About magnetoelectric effect in a two-layer system ferromagnetic-piezoelectric.pdf Введение В последние годы значительный интерес проявляется к исследованию искусственных материалов, обладающих магнитоэлектрическим (МЭ) эффектом, обусловленный тем, что коэффициент МЭ-связи в этих материалах может быть на несколько порядков больше, чем в природных мультиферроиках. Это обстоятельство делает данные материалы весьма перспективными для применения, например, в качестве высокочувствительных датчиков магнитных полей, электрически управляемых источников переменного магнитного поля, новых типов магнитной памяти и логических элементов [1-4]. Теоретические исследования МЭ-эффекта в искусственно созданных материалах в основном проводились М.И. Бичуриным, Д.А. Филипповым с соавторами [5-9], которые достаточно подробно исследовали широкий спектр материалов от матричных до слоистых композитов. В работах [5, 6] построена термодинамическая теория МЭ, в [7, 8] теория обобщена на более высокий «гидродинамический» уровень для пленочной МЭ-структуры, а именно произведен расчет коэффициента МЭ-связи в колеблющейся двухслойной структуре. Однако в работах [5-8] колебания многослойных структур рассматривались фактически в приближении заданного упругого поля без учета влияния на них электрических и магнитных полей. Для ферромагнитного слоя это приближение является вполне приемлемым в силу малости магнитоупругой связи вдали от частоты магнитоупругого резонанса [10]. Для пьезоэлектрического слоя этот подход приводит к погрешностям, сравнимым с величиной самого эффекта [11]. Сделанное также в работе [6] утверждение: «если размеры композита гораздо меньше длины электромагнитной волны, то можно пренебречь градиентами электрического и магнитного полей внутри образца» - не подходит к обсуждаемой ситуации, поскольку речь идет не о распространении в системе электромагнитных волн, а о возбуждении электроупругих и магнитоупругих волн в слоистой структуре ферромагнетик - пьезоэлектрик. Необоснованное пренебрежение влиянием электрических полей на собственные частоты колебаний МЭ-структур присутствует также и в работах других авторов, например в [12, 13]. В отмеченных работах также не учитываются диссипативные свойства МЭ-структур, хотя ясно, что максимальное значение коэффициента МЭ-связи в условиях резонанса будет определяться величиной внутреннего трения составляющих композит материалов. 1. Геометрия задачи В настоящей работе проводится исследование МЭ-эффекта в двухслойной системе ферромагнетик - пьезоэлектрик на основе решения задачи о колебаниях с учетом неоднородности индуцируемого электрического поля по толщине структуры. Используем геометрию задачи такую же, как в работе [6]. Пусть исследуемая структура расположена в плоскости x0y перпендикулярно оси 0z. При приложении переменного магнитного поля с амплитудой Н0 и частотой ω вдоль оси 0z параллельно вектору намагничен¬ности M ферромагнитной пластины (1) толщиной lm в пьезопластине (2) толщиной lp вдоль оси 0z возникает поляризация P и имеет место продольный МЭ-эффект. При этом в магнитострикционном слое под действием переменного магнитного поля создаются упругие колебания, которые за счет механической связи между слоями передаются пьезослою и вследствие пьезоэлектрического эффекта порождают переменное электрическое поле. Преобразование энергии магнитного поля в энергию электрическую характеризуется коэффициентом МЭ-связи (1) где среднее значение напряженности электрического поля. Цель данной работы - вычисление коэффициента αE в зависимости от частоты приложенного магнитного поля в рамках максимально простой модельной задачи, позволяющей выявить управляющие параметры МЭ-эффекта. Учитывая, что пьезоэлектрические свойства материалов, как правило, сильно анизотропны: так, например, в титанате бария BaTiO3 отличные от нуля пьезоэлектрические модули в ед. CGSE равны , , [14]; в ниобате лития LiNbO3 - , , , [15]; в дигидрофосфате аммония NH4H2PO4 - , , [16], то можно с удовлетворительной точностью ограничиться учетом только одного наибольшего пьезомодуля. При этом возникают две разные с физической точки зрения ситуации, влияющие на колебательные свойства структур: пьезоэлектрическая поляризация P и вектор смещения точек среды u имеют отличные от нуля однотипные компоненты или же не имеют. Первая ситуация рассмотрена в п. 2 и 3 в случае однородных и неоднородных в плоскости структуры колебаний с точным учетом электрических полей. Здесь важно заметить, что речь идет о неоднородных колебаниях в плоскости пластины, поскольку в перпендикулярном направлении характеристики системы всегда неоднородны. Во второй ситуации, обсуждаемой в п. 4, возможен лишь один тип колебаний структуры. На этом примере проанализировано влияние длины МЭ-структуры на ее собственные частоты. 