырожденному состоянию. Например, плотность вероятности, которая описывается через диагональный элемент матрицы плотности, в случае вырожденного состояния имеет следующий вид: , (12) где выражение (12) записано для случая f-мерного представления [] группы перестановок N и волновые функции построены операторами Юнга (см. уравнение (30) в Приложении) , (13) где суммирование по P пробегает все N! перестановок группы N; - матричные элементы неприводимого представления. Можно доказать, что для любого представления [] группы перестановок πN плотность вероятности уравнения (12) является групповым инвариантом, то есть инвариантным относительно действия произвольной перестановки. В случае произвольной конечной группы это было доказано в [69]. Таким образом, для любой перестановки группы πN . (14) Уравнение (14) означает, что для всех неприводимых представлений [] группы перестановок N диагональный элемент матрицы полной плотности (а также всех матриц приведенных плотностей) преобразуется в соответствии с полностью симметричным одномерным представлением N и в этом отношении нельзя различать вырожденные и невырожденные состояния перестановки. Из этого следует, что плотность вероятности подчиняется принципу неразличимости даже в случае многомерных представлений группы перестановок. Таким образом, принцип неразличимости не чувствителен к симметрии волновой функции и не может быть использован в качестве критерия для выбора правильной симметрии. Важно отметить, что из приведенного выше обсуждения не следует, что волновая функция не является существенной, и можно провести квантово-механическое исследование, используя только матрицу плотности, как это утверждается в очень популярной в настоящее время теории функций плотности (ДПФ - далее DFT). Симметрия волновой функции управляет атомными и молекулярными состояниями, допускаемыми по исключительному принципу Паули. Методы нахождения разрешенных, согласно ПП, атомных и молекулярных мультиплетов, на которых основана спектральная классификация состояний, описаны в работе [9, гл. 4]. В [69, 70] были проанализированы ограничения на применение DFT-методов расчетов. На уровне теорем строго доказано, что электронная плотность произвольного N-электронного состояния не зависит от полного спина S. Из этого следует, что уравнения Кона - Шэма имеют одинаковый вид для состояний с различными S, то есть при подходе KS-DFT состояния с различными значениями полного спина S невозможно различить. Критический обзор разработанных DFT-процедур, учитывающих спин, показывает, что они модифицируют только обменные функционалы, корреляционные функционалы не соответствуют спину состояния [69]. Таким образом, как мы обсудили в этом подпункте, ПП не может быть строго выведен из других квантово-механических принципов. Тем не менее можно доказать, что описание идентичной системы частиц многомерными представлениями группы перестановок приводит к физическим противоречиям с понятием идентичности частиц и их независимостью. Далее мы обсудим эти аргументы подробно. 3.2. Характеристика свойств идентичной системы частиц как многомерных представлений группы перестановок Рассмотрим квантовую систему с произвольным числом одинаковых элементарных частиц без ограничений, налагаемых ПП. Состояния системы одинаковых частиц с неконсервативным числом частиц можно представить как векторы в пространстве Фока F [71]. Эта система является прямой суммой пространств F(N), соответствующих фиксированному числу частиц N: . (15) Каждое из пространств F(N) может быть представлено как прямое произведение одночастичных пространств f: . (16) Базисные векторы F(N) являются произведением одночастичных векторов , принадлежащих пространствам f; k в скобках обозначает набор спиновых и пространственных координат частицы, . (17) Для простоты рассмотрим случай, когда все одночастичные векторы в формуле (17) разные. Качественных изменений в результатах не будет, если некоторые векторы совпадают. - спин-орбитали, на которых построена полная волновая функция. Можно произвести N! новых многочастичных векторов, применяя к многочастичному вектору (17) N! перестановок координат частицы. Эти новые векторы также принадлежат F(N) и образуют некоторое инвариантное подпространство, которое приводимо. Тогда N! базисных векторов последнего, , составляют регулярное представление группы перестановок πN. Как известно в теории групп, регулярное представление разлагается на неприводимые представления, каждое из которых появляется число раз, равное его размерности. Пространство ε(N) попадает в прямую сумму , (18) где εξ[λN] - неприводимое подпространство размерности fλN, нарисованное над основными векторами |[λN]r>, а [λN] - диаграмма Юнга с N ячейками. Базисные векторы |[λN]r> можно построить из несимметризованного базисного вектора |ξ(N)>, используя операторы Юнга (уравнение (30) в Приложении): , (19) где - матричные элементы представления и индекс t различает базисы в соответствии с разложением в -инвариантных подпространствах и описывает симметрию при перестановках индексов частиц в уравнении (17). Таким образом, пространство с фиксированным числом частиц всегда можно разбить на неприводимые подпространства , каждое из которых характеризуется определенной симметрией перестановки, заданной диаграммой Юнга с N ячейками. Постулат симметрии требует, чтобы базисные векторы системы из N одинаковых частиц могли принадлежать только двум подпространствам, характеризуемым неприводимыми