2. Однородные колебания слоистой структуры ферромагнетик - пьезоэлектрик Будем рассматривать ситуацию, когда пьезоэлектрическая поляризация возникает вдоль координатной оси 0z в результате сдвиговой деформации uxz. Такая модель может быть применена, к примеру, для описания свойств пьезоэлектрического слоя из титаната бария (группа симметрии 4mm) или ниобата лития (группа симметрии ) с ориентацией сегнетоактивной оси вдоль координатной оси 0x. Другая возможность - пьезоэлектрическая текстура с предельной группой симметрии , ось которой совпадает с 0x. В этом случае все характеристики структуры: векторы перемещений , электрический потенциал  - будут функциями только одной координаты z. Колебательные процессы в системе будут описываться уравнением плоской задачи теории упругости и уравнением электростатики (2) (3) полученными при варьировании термодинамического потенциала [17] где слагаемое Ф0 относится к недеформированному телу. Здесь введены обозначения: - компоненты тензора напряжений и тензора деформаций пьезоэлектрического слоя соответственно; модуль сдвига пьезоэлектрического слоя; dzxz - пьезоэлектрический модуль; zz - компонента тензора диэлектрической проницаемости; Ez - компонента вектора напряженности электрического поля , Dz - компонента вектора электрической индукции . При записи выражений (2), (3) для упрощения выкладок предположено, что остальные пьезомодули рассматриваемого модельного кристалла пренебрежимо малы. Соотношения (2), (3) позволяют сделать оценку МЭ-эффекта в статическом случае. Действительно, полагая компоненту Dz равной нулю в силу отсутствия свободных зарядов в пьезоэлектрике, находим деформацию пьезослоя в электрическом поле Ez: Приравнивая это выражение к магнитострикционной деформации где коэффициент пропорциональности , λ - константа магнитострикции, M0 - намагниченность насыщения, χ - магнитная восприимчивость [18], на основании формулы (1) имеем Численные оценки коэффициента αE, произведенные по этой формуле, дают незначительную величину αE ≈ 6 мВ/(см∙Э). При переходе от объемного образца к пластине вследствие перехода к другой математической модели - граничным задачам для дифференциальных уравнений - появляется зависимость αE от геометрических размеров системы. Однако учет ограниченной геометрии, равно как и учет колебаний слоистой структуры, не может в общем случае изменить порядок величины эффекта. Существенное увеличение коэффициента αE, как отмечено в работах [7, 8], может произойти только в условиях резонанса. В этом случае отклик системы на внешнее воздействие будет аномально велик и , если не учитывать процессы диссипации энергии в структуре. Основываясь на известных результатах теории вынужденных колебаний, в реальной многослойной структуре можно ожидать, что коэффициент МЭ-связи может возрасти примерно в раз, где  - коэффициент внутреннего трения (вязкости), 0 - собственная частота колебаний композита. Таким образом, изучение колебательных свойств слоистой структуры является необходимым условием для понимания происходящих в ней МЭ-явлений. 2.1. Собственные колебания Перейдем к точному решению задачи о МЭ-связи в колеблющейся двухслойной системе ферромагнетик - пьезоэлектрик. Уравнение, описывающее колебание ферромагнитного слоя, и система уравнений для пьезоэлектрического слоя примут вид (4) (5) где - плотности ферромагнитного и пьезоэлектрического материалов; - модуль сдвига ферромагнитного слоя. Чтобы максимально продвинуться в решении задачи аналитическим методом, при записи системы (5) была выбрана максимально простая связь тензора напряжений с электрическим полем. Решения уравнений (4), (5) будем искать в виде (6) Подставив функции (6) в систему (4), (5), получим уравнения для определения их амплитуд: (7) (8) Здесь - скорости распространения упругих волн в слоях. Общее решение уравнений (7) имеет вид (9) где A1, B1, A2, B2 - константы интегрирования. Используя условия гладкой сшивки функций , и считая границы структуры свободными, получим однородную систему линейных уравнений относительно данных констант. Равенство нулю ее определителя дает трансцендентное уравнение для вычисления собственных частот (10) наинизшие ненулевые решения которого находятся численно (рис. 1). Для выполнения расчетов использованы параметры системы никель/цирконат-титанат свинца: , , , , , , , , [19]. Рис. 1. Зависимость основной собственной частоты ν0 однородных колебаний системы от толщины lm ферромагнитного слоя для пьезоэлектрического слоя толщиной lp = 0.5 (кр. 1), 1 (кр. 2) и 1.5 мм (кр. 3) Значения собственных частот ν0 по порядку величины согласуются со значениями резонансных частот из эксперимента [5, 6, 8]. Из рис. 1 следует, что частоты собственных колебаний как функции толщины магнитострикционного слоя убывают по закону и качественно согласуются с резонансными частотами из эксперимента [8]. Для выяснения роли электрических полей в формировании колебательных мод структуры отдельно решена задача о колебаниях пьезослоя без учета электрических полей (рис. 2). Согласно данным рис. 2, при учете электрических полей относительное изменение собственной частоты составляет от 53 % при lp = 5 мм до 60 % при lp = 0.05 мм. Причем наиболее сильно меняются наинизшие собственные частоты, что согласуется с опытами расчетов пьезоэлектрических конструкций [20]. Рис. 2. Зависимость собственной частоты ν0 однородных колебаний системы от толщины lp пьезоэлектрического слоя при толщине lm = = 1 мм ферромагнитного слоя без учета (сплошная кривая) и с учетом (штриховая кривая) электрического поля 2.2. Вынужденные колебания Для исследования МЭ-связи рассмотрим вынужденные колебания структуры. Как известно [10, 18], возбудить колебания однородным магнитным полем Hz в объеме материала невозможно, поскольку такие поля не взаимодействуют в линейном приближении ни с упругими, ни со спиновыми волнами. Возможно лишь возбуждение с поверхности структуры. Формально для этого нужно задать граничное условие (11) которое фактически вытекает из требования непрерывности механических напряжений на верхней плоскости z = lm. Общее решение уравнения (8) с учетом функций (9) имеет вид (12) где K, F - константы интегрирования. Используя условия гладкой сшивки функций , на межслойной границе (z = 0) диэлектрика и металла и положив здесь напряженность электрического поля , а на нижней границе (z = -lp) приняв для удобства расчетов электрический потенциал , с учетом граничного условия (11) получаем неоднородную систему линейных уравнений относительно констант A1, B1, A2, B2, K, F. Подставляя значения A2, B2, K, F в функцию (12), по формуле (1) получаем коэффициент МЭ-связи (13) как функцию параметров и материальных констант составляющих структуры (рис. 3). Из рис. 3 видно, что наинизшие резонансные частоты совпадают с наинизшими собственными частотами (см. рис. 1), но значительно смещены по отношению к резонансным частотам из работы [2]. На резонансных частотах значения коэффициента αE неограниченно возрастают в связи с обращением в нуль знаменателя в формуле (13), что совпадает с уравнением (10) для определения резонансных частот. Рассчитать максимальные значения коэффициента МЭ-связи возможно только при учете диссипативных свойств составляющих композит материалов. Рис. 3. Зависимость коэффициента αE от частоты ν внешнего магнитного поля в случае однородных колебаний для пьезоэлектрического слоя толщиной lp = 0.5 (кр. 1), 1 (кр. 2), 1.5 мм (кр. 3) и ферромагнитного слоя толщиной lm = 1 мм 2.3. Учет диссипации энергии Формулы и график из предыдущего пункта справедливы только для нерезонансного случая. Отдельного рассмотрения требует случай, когда частоты ω возбуждающего магнитного поля совпадают с одной из собственных частот ωi структуры. В этом случае физически разумное решение получается только при учете процессов диссипации энергии. Другими словами, уравнения движения (4), (5) первой и второй среды нужно заменить следующими: (14) (15) Здесь , - коэффициенты внутреннего трения (вязкости) материалов [21]. Подставив функции (6) в уравнения (14), (15), перепишем уравнения (7) в виде где . Опуская выкладки, аналогичные предыдущему случаю, получим коэффициент αЕ, вид которого будет совпадать с формулой (13) после замены на . Линеаризуя знаменатель полученного выражения по коэффициенту вязкости , получаем в случае резонансных частот максимумы коэффициента МЭ-связи: В таблице представлены абсолютные значения коэффициента МЭ-связи для четырех наименьших резонансных частот. Значения коэффициента МЭ-связи (В/(смЭ)) при собственных частотах ν = νi (МГц), , колебаний композита для разных толщин lp пьезоэлектрического слоя при толщине lm = 1 мм ферромагнитного слоя Толщина пьезослоя lp, мм i = 0 i = 1 i = 2 i = 3 νi νi νi νi 0.5 0.9648 49.533 1.9384 13.250 2.9027 5.573 3.8681 0.725 1.0 0.7232 33.555 1.4461 22.542 2.1696 0.240 2.8921 0.020 1.5 0.5785 123.363 1.1525 