одномерными представлениями, [N] или [1N]. Все остальные подпространства являются «пустыми». Рассмотрим ситуацию, которая возникает, когда не накладываются ограничения симметрии, и рассмотрим систему из N одинаковых частиц, описываемых базисными векторами, принадлежащими произвольному неприводимому подпространству . Одним из следствий различной симметрии перестановочных векторов состояний для бозонов и фермионов является зависимость энергии системы от статистики частиц. Для того же закона динамического взаимодействия так называемые обменные члены, которые появляются в одночастичном приближении (подход Хартри - Фока), вводят выражение для энергии фермионных и бозонных систем с противоположными знаками. В случае произвольного многомерного состояния перестановки энергия системы вычисляется как , (20) где D - определенный оператор плотности, аналогично уравнению (12), . (21) Вычисление следа (20) по функциям с симметрией [] дает . (22) Матричный элемент в формуле (22) был рассчитан в работе [72] в общем случае неортогональных одночастичных векторов. В случае, когда все векторы в формуле (17) разные и ортогональные, получим , (23) где - диагональный матричный элемент транспозиции Pab векторов |va> и |vb> в правой части уравнения (17); h и g - одно- и двухчастичные операторы взаимодействия соответственно. Только условия обмена в формуле (23) зависят от симметрии состояния. Для одномерных представлений не зависит от количества частиц и перестановок Pab: и для всех Pab и N. Для многомерных представлений матричные элементы зависят от [λ] и Pab, в общем, они разные для различных пар одинаковых частиц . Таким образом, другая симметрия перестановки вектора состояния приводит к различным выражениям для энергии. Принимая во внимание, что переходы между состояниями с разнотипной симметрией [λN] строго запрещены и каждое состояние системы N частиц с разными [λN] имеет различную аналитическую формулу для своей энергии, мы должны заключить, что каждому типу симметрии [λN] соответствует определенному виду частиц со статистикой, определяемой этой симметрией перестановки. С другой стороны, классификация состояний по диаграммам Юнга [λN] связана исключительно с тождеством частиц. Следовательно, это должны быть некоторые дополнительные характеристики частиц, которые устанавливают, что система N частиц находится в состоянии с определенной симметрией перестановки, такой, как целочисленные и полуцелые значения спина частиц для бозонов и фермионов, и эта внутренняя характеристика должна быть разной для различных [λN]. Таким образом, частицы, принадлежащие к разным типам симметрии перестановок [λN], не являются идентичными, как это имеет место в частных случаях бозонов [N] и фермионов [1N] (рис. 2). Проследим за генеалогией неприводимых подпространств. Рис. 2. Диаграммы Юнга для N = 2-4 и их генеалогия Мы назвали гипотетические частицы, характеризуемые многомерными представлениями группы перестановок, как промежуточные звенья, подразумевающие, что они подчиняются некоторой промежуточной статистике между статистикой фермионов и бозонов. Согласно рис. 2, для бозонов и фермионов существуют непересекающиеся цепочки неприводимых представлений: [N][N+1] и [1N][1N+1] соответственно; и выражение энергии для каждого типа частиц имеет одинаковую аналитическую форму, которая не зависит от числа частиц в системе. Ситуация кардинально меняется, если принять во внимание диаграммы Юнга, описывающие многомерные представления. В этом случае, как мы показали выше, различные [N] описывают частицы с разной статистикой. Число различных статистических данных зависит от числа частиц в системе и быстро увеличивается с N. Для многомерных представлений мы не можем выбрать какие-либо непересекающиеся цепочки, как в случае фермиона и бозона. Как следует из рис. 2, промежуточные частицы с определенным [N] в N-м поколении могут происходить из частиц различного вида [N-1] в (N-1)-м поколении, даже из фермионов или бозонов. Таким образом, если мы уменьшаем состояние системы N частиц, описываемой некоторой симметрией [N] на одной частице, частицы в (N-1)-м поколении должны быть в общем случае описаны линейной комбинацией волновых функций с различными перестановками симмет- рии [N-1]. Для N = 3, где существует только одно многомерное представление с [3] = [21], это представление исходит из обоих двухчастичных представлений: [2] = [2], соответствующих бозонам, и [2] = [12], что соответствует фермионам. Однако волновая функция двух одинаковых частиц не может быть описана некоторой суперпозицией . (24) Эта суперпозиция соответствует неидентичным частицам, поскольку она не удовлетворяет принципу неразличимости. По факту, . (25) Подчеркнем, что группа перестановок может применяться только к одинаковым частицам, и эти частицы преобразуются в соответствии с неприводимыми представлениями Γ[λ] группы перестановок, но не в соответствии с их линейными комбинациями. Физическая картина, в которой добавление одной частицы изменяет свойства всех частиц, не может соответствовать системе независимых частиц, хотя она не может быть исключена для некоторых квазичастичных (коллективных возбуждений) систем, в которых квазичастицы не являются независимыми [33, 37] (см. обсуждение в [33]). Для идеального газа очевидно, что добавление частицы, идентичной системе из N идентичных частиц, не может изменить свойства новой (N+1)-частичной системы. С другой стороны, как это было ст

Скачать электронную версию публикации