26.176 1.7335 0.584 2.3079 0.625 Заметим, что метод оценки в работах [5-8] не совсем понятен, так как в соответствующих формулах отсутствуют параметры диссипативного материала, по крайней мере, в явном виде. 3. Неоднородные колебания слоистой структуры ферромагнетик - пьезоэлектрик 3.1. Собственные колебания В случае неоднородных в плоскости слоев колебаний вектор смещения точек среды будет иметь две отличные от нуля компоненты: . Тогда уравнения (4), (5) нужно заменить следующими: (16) (17) где диэлектрическая проницаемость пьезоэлектрика в направлении, перпендикулярном оси 0z; , - коэффициенты Пуассона слоев. При нахождении аналитического решения систем уравнений (16), (17) неизвестные функции имели вид , где k - волновое число. Общий вид аналитического решения для функций , , , , здесь не приводится в связи с громоздкостью выражений. Полученное решение зависит от десяти произвольных констант интегрирования и для их нахождения требуется решить систему из десяти линейных уравнений. Первые четыре уравнения вытекают из условия свободных границ структуры, где напряжения . Еще четыре уравнения следуют из условия идеального контакта между слоями, когда имеется равенство напряжений и векторов перемещений на общей границе (z = 0) слоев. На межслойной границе контакта диэлектрика и металла также отсутствуют заряды, поэтому напряженность электрического поля , а на нижней границе (z = -lp) как и ранее для удобства расчетов примем электрический потенциал . Собственные частоты структуры ищем численно из условия равенства нулю определителя полученной однородной системы уравнений. Главное отличие рассмотренного случая от предыдущего - появление дисперсии, усиливающейся с ростом волнового числа k (рис. 4). Рис. 4. Зависимость собственной частоты ν0 неоднородных колебаний системы от волнового числа k для пьезоэлектрического слоя толщиной lp = 0.5 (кр. 1), 1 (кр. 2), 1.5 мм (кр. 3) и ферромагнитного слоя толщиной lm = 1 мм В целях демонстрации важности учета дисперсии даже в случае длинноволновых колебаний структуры сделаны расчеты зависимости собственной частоты колебаний ν0 от толщины пьезослоя для волнового числа k = 102 м-1. Результаты расчетов качественно совпадают с аналогичной зависимостью для однородных колебаний (см. рис. 1) и в данной работе не приведены, но количественно различие растет с увеличением толщины lm магнитострикционного слоя и достигает 8 % при lm = 5 мм для lp = 0.5 мм. С уменьшением толщины пьезослоя различие в кривых также увеличивается, что, по-видимому, можно объяснить усилением жесткости системы вследствие влияния собственных электрических полей в пьезопластине. В предельном случае, положив k = 0, приходим к уравнению (10) для определения собственных частот структуры. Для выяснения роли электрических полей в формировании колебательных мод структуры отдельно решена система уравнений (17) для пьезослоя без учета электрического поля. Результаты представлены на рис. 5. Рис. 5. Зависимость собственной частоты ν0 неоднородных колебаний структуры от волнового числа k при толщине слоев lp = 0.5 мм, lm = 1 мм без учета (сплошная кривая) и с учетом (штриховая кривая) электрического поля Как видно из рис. 5, для длинноволновых колебаний влияние электрических полей будет определяющим. С уменьшением волнового числа k влияние ослабевает. 3.2. Вынужденные колебания На основе полученных выше результатов для неоднородного случая произведен расчет МЭ-коэффициента по напряжению с использованием зависимости (1). Неоднородная система уравнений для определения констант интегрирования, идентичная однородному случаю, решалась численно. Результаты численного расчета качественно совпадают с аналогичной зависимостью для однородных колебаний (см. рис. 3) и в данной работе не приведены, резонансные частоты МЭ-эффекта уменьшаются с ростом толщины пьезоэлектрического слоя, что также тождественно поведению собственных частот ν0 (см. рис. 2). 4. Зависимость собственных частот колебаний магнитоэлектрического слоя от его длины В этом пункте обсуждается вторая из отмеченных в п. 2 ситуаций. Ее характерные отличия состоят в том, что, во-первых, колебания структуры в указанном выше смысле будут только неоднородными, что значительно усложняет математическую модель; во-вторых, сдвиговая деформация, приводящая к возникновению пьезоэлектрической поляризации, будет определяться длиной волны, распространяющейся вдоль структуры, и поэтому даже для достаточно длинного пьезослоя МЭ-эффект будет заведомо ниже, чем в первом случае, где длина структуры не ограничена. Рассмотрим, так же как в работе [8], структуру конечной длины L с пьезопластиной тетрагональной симметрии 4mm и сегнетоактивной осью, совпадающей с осью 0z, и отличной от нуля компонентой dzxx тензора пьезомодулей. Будем также считать, что компонента ux вектора смещений является функцией двух координат: . В этом случае уравнения (4), (5) примут вид (18) (19) Предполагая в уравнениях (18), (19) гармоническую зависимость от времени для неизвестных функций, , получим следующие уравнения для амплитуд колебаний , , : (20) При поиске аналитического решения системы уравнений (20) неизвестные функции имели вид разложения по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля В предлагаемом методе разложения по собственным функциям необходимые граничные условия выполняются автоматически путем выбора соответствующей задачи Штурма - Лиувилля. В нашем случае учитывая, что собственные функции и собственные значения задачи (20) соответственно равны , , приводим систему уравнений (20) к системе относительно функций , , , общее решение которой здесь не представлено в связи с громоздкостью аналитических выражений. Полученное решение зависит от шести произвольных констант интегрирования, и для их нахождения требуется решить систему из шести линейных уравнений. Данные уравнения вытекают из условий механически свободных внешних границ структуры идеального контакта слоев и отсутствия электрического поля между ними, а также равенства нулю электрического потенциала на нижней границе структуры. Нетривиальное решение описанная система имеет только тогда, когда ее определитель равен нулю, что является условием для нахождения собственных частот колебаний структуры. На рис. 6 и 7 показаны зависимости собственной частоты ν0 соответственно от длины пластины L и толщины пьезослоя lp. Рис. 6. Зависимость собственной частоты ν0 колебаний от длины L структуры, lp = 0.4 мм, lm = 0.29 мм без учета (сплошная кривая) и с учетом (штриховая кривая) электрического поля. На вставке: теория без учета электрического поля (сплошная кривая) и эксперимент (точки) из работы [8] Как видно из рис. 6, сплошная кривая (без учета электрических полей) практически совпадает с аналогичной кривой, рассчитанной в работе [8] (см. вставку на рис. 6). На рис. 7 показана зависимость собственной частоты ν0 МЭ-структуры от толщины lp пьезослоя с учетом и без учета электрических полей, сопровождающих колебания структуры. Рис. 7. Зависимость собственной частоты ν0 колебаний системы от толщины lp пьезоэлектрического слоя, lm = 0.29 мм, L = 50 мм без учета (сплошная кривая) и с учетом (штриховая кривая) электрического поля Учет электрических полей (сплошная кривая) замедляет спад функции ν0(lp), которая практически перестает изменяться при толщинах пьезослоя lp > 2 мм (рис. 7). Зависимость ν0(lp) без учета электрического поля (сплошная кривая) хорошо согласуется с аналогичной зависимостью из эксперимента [8]. Заключение Подводя итоги, сделаем следующие выводы: 1. Точный учет электрических полей приводит к заметному смещению собственных частот МЭ-структуры в высокочастотную область вследствие увеличения эффективной жесткости структуры. Относительное изменение наинизшей собственной частоты ν0 для структуры никель/цир¬конат-титанат свинца при постоянной толщине магнитострикционного слоя lm = 1 мм изменяется от 53 до 60 % при изменении толщины пьезослоя lp от 5 до 0.05 мм. Наиболее сильное влияние электрические поля оказывают на наинизшие собственные частоты ν0, ν1, ν2, ν3 (см. таблицу). 2. Дисперсия колебательных мод в случае неоднородных в плоскости структуры колебаний приводит к дополнительному смещению собственных частот и максимумов на зависимости в сторону высоких частот. Результаты расчетов качественно совпадают с аналогичной зависимостью для однородных колебаний (рис. 1), но различие количественно растет с увеличением толщины lm магнитострикционного слоя, и для толщины lp = 0.5 мм пьезослоя достигает 8 % при толщине lm = 5 мм ферромагнитного слоя. 3. Учет диссипативных свойств системы позволяет сделать оценку максимальной величины коэффициента МЭ-связи. С ростом толщины lp пьезослоя максимальные значения коэффициента МЭ-связи на резонансных частотах изменяются немонотонно (таблица), что также наблюдалось в эксперименте [8]. 4. Найдена зависимость собственной частоты ν0 от длины структуры L с естественными граничными условиями на ее концах, которая хорошо согласуется с экспериментальными данными [8] при одинаковых параметрах структуры никель/цирконат-титанат свинца.

Скачать электронную версию